File đáp án dạng 3 2

Trang 1 DẠNG 3 BẤT PHƯƠNG TRÌNH NHIỀU ẨN Câu 1 (Mã 101 2020 Lần 1) Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 728 số nguyên y thỏa mãn  2 4 3log log ( )x y x y   ? A 59 B 58 C 11[.]

DẠNG BẤT PHƯƠNG TRÌNH NHIỀU ẨN Câu (Mã 101 - 2020 Lần 1) Có số nguyên x cho ứng với x có khơng q 728 số   nguyên y thỏa mãn log x  y  log3 ( x  y) ? A 59 B 58 C 116 D 115 Lời giải Chọn C Với x   ta có x2  x   Xét hàm số f ( y)  log3 ( x  y )  log x  y Tập xác định D  ( x; ) (do y   x  y   x ) f '( y )  1   0, x  D (do x  y  x  y  , ln  ln ) ( x  y ) ln  x  y  ln  f tăng D   Ta có f ( x  1)  log3 ( x  x  1)  log x  x   Có khơng q 728 số ngun y thỏa mãn f  y    f ( x  729)   log3 729  log  x  x  729    x2  x  729  46   x2  x  3367   57,5  x  58,5 Mà x   nên x  57,  56, , 58 Vậy có 58  (57)   116 số nguyên x thỏa Câu (Mã 102 - 2020 Lần 1) Có số nguyên x cho ứng với x có khơng q 242 số   ngun y thỏa mãn log x  y  log3  x  y  ? A 55 B 28 C 29 D 56 Lời giải Chọn D  x2  y  Điều kiện:  x  y  t  x  x  4t  3t  x  y  Đặt log  x  y   t , ta có    t t  x  y   y   x  * Nhận xét hàm số f  t   4t  3t đồng biến khoảng  0;   f  t   với t  Trang Gọi n   thỏa 4n  3n  x2  x , *  t  n Từ đó, ta có  x  y  3t  x  3n  x Mặt khác, có khơng q 242 số ngun y thỏa mãn đề nên 3n  242  n  log 242 Từ đó, suy x  x  4log3 242  242  27,  x  28, Mà x   nên x  27,  26, , 27, 28 Vậy có 56 giá trị nguyên x thỏa yêu cầu đề Câu (Mã 103 - 2020 Lần 1) Có số nguyên x cho ứng với x có khơng q 127 số ngun y thỏa mãn log  x  y   log  x  y  ? A 89 B 46 C 45 D 90 Lời giải Chọn D Ta có log  x  y   log  x  y 1 Đặt t  x  y   * (do x, y  , x  y  ) (1)  log  x  x  t   log t  g (t )  log t  log  x  x  t     Đạo hàm g (t )  1   với y Do g  t  đồng biến 1;   t ln  x  x  t  ln Vì x ngun có khơng q 127 giá trị t   * nên ta có g (128)   log 128  log  x  x  128    x  x  128  37  44,8  x  45,8 Như có 90 giá trị thỏa yêu cầu toán Câu (Mã 104 - 2020 Lần 1) Có số nguyên x cho ứng với x có khơng q 255 số nguyên y thỏa mãn log  x  y   log  x  y  ? A 80 B 79 C 157 D 158 Lời giải Chọn D Ta có: log  x  y   log  x  y   x  y  3log  x  y   x  y   x  y  log 1 Đk: x  y  ( x, y  , x  y  ) Đặt t  x  y  , nên từ 1  x  x  t log  t   Trang Để 1 khơng có q 255 nghiệm ngun y bất phương trình   có khơng q 255 nghiệm ngun dương t Đặt M  f  255  với f  t   t log  t Vì f hàm đồng biến 1,   nên     t  f 1  x  x  x  x  Vậy   có khơng 255 nghiệm nguyên  f 1  x  x   255  x  x  255  78  x  79  x   Vậy có 158 số nguyên x thỏa mãn yêu cầu toán Câu (Diệu Hiền - Cần Thơ - 2018) Trong nghiệm  x; y  thỏa mãn bất phương trình log x2  y2  x  y   Giá trị lớn biểu thức T  x  y bằng: A B Trường hợp 1: x  y  Đặt Lời giải C D y  z Suy  x  z  1 z  x2  z 2 log x2  y2  x  y    x  y  x  y  x      x  1   z    2   2 Tập hợp điểm M  x; z  miền  H  bao gồm miền ngồi hình trịn  C1  : x  z    miền hình trịn  C2  :  x  1   z    2  Trang z  T  x   z    Hệ  x  1   z   T  có điểm chung với   có nghiệm đường thẳng d :2 x  2 2    x2  z    miền  H  Để T đạt giá trị lớn đường thẳng d :2 x   d  I;d   z  T  tiếp xúc với đường tròn  C2    với I 1;  tâm đường tròn  C2  2  2 T T  (l ) 9 T    T  4 2 4  2 2  Trường hợp 2:  x  y  log x2  y  x  y    x  y  x  y  T  x  y  (loại) (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Có  x; y  với x, y nguyên Vậy giá trị lớn biểu thức T  x  y max T  Câu  2y   2x 1   x, y  2020 thỏa mãn  xy  x  y   log3     x  y  xy   log  ?  x3   y2 A 2017 B 4034 C D 2017  2020 Lời giải Chọn B   x, y  * : x, y  2020    x, y  * : x, y  2020   + Điều kiện  x   2y    0, 0 x  3, y      y2   x 3  y2   x4  BPT cho có dạng  x  3 y   log   1   x   y   log3   1  (*)  x3   y2   x4   1   x   log  , rõ ràng BPT nghiệm + Xét y  (*) thành   x  3 log   x 3   x4   1  log   1  0,  x    0, log3  với x    x  3  0, log   x 3  Như trường hợp cho ta 2017  x; y    x;1 với  x  2020, x   + Xét y  (*) thành  x   log3  , BPT với x mà  x  2020, x   Trang Trường hợp cho ta 2017 cặp  x; y  + Với y  2, x  VT *  nên (*) khơng xảy Vậy có 4034 số  x; y  thỏa mãn yêu cầu toán Câu (THPT Quỳnh Lưu Nghệ An 2019) Cho hai số thực a, b  thỏa mãn log  a  1  log  b  1  Giá trị nhỏ biểu thức a  b A 12 C 16 B 14 D Lời giải Ta có log  a  1  log  b  1   log  a  1 b  1    a  1 b  1  64 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương a  b  , ta  a  1   b  1   a  1 b  1  64  16  a  b   16  a  b  14 Dấu "  " xảy a   b   a  b Vậy  a  b   14 a  b  Câu (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Trong nghiệm  x ; y  thỏa mãn bất phương trình log x  y  x  y   Khi giá trị lớn biểu thức T  x  y A B C D Lời giải - TH1: x2  y  Bất phương trình log x  y  x  y    2x  y  x  y  2x  y  x2  y  Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-CopSky ta có   2  2 2     x  y    2x  y        2  x  2y   2x  y   2x  y  Giá trị lớn T  x  y   2x  y  9   9   x  y   x  y     x  y   1;  2   2 Dấu xảy x  2; y  2 - TH2:  x  y  Bất phương trình log x2  y  x  y    2x  y  x  y   Trang Vậy giá trị lớn T  x  y  Câu 9 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Tìm tập S tất giá trị thực tham số m để tồn cặp số  x; y  thỏa mãn log x2  y 2  x  y   m   x  y  x  y   A S  1;1 B S  5;  1;1;5 C S  5;5 D S    7;  5;  1;1;5;7 Lời giải Ta có log x2  y2 2  x  y   m2    x  y   m  x  y  2  x  y  x  y   m    x     y    m hình trịn  C1  tâm I  2;  , bán kính R1  m với m  điểm I  2;2  với m  x  y  x  y   2   x  1   y    đường tròn  C2  tâm J  1;  , bán kính R2  TH1: Với m  ta có: I  2;    C2  suy m  khơng thỏa mãn điều kiện tốn TH2: Với m  log 2  x  y   m2   Để hệ  x  y  tồn cặp số  x; y  hình trịn  C1  đường 2  x  y  x  y   trịn  C2  tiếp xúc ngồi với  IJ  R1  R2  32  02  m   m   m  1 Câu 10 Tìm tham số m để tồn cặp số  x; y  thỏa mãn đồng thời điều kiện sau log 2019  x  y   x  y  xy  m  1 A m   B m  C m  D m   Lời giải Chọn A log 2019  x  y   (1) Xét hệ bất phương trình:   x  y  xy  m  (2)  x; y  nghiệm hệ bất phương trình  y; x  nghiệm hệ bất phương trình Do hệ có nghiệm  x  y Khi đó: (1)   x    x  Với  x  ; (2)  x  x  m   x2  m   2x  x  m   x  x2  x2  x   m Trang Đặt f  x   x  x  1  1 1  1 f  x  nghịch biến  0;  nên f  x   f     x   0;   2 2  2 Do hệ có nghiệm  m   Câu 11 Trong tất cặp  x ; y  thỏa mãn log x  y   x  y    Tìm m để tồn cặp  x ; y cho x  y  x  y   m  A m    10  B m  10  C m  10  D m    10  Lời giải Chọn D Với x, y   , ta ln có x  y    nên BPT log x  y   x  y    2  x  y   x  y    x     y    1 BPT 1 mơ tả hình trịn tâm I  2;  bán kính R1  2 Mặt khác, phương trình x  y  x  y   m    x  1   y  1  m   nên để   có nghiệm m   x  1  TH1: m  Khi đó,     khơng thỏa 1 nên loại m  y 1  TH2: m  Khi đó,   phương trình đường trịn  C2  tâm J  1;1 bán kính R2  m Do  x     y    đó, yêu cầu đề  Hệ BPT  có nghiệm   C2  tiếp xúc với 2  x  1   y  1  m đường tròn IJ  10  2  C1  :  x  2   y  2  có tâm I  2;  bán kính  R1 nên  C1  tiếp xúc ngoài, tiếp xúc với  C2  R1  Vì Trang  TH2a:  C1  tiếp xúc với  C2   IJ  R1  R2  10   m  m  10   m    10   TH2b:  C1  tiếp xúc với  C2   IJ  R2  R1  10  m   m   10  m  Vậy m      10  10  Câu 12 (THPT Mai Anh Tuấn - Thanh Hóa - 2021) Trong nghiệm  x; y  thỏa mãn bất phương trình log x2  y  x  y   Giá trị lớn biểu thức T  x  y bằng: A B C D Lời giải Chọn A Trường hợp 1: x  y  , bất phương trình trở thành   log x  y  x  y    x  y  x  y   x  1   y    2  2 2   1      Khi T   x  1  y 2        x  1   y    2 2 2       T  9 9  T  Vậy Tmax  x  2; y  2 Trường hợp 2: x  y  , bất phương trình trở thành log x2 2 y  x  y    x  y  x  y   T   trường hợp không xảy Câu 13 (THPT Trần Phú - Đà Nẵng - 2021) Có số nguyên m  2021 để có nhiều cặp số  x; y  thỏa mãn log x2  y   x  y  m   x  y   ? A 2017 B 2020 C 2019 Lời giải D 2022 Chọn A log 2  x  y  m   4 x  y  m  x  y  Ta có:  x  y   4 x  y   4 x  y   Trang  x  2   y  12  m    x  y   1  2  * Xét 1 :  x     y  1  m  Khi m    1 vô nghiệm nên m  1 loại  x  2   x   Khi m  1  1   x     y  1    thay vào   không thỏa  y  1  y  1  mãn nên m  1 loại 2 Khi m  1 nghiệm bất phương trình 1 miền đường trịn  C  có tâm I  2; 1 bán kính R  m  Xét d : x  y   Khoảng cách từ tâm I đén đường thẳng d là: d  I , d   4.2   1    3   12 Hệ * có nhiều cặp số  x; y   d cắt đường tròn  C  điểm phân biệt d I,d   R  12 119  m 1  m  25 Mà m nguyên m  2021  m  5;6; ; 2021 Vậy có 2017 số nguyên m thảo mãn Câu 14 Có số nguyên a ,   a  2021 để có số nguyên x thỏa mãn a x  1  2 x  a A 1892 B 125 C 127 D 1893 Lời giải Chọn D +) Nếu a  bất phương trình với x Suy a  thỏa mãn yêu cầu toán Trang 1 +) Nếu a  bất phương trình tương đương với g  x   a  x  2 x    (*) Ta có g 1  a x ln a  ln  g   x    a ln a  ln       x  x0   log a   ln 2  ln a  x x g   x    x  x0 ; g   x    x  x0 Và a   x0  ; a   x0  ; a   x0  +) Nếu a   x0   g  x    x  chứa số nguyên x số Suy a  không thỏa mãn +) Nếu a   x0   g  x    S x  1;1, 28378  S5 x  5; 6,17  chứa hai số nguyên x số Suy a  không thỏa mãn +) Nếu a   x0  Suy tập nghiệm bất phương trình S x  b;1  S5 x  5b;5 chứa tối thiểu số nguyên x số 1, 2, 3,  5b   b  4, 1   1 1  g  0  a 2    a 5  a  130; ; 2021 Vậy   2021  130   1  1893 số nguyên a thỏa mãn Câu 15 Có tất giá trị nguyên y cho tương ứng với y tồn không 63     số nguyên x thỏa mãn điều kiện log 2020 x  y  log 2021 y  y  64  log  x  y  ? A 301 B C 602 D 302 Lời giải Chọn C     Đặt f ( x)  log 2020 x  y  log 2021 y  y  64  log  x  y  (coi y tham số) x  y2  Điều kiện xác định f ( x) là:   x  y   y (do x, y nguyên) x  y   Trang 10 ... y3  x2 y  y x y 1 A 20 21  20 21  1 B 20 21  20 22  1 C 20 22  20 22  1 D 20 22  20 22  1 Lời giải Chọn C Ta có: log x 1 xy  y  y  y  x y  y x  log   y  y3  y    x2... 31 2   (do x   )  x  ? ?27 Kết hợp x   ? ?20 21 ;20 21 ta x   ? ?20 21; ? ?27    27 ; 20 21 Vậy có 39 90 số nguyên x   ? ?20 21; 20 22? ?? thoả mãn Câu 18 Có cặp số nguyên dương  x; y  với y  20 21...  y  64)(log 20 20 20 21  1)  3 log 20 20 20 211  y  y  64  20 21 0  ? ?30 1, 76  y  30 0, 76 Mà y nguyên nên y  ? ?30 1, ? ?30 0, , 29 9 ,30 0 Vậy có 6 02 giá trị y thỏa mãn Câu 22 (THPT Cẩm Bình