Phiếu học tập tuần toán 7 Website tailieumontoan com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2020 2021 Ngày thi 11/3/2021ĐỀ CHÍNH THỨC Môn Toán Thời gian làm[.]
Website:tailieumontoan.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LỚP QUẢNG NGÃI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2020 - 2021 Ngày thi: 11/3/2021 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1: (4,0 điểm) a) (1,5 điểm) Tìm số nguyên dương n lớn để số phương b) (1,5 điểm) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức: c) (1,0 điểm) Số nhà bạn An số có hai chữ số biết Tìm số nhà bạn An Bài 2: (4,0 điểm) a) (2,0 điểm) Giải phương trình: b) (2,0 điểm) Giải hệ phương trình: Bài 3: (4,0 điểm) a) (2,0 điểm) Cho số dương a, b thỏa mãn: Chứng minh rằng: a + b2 = 2021 b) (2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ ; x, y số thực thỏa mãn điều kiện: Bài 4: (7,0 điểm) a) (1,5 điểm) Cho tam giác ABC điểm M nằm tam giác Từ M kẻ tia MD song song với AB (với D thuộc BC), tia ME song song với BC (với E thuộc AC) tia MF song song với AC (với F thuộc AB) Chứng minh 3S S S S DEF ABC rằng: ( ABC : diện tích tam giác ABC, DEF : diện tích tam giác DEF) b) (5,5 điểm) Từ điểm P kẻ hai tiếp tuyến PA, PB với đường tròn (O;R); A, B tiếp điểm Gọi H chân đường vng góc hạ từ A đến đường kính BC đường tròn i) Chứng minh PC cắt AH trung điểm AH ii) Cho OP = a Tính độ dài AH theo R a Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: Tài liệu tốn học Website:tailieumontoan.com iii) Đường thẳng d qua P cho khoảng cách từ O đến đường thẳng d R , đường thẳng vng góc với PO O cắt tia PB M Xác định vị trí điểm P đường thẳng d để diện tích tam giác POM nhỏ Bài 5: (1,0 điểm) Trên công trường có sắt dài 7,4 m Người ta muốn cắt sắt thành đoạn dài 0,7 m 0,5 m để sử dụng a)(0,5 điểm) Em nêu phương án cắt mà hàn nối đoạn sắt cần dùng b)(0,5 điểm) Muốn có 1000 đoạn sắt 0,7 m 2000 đoạn sắt 0,5 m Ta phải dùng sắt 7,4 m nêu trên? HẾT Ghi chú: Cán coi thi khơng giải thích thêm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2020 - 2021 Ngày thi: 11/3/2021 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1: (4,0 điểm) a) (1,5 điểm) Tìm số nguyên dương n lớn để số phương b) (1,5 điểm) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức: c) (1,0 điểm) Số nhà bạn An số có hai chữ số biết Tìm số nhà bạn An Tóm tắt cách giải Điểm 1a) (1,5 điểm) 27 2021 n 27 1994 n 27 A= (2 ) (1 ) 27 1994 n 27 Vì A (2 ) số phương nên số phương Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn toán: 0,25 điểm 0,25 điểm Tài liệu toán học Website:tailieumontoan.com 1994 n 27 n 27 Ta có > = (2 n 27 ) 0,25 điểm 1994 n 27 Mà số phương nên ta có: n 27 1) 2n 27 23987 n 4014 41994 4n 27 (2 27 2021 4014 27 4014 Với n= 4014 ta có A= (2 ) số phương Vậy với n=4014 số nguyên dương lớn để số phương 0,5 điểm 0,25 điểm 1b) (1,5 điểm) 0,25 điểm Ta có Ta thấy Nên Với 0,25 điểm 0,25 điểm ước 10 Ta 0,25 điểm Ta hai cặp giá trị thỏa mãn Với Ta ( loại Kết luận: Các số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức ) 0,25 điểm 0,25 điểm 1c) (1,0 điểm) Ta có 0,25 điểm 0,25 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: Tài liệu toán học Website:tailieumontoan.com điểm Kết luận: Số nhà bạn An 26 0,25 điểm 0,25 điểm Bài 2: (4,0 điểm) a) (2,0 điểm) Giải phương trình: b) (2,0 điểm) Giải hệ phương trình: Tóm tắt cách giải Điểm 2a) (2,0 điểm) 0,5 điểm Điều kiện: 0,5 điểm Đặt Vậy ta được: Chú ý: Có thể biến đổi nhân chia 0,5 cho đại lượng liên hợp, sau đưa phương trình tích để điểm tìm nghiệm Đối chiếu với điều kiện ta tập nghiệm 0,5 điểm 2b) (2,0 điểm) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: Tài liệu tốn học Website:tailieumontoan.com 0,5 điểm Kết hợp với + Xét nghiệm) , vào ta + Xét (vơ vào phương trình 0,25 điểm ta được: + Xét 0,5 điểm vào phương trình 0,25 điểm ta được: (vơ nghiệm) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (1;0) (2;-1) 0,25 điểm 0,25 điểm Bài 3: (4,0 điểm) a) (2,0 điểm) Cho số dương a, b thỏa mãn: Chứng minh rằng: a2 + b2 = 2021 b) (2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ số thực thỏa mãn điều kiện: ; x, y Tóm tắt cách giải Điểm 3a) (2,0 điểm) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn toán: Tài liệu toán học Website:tailieumontoan.com Từ Nhân, chia tử mẫu cho biểu thức liên hợp, ta được: 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 3b) (2,0 điểm) Từ * Nếu x = y 0 ; Nếu y = x 0 * Nếu x 0; y 0 Thì Đặt 0,5 điểm ( *) * xt y1t 2 0,5 điểm xt2 2t y 0 Để phương trình có nghiệm Nên giá trị nhỏ P = – xy = xy = 0,5 điểm 0,5 điểm Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: Tài liệu tốn học Website:tailieumontoan.com Bài 4: (7,0 điểm) a) (1,5 điểm) Cho tam giác ABC điểm M nằm tam giác Từ M kẻ tia MD song song với AB (với D thuộc BC), tia ME song song với BC (với E thuộc AC) tia MF song song với AC (với F thuộc AB) 3S S S S DEF ABC Chứng minh rằng: ( ABC : diện tích tam giác ABC, DEF : diện tích tam giác DEF) b) (5,5 điểm) Từ điểm P kẻ hai tiếp tuyến PA, PB với đường tròn (O;R); A, B tiếp điểm Gọi H chân đường vng góc hạ từ A đến đường kính BC đường tròn i) Chứng minh PC cắt AH trung điểm AH ii) Cho OP = a Tính độ dài AH theo R a iii) Đường thẳng d qua P cho khoảng cách từ O đến đường thẳng d R , đường thẳng vng góc với PO O cắt tia PB M Xác định vị trí điểm P đường thẳng d để diện tích tam giác POM nhỏ Tóm tắt cách giải Điểm A R F E P 0,5 điểm M B D Q C a) (1,5 điểm) Từ D, E F vẽ đường thẳng song song với MF, MD ME cắt AB, BC AC P, Q R Ta có: FR // BC nên AFR ∽ ABC Tương tự: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: Tài liệu toán học Website:tailieumontoan.com 0,25 điểm Suy ra: AB Dấu “ = ” xảy AF = PB = FP = M trọng tâm ABC Nên ta có: 0,25 điểm Suy ra: Mặt khác: MERF; MDQE; MDPF hình bình hành Nên S MEF SREF ; S MDE SQDE ; S MDF S PDF 1 SDEF S MEF S MDE S MDF S DQERFP S ABC 3S S ABC 2 nên DEF 0,25 điểm 0,25 điểm Tóm tắt cách giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: Điểm Tài liệu toán học Website:tailieumontoan.com C A N H O a P 0,5 điểm d B M i) Gọi N giao điểm CP AH; Ta có OA = OB = R; PA = PB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Suy OP đường trung trực AB hay OP AB Xét ACH POB có: AHC PBO 900 0,5 điểm ACH POB (cùng phụ với ABC ) Do ACH ∽ POB (g.g) AH CH PB OB (1) NH CH 2NH CH PB OB Xét CPB có NH // BP (gt) nên PB CB 0,5 điểm (2) Từ (1) (2) suy ra: AH = 2NH hay AN = NH 0,5 điểm ii) Xét ABC vng A với đường cao AH có: AH2 = BH.CH = (2R - CH).CH (3) Từ (2) ta có Ta được: CH 0,5 điểm 2NH.OB PB thay vào (3), kết hợp với AH = 2NH AH.CB AH.CB 2R 2PB 2.PB AH = 4PB2.AH2 = (4R.PB - AH.CB).AH.2R = 8R2.PB.AH - 0,5 điểm 4R2.AH2 PB2.AH = 2R2.PB - R2.AH AH(PB2 + R2) = 2R2.PB Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn toán: Tài liệu toán học Website:tailieumontoan.com Thay PB2 = a2 - R2 vào đẳng thức ta được: 0,5 điểm 0,5 điểm iii) Ta có: SMOP (4) 1 = MP.OB = (PB + BM).OB = (PB + MB).R Ta có: (PB + MB) PB.BM 0,5 điểm (5) Dấu xảy PB = BM MOP vuông O, OB PB, nên: PB.MB = OB = R2 (6) 0,5 điểm Từ (4), (5), (6) suy SMOP R2 Do minSMOP = R2 PB = BM = R PBO vuông cân B OP = R Vậy MOP có diện tích nhỏ OP = R Khi P chân đường vng góc hạ từ O đến đường 0,5 điểm Bài 5: (1,0 điểm) Trên cơng trường có sắt dài 7,4 m Người ta muốn cắt sắt thành đoạn dài 0,7 m 0,5 m để sử dụng a)(0,5 điểm) Em nêu phương án cắt mà hàn nối đoạn sắt cần dùng b)(0,5 điểm) Muốn có 1000 đoạn sắt 0,7 m 2000 đoạn sắt 0,5 m Ta phải dùng sắt 7,4 m nêu trên? Tóm tắt cách giải Điểm 5.a) (0,5 điểm) Gọi x, y đoạn sắt 0,7 m 0,5 m cắt từ sắt 7,4 m Điều kiện x,y , x < 10 Ta có nên Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: x < 10 0,25 điểm Tài liệu toán học Website:tailieumontoan.com Vậy Với ( nhận) Với (nhận) Cách 1: cắt sắt 7,4 m làm đoạn 0,7 m 12 đoạn 0,5 m Cách 2: cắt sắt 7,4 m làm đoạn 0,7 m đoạn 0,5 m 5.b) (0,5 điểm) Gọi a,b số sắt 7,4m cắt theo cách1; cách2 câu a Ta có số đoạn sắt 0,7m 2a + 7b Số đoạn sắt 0,5m 12a + 5b Vậy: 0,25 điểm 0,25 điểm Do a,b Vậy a = 122, b =108 Nghĩa dùng 122 sắt 7,4m cắt theo cách 108 sắt 7,4m cắt theo cách 0,25 điểm Nên dùng 230 sắt 7,4m Thật vậy : Chiều dài đoạn sắt cắt Chiều dài sắt dùng Nên cách cắt dùng số sắt 7,4m để đạt yêu cầu Ghi : + Mỗi tốn có nhiều cách giải, học sinh giải cách khác mà cho điểm tối đa Tổ chấm thảo luận thống biểu điểm chi tiết cho tình làm học sinh + Điểm câu tồn khơng làm trịn số Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: Tài liệu toán học ... Website:tailieumontoan.com 1994 n 27 n 27 Ta có > = (2 n 27 ) 0,25 điểm 1994 n 27 Mà số phương nên ta có: n 27 1) 2n 27 239 87 n 4014 41994 4n 27 (2 27 2021 4014 27 4014 Với n= 4014... điểm) 27 2021 n 27 1994 n 27 A= (2 ) (1 ) 27 1994 n 27 Vì A (2 ) số phương nên số phương Liên hệ tài 039. 373 .2038 liệu word mơn toán: 0,25 điểm 0,25 điểm Tài liệu toán học Website:tailieumontoan.com... 10 0,25 điểm Tài liệu toán học Website:tailieumontoan.com Vậy Với ( nhận) Với (nhận) Cách 1: cắt sắt 7, 4 m làm đoạn 0 ,7 m 12 đoạn 0,5 m Cách 2: cắt sắt 7, 4 m làm đoạn 0 ,7 m đoạn 0,5 m 5.b) (0,5