de giao luu hsg toan 7 nam 2017 2018 phong gddt tam duong vinh phuc

PHỊNG GD&ĐT TAM DƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2017-2018 ĐỀ THI MÔN: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 01 trang Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay! 104.81  16.152 Câu (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức sau: A  4.675 Câu (2,0 điểm) Tìm ba số x, y, z thỏa mãn: x y z   x  y  3z  100 Câu (2,0 điểm) Cho số x, y thỏa mãn (x - 2)4 + (2y - 1)2018  Tính giá trị biểu thức M = 11x2y + 4xy2 Câu (2,0 điểm) Cho số thực a, b, c, d thỏa mãn dãy tỉ số nhau: 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d    a b c d Tính giá trị biểu thức: M  ab bc cd d a    cd d a ab bc Câu (2,0 điểm) Cho đa thức bậc hai: f  x   ax  bx  c (x ẩn; a, b, c hệ số) Biết rằng: f    2018 , f 1  2019 , f  1  2017 Tính f  2019  Câu (2,0 điểm) Tìm giá trị lớn biểu thức Q = 27  x (với x số nguyên) 12  x Câu (2,0 điểm) Tìm số nguyên dương a, b, c thoả mãn a3+ 3a2 +5 = 5b a + = 5c Câu (2,0 điểm) Cho góc xOy 600 Tia Oz phân giác góc xOy Từ điểm B tia Ox kẻ BH, BK vng góc với Oy, Oz H K Qua B kẻ đường song song với Oy cắt Oz M Chứng minh BH=MK Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A Điểm M nằm bên tam giác cho MA=2cm, MB=3cm  AMC  1350 Tính MC Câu 10 (2,0 điểm) Từ 200 số tự nhiên 1; 2; 3; ; 200, ta lấy k số cho số vừa lấy ln tìm số mà số bội số Tìm giá trị nhỏ k -HẾT -Cán coi thi khơng giải thích thêm! Họ tên thí sinh: Số báo danh: .Phịng thi: PHỊNG GD&ĐT TAM DƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM GIAO LƯU CHỌN HSG Năm học: 2017 – 2018 Môn Toán – Lớp Hướng dẫn chung: -Học sinh giải theo cách khác mà đúng, đảm bảo tính lơgic, khoa học giám khảo cho điểm tối đa -Câu hình học, học sinh khơng vẽ hình vẽ hình sai phần khơng chấm điểm phần Câu Nội dung 10 81  16.15  4.3 2.5 A = 44.675 8.33.5 = 4 4.3 2.5 (5 2.3  1) 225  = 8.33.5 2 5.7 14 224 = = = 3 x y z x y z 2 x 2 y z 2 x  y  z  100 Từ   ta suy ra:        4 16 25 18 32 75  25  25  x    y   x  36  x  10  Suy ra:  y  64   ( Vì x, y, z dấu)   x  6    y  8  z  100   z  10 KL: Có hai (x; y; z) thỏa mãn : (6; ;10) (-6; -8;-10) 2018 Vì (x - 2)  0; (2y – 1)  với x, y nên 2014 (x - 2) + (2y – 1)  với x, y Mà theo đề : (x - 2) + (2y – 1) 2014  Suy (x - 2)4 + (2y – 1) 2014 = Hay: (x - 2)4 = (2y – 1) 2018 = suy x = 2, y = Khi tính được: M = 24 Điểm 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d    a b c d 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d Suy : 1  1  1  1 a b c d abcd abcd abcd abcd     (*) a b c d Nếu a + b + c + d =  a + b = -(c+d) ; (b + c) = -(a + d) ab bc cd d a  M     = -4 cd d a ab bc Nếu a + b + c + d  từ (*)  a = b = c = d ab bc cd d a M     =4 cd d a ab bc 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 Từ: 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 KL: Xét x =0: f (0)  2018  c  2018 Xét x =1: f (1)  2019  a  b  c  2018  a  b  (1) Xét x =-1: f (1)  2017  a  b  c  2017  a  b  1 (2) Cộng vế (1) (2) suy a=0 Thay a=0 vào (1) tìm được: b=1 Từ tìm f  x   x  2018 Suy ra: f  2019   1 27  x = 2+ 12  x 12  x Suy Q lớn lớn 12  x * Nếu x > 12 12  x    12  x * Nếu x < 12 12  x   0 12  x Từ trường hợp suy lớn 12-x>0 12  x Vì phân số có tử mẫu số nguyên dương, tử không đổi nên phân số có 12  x Ta có: Q= giá trị lớn mẫu số nguyên dương nhỏ Hay 12  x   x  11 Suy A có giá trị lớn x =11 Do a  Z+  5b = a3 + 3a2 + > a + = 5c Vậy 5b > 5c  b>c  5b  5c Hay (a3 + 3a2 + 5)  (a+3)  a2 (a+3) +  a + Mà a2 (a+3)  a +   a +  a +  Ư (5) Hay: a+  {  ;  } (1) Do a  Z+  a +  (2) Từ (1) (2) suy a + =  a =2 Từ tính được: 5b =23 + 3.22 + = 25 = 52  b = Và 5c =a + = 2+3=  c = Vậy: a = 2; b = 2; c = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 - Chứng minh tam giác BOM cân B x   BMO   300 BOM 0,5 - BK đường cao tam giác cân BMO nên K trung điểm OM =>KM=KO (1) 0,5 B z - Chứng minh BKO  OHB (c.h  g.n) M - Suy BH=OK (2) K 0,25 O - Từ (1) (2) suy BH=MK đpcm H y 0,5 - Dựng tam giác ADM vng cân A D (D, B khác phía AM) - Chứng minh ABM  ACD (c.g.c) vì: A AD=AM ( AMD vng cân A)   CAD  (cùng phụ với CAM  BAM AB=AC (giả thiết) - Suy ra: CD=BM=3cm - Tính MD2=AD2+AM2 = - Chỉ tam giác DMC vuông M M - Suy ra: MC2 = CD2-MD2 =9-8=1 B C =>CD=1cm - Xét 100 số 101; 102; 103; ; 200 Trong 100 số rõ ràng khơng có số bội số (vì 101.2>200) Do k  101 (1) - Xét 101 số lấy từ 200 số cho:  a1  a2  a3   a101  200 Ta viết 101 số vừa lấy dạng: 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 a1  n1.b1 a2  2n2 b2 a3  n3 b3 10 a101  2n101.b101 Với ni số tự nhiên, bi các số lẻ ( i  1;101 ) Suy bi phần tử tập gồm 100 số tự nhiên lẻ đầu tiên: {1; 3; 5; ;199} Vì có 101 số bi mà có 100 giá trị nên tồn số bi bj n Suy hai số  2n bi a j  b j có số bội số lại Như lấy 101 số 200 số cho ln có số mà số bội số (2) Từ (1) (2) suy giá trị nhỏ k 101 i j Hết - 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ... 0,25 0,25 0,25 KL: Xét x =0: f (0)  2018  c  2018 Xét x =1: f (1)  2019  a  b  c  2018  a  b  (1) Xét x =-1: f (1)  20 17  a  b  c  20 17  a  b  1 (2) Cộng vế (1) (2) suy...PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM GIAO LƯU CHỌN HSG Năm học: 20 17 – 2018 Mơn Tốn – Lớp Hướng dẫn chung: -Học sinh giải theo cách khác... 4.3 2.5 A = 44. 675 8.33.5 = 4 4.3 2.5 (5 2.3  1) 225  = 8.33.5 2 5 .7 14 224 = = = 3 x y z x y z 2 x 2 y z 2 x  y  z  100 Từ   ta suy ra:        4 16 25 18 32 75  25  25  x