PHÒNG GD&ĐT KON TUM ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP MƠN: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC: 2017 – 2018 (Đề thi gồm 01 trang) Ngày thi: 03/04/2017 Thời gian: 90 phút khơng tính thời gian ghi đề Câu 1: (4,5 điểm) Tính giá trị biểu thức sau: 3 4 a) A = : : 11 11 11 11 b) B = 212.35 46.92 (22.3)6 84.35 Cho x y 5x 3y Tính giá trị biểu thức: C = 10x 3y Câu 2: (4,5 điểm) Tìm số x, y, z, biết: a) x y y z ; x + y + z = 92 b) (x – 1)2016 + (2y – 1)2016 + |x + 2y – z|2017 = Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x – y = Câu 3: (3,0 điểm) Tìm đa thức A biết: A – (3xy – 4y2) = x2 – 7xy + 8y2 Cho hàm số y = f(x) = ax + có đồ thị qua điểm A(a – 1; a2 + a) a) Tìm a b) Với a vừa tìm được, tìm giá trị x thỏa mãn: f(2x – 1) = f(1 – 2x) Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vng A Vẽ phía tam giác ABC tam giác ABD ACE Gọi I giao điểm BE CD Chứng minh rằng: a) BE = CD b) BDE tam giác cân 600 IA tia phân giác DIE c) EIC Câu 5: (2,0 điểm) Tìm số hữu tỉ x, cho tổng số với nghịch đảo có giá trị số nguyên Cho số a, b, c không âm thỏa mãn: a + 3c = 2016; a + 2b = 2017 Tìm giá trị lớn biểu thức P = a + b + c HẾT ĐÁP ÁN Câu 1: 3 4 3 11 4 11 a) A = : = : 11 11 11 11 11 11 A= 11 3 4 11 3 4 11 11 = = (1) 1 11 11 7 11 11 7 212.35 46.92 212.35 (22 )6 (32 ) 212.35 212.34 212.34 (3 1) b) B = = 12 12 = 12 (2 3) 212.36 (23 )4 35 3 (3 1) B= Đặt C= 212.34.2 212.35.4 x 3k x y =k Khi đó: y 5k 5x 3y 5(3k) 3(5k) 45k 75k 120k = =8 10x 3y 10(3k) 3(5k) 90k 75k 15k Câu 2: y x y x x y z 10 15 a) Ta có: 10 15 21 y z y z 15 21 Áp dụng tính chất dãy tỉ số x + y + z = 92, ta được: x y z xyz 92 = 2 10 15 21 10 15 21 46 x 10 x 20 y y 30 15 z 42 z 21 b ) Ta có: (x – 1)2016 (2y – 1)2016 2017 |x + 2y – z| x y x, y, z (x – 1)2016 + (2y – 1)2016 + |x + 2y – z|2017 x, y, z x – 12016 2016 Mà (x – 1)2016 + (2y – 1)2016 + |x + 2y – z|2017 = nên dấu "=" xảy 2y – 1 0 2017 0 x 2y – z x x 1 y y 2 z 1 2 – z Ta có: xy + 3x – y = x(y + 3) – (y + 3) = – (x – 1)(y + 3) = = 1.3 = 3.1 = (– 1)(– 3) = (– 3)(– 1) Ta có bảng sau: x–1 –1 –3 y+3 –3 –1 x –2 y –2 –6 –4 Vậy: (x; y) = (2; 0) = (4; – 2) = (0; 6) = (– 2; – 4) Câu 3: Ta có: A – (3xy – 4y2) = x2 – 7xy + 8y2 A = x2 – 7xy + 8y2 + (3xy – 4y2) A = x2 – 4xy + 4y2 a) Vì đồ thị hàm số y = f(x) = ax + qua điểm A(a – 1; a2 + a) nên: a2 + a = a(a – 1) + a2 + a = a2 – a + 2a = a = b) Với a = y = f(x) = x + Ta có: f(2x – 1) = f(1 – 2x) (2x – 1) + = (1 – 2x) + 4x = x = Câu 4: GT a) BE = CD KL B = 900, ABD ACE ABC, A I = BE CD D I b) BDE tam giác cân A3 1 2 600 IA tia phân giác DIE c) EIC A 900 600 900 1500 DAC BAE a) Ta có: DAC 0 0 BAE A 90 60 90 150 Xét DAC BAE có: DA = BA (GT) BAE (CM trên) DAC AC = AE (GT) DAC = BAE (c – g – c) BE = CD (Hai cạnh tương ứng) 2 E C 3 A BAC A 3600 b) Ta có: A 600 900 600 3600 A 1500 A = DAC = 1500 A Xét DAE BAE có: DA = BA (GT) = DAC (CM trên) A AE: Cạnh chung DAE = BAE (c – g – c) DE = BE (Hai cạnh tương ứng) BDE tam giác cân E 1 = C (Hai góc tương ứng) c) Ta có: DAC = BAE (CM câu a) E ICE 1800 (Tổng góc ICE) Lại có: I1 E E ) (C 1 C ) 1800 I1 (AEC 1 C 600 1800 I1 600 E 1 = C 1 ) I1 1200 1800 (Vì E I1 600 1 = E (Hai góc tương ứng) EA tia phân giác Vì DAE = BAE (Cm câu b) E (1) DEI DAC BAE 1 = D (Hai góc tương ứng) DA tia Vì DAC = DAE D DAE BAE (2) phân giác EDC Từ (1) (2) A giao điểm tia phân giác DIE IA đường phân giác thứ ba DIE hay IA tia phân giác DIE Câu 5: Gọi x = x+ Để x m (m, n Z, n 0, (m, n) = 1) Khi đó: n m n m2 n2 (1) x n m mn nguyên m2 + n2 mn x m2 + n2 m n2 m (Vì m2 m) nm Mà (m, n) = nên m = m = – *) Với m = 1: Từ (1), ta có: x 12 n n = Để x nguyên + n2 n n hay n = x 1.n n x *) Với m = – 1: Từ (1), ta có: x (1) n n = Để x nguyên + n2 (– n) (– n) hay n x x (1).n n = Khi x = m 1 1 hay x = n 1 1 Ta có: a + 3c = 2016 (1) a + 2b = 2017 (2) Từ (1) a = 2016 – 3c Lấy (2) – (1) ta được: 2b – 3c = b = P = a + b + c = (2016 – 3c) + 3c Khi đó: 3c 6c 3c 2c c + c = 2016 2016 Vì a, b, c 2 2 c 1 không âm nên P = 2016 2016 , MaxP = 2016 c = 2 2 HẾT ... – 1)2016 20 17 |x + 2y – z| x y x, y, z (x – 1)2016 + (2y – 1)2016 + |x + 2y – z|20 17 x, y, z x – 12016 2016 Mà (x – 1)2016 + (2y – 1)2016 + |x + 2y – z|20 17 = nên dấu... 212.35.4 x 3k x y =k Khi đó: y 5k 5x 3y 5(3k) 3(5k) 45k 75 k 120k = =8 10x 3y 10(3k) 3(5k) 90k 75 k 15k Câu 2: y x y x x y z 10 15 a) Ta có: 10 15... 11 11 = = (1) 1 11 11 7 11 11 7 212.35 46.92 212.35 (22 )6 (32 ) 212.35 212.34 212.34 (3 1) b) B = = 12 12 =