de giao luu hsg toan 7 nam 2017 2018 truong thcs nguyen chich thanh hoa

PHỊNG GD&ĐT ĐƠNG SƠN TRƯỜNG THCS NGUYỄN CHÍCH ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017 – 2018 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn thi: Tốn - Lớp Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) (Gồm có 01 trang) Câu 1: (4,0 điểm) a) Tính giá trị biểu thức       1 7 A =   3,5  :  4   +7,5 2.84.27 4.69 27.67 27.40.94 c) Tìm đa thức M biÕt r»ng : M   x  xy   x  xy  y Tính giá trị M b) Rút gọn biểu thức B= x, y thỏa mãn  x     y   Câu 2(4,0 điểm): Tìm x biết 2018 2020  15 x  x 12 1 1 49 b)      1.3 3.5 5.7 (2 x  1)(2 x  1) 99 a)  c) Tìm x, y nguyên biết 2xy – x – y = Câu 3(6,0 điểm): a) Tìm hai số nguyên dương x y biết tổng, hiệu tích chúng tỉ lệ nghịch với 35; 210;12 x y z t    y zt zt  x t  x y x y z x y y z zt t  x chøng minh r»ng biÓu thức P có giá trị nguyên zt t x x y y z b) Cho   c) Cho a,b,c,d  Z thỏa mãn a  b3  c  8d Chứng minh a + b + c + d chia hết cho Câu 4(5,0 điểm): Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E cho ME = MA Chứng minh rằng: a) AC = EB AC // BE b) Gọi I điểm AC ; K điểm EB cho AI = EK Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng c) Từ E kẻ EH  BC  H  BC  Biết HBE = 50o ; MEB = 25o Tính HEM BME Câu (1,0 điểm): Cho B = 15 24 2499      Chứng tỏ B số nguyên 16 25 2500 Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh: PHỊNG GD&ĐT ĐƠNG SƠN TRƯỜNG THCS NGUYỄN CHÍCH HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016-2017 Mơn: Tốn - Lớp Câu Nội dung 1  7   25 15  15    a) A =   3,5  :  4   +7,5 =    :     +    7 3 2   35 85 15 35 42 15 49 15 157 :  =  = + = 2 42 85 17 34 2  23   33   22.29.39 213.36  211.39 2.84.27  4.69 b) B = 7 = =  27.40.94 214.37  210.38.5 27.27.37  27.23.5  32  = = (4.0đ) 211.36. 22  33    3.5  10 = 0.5 1.0 0.5 c) M   x  xy   x  xy  y  M  x  xy  y   x  xy   M  x  xy  y  x  xy  x  11xy  y  x  2018  2018 2020 Ta cã :    x  5   y    2020 0  y   2018 2020 2018 2020 Mµ  x     y      x     y   0   x  2018   x   Thay vào ta    2020  y    y         25 110 16  1159 5 M =   + 11 .   -  =  = 36 2  3   15 6 a)  x   x   x x   12 5 13 49 13 130 130 , Vậy x   (  )x   x  x 14 20 14 343 343 1 1 49 b)      1.3 3.5 5.7 (2 x  1)(2 x  1) 99 2 (4.0đ) Điểm 0.5 1 1 1 1  49  1        2 3 5 2x  2x   99 1  49 98 1  1   1      2x   99 2x  99 2x  99  2x + = 99  2x = 98  x = 49 Vậy x = 49 c) 2xy – x – y =  4xy - 2x - 2y =  2x(2y - 1) - 2y +1 =  (2y -1) ( 2x -1) = 1;3 ;  3;1 ;  2;0  ;  0; 2  Vậy ( x,y) = 1;3 ;  3;1 ;  2;  ;  0; 2  0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5đ 0.5đ 0.25 0.75 0.5 0.75 HS xét trường hợp tìm ( x,y) = 0.75 a) Do tổng, hiệu tích x y tỉ lệ nghịch với 35; 210; 12 Ta có ( x + y).35 = ( x - y) 210 = 12 xy 0,5 Từ ( x + y).35 = ( x - y) 210  0,5 2y x y x y x  y x  y 2x      210 35 210 35 245 175 x y 7y  x thay vào đẳng thức ( x + y).35 = 12 xy ta 5  y2- 5y =  y(y – 5) =  y  0;5 mà y > nên y = Với y = x =  0,5 0,5 b) (6.0đ) x y z t y  z t z t  x t  x y x y  z        y zt zt x t  x y x y z x y z t y  z t zt  x tx y x yz 1  1  1  1  x y z t x y zt z t  x y t  x y  z x y  z t     x y z t 0,75 0,5 Nếu x + y + z + t = P = - Nếu x + y + z + t  x = y = z = t  P = Vậy P nguyên c) Ta có a  b3  c  8d  a  b3  c  d  3c  15d  0,75  Mà 3c  15d 3 nên a  b  c  d 3 (1) Dư phép chia a cho 0; 1 suy dư phép chia a3 cho 0; 1 hay a 3  a  mod3 0.75 0.5 Tương tự ta có b  b3  mod3 ; c  c  mod3 ; d  d  mod3  a  b  c  d  a  b3  c  d  mod3  (2) 0.75 Từ (1) (2) suy a + b + c + d chia hết cho Vẽ hình ; ghi GT-KL A 0,5 I (5,0đ) M B C H K E a) X a) Xét AMC EMB có : AM = EM (gt )   (đối đỉnh ) AMC = EMB BM = MC (gt )  AMC = EMB (c.g.c )  AC = EB ( Hai cạnh tương ứng)  = MEB  nà góc vị trí so le Suy Vì AMC = EMB  MAC AC // BE b) Xét AMI EMK có : AM = EM (gt ) 1,0 0,5  = MEK  ( AMC  EMB ) MAI AI = EK (gt )  Nên AMI  EMK ( c.g.c )   AMI = EMK  = 180o ( tính chất hai góc kề bù ) Mà  AMI + IME  + IME  = 180o  Ba điểm I;M;K thẳng hàng  EMK  = 90o ) có HBE  = 50o c) Trong tam giác vuông BHE ( H  = 90o - HBE  = HEB  = 90o - 50o = 40o  HEM  - MEB  = 40o - 25o =15o  HBE  góc đỉnh M HEM BME  = HEM  + MHE  =15o + 90o = 105o  BME 15 24 2499      16 25 2500 15 24 2499   B= 49        1     16 25 2500     1 1 B= 49 -        = 49 - M 50  2   1 1 Trong M =        50  2 1,0 0,5 1,0 0,5 b) Ta có: B = (1,0đ) 0.5 Áp dụng tính chất Ta có: M< =1- M> >0 Từ suy 0< M