Đang tải... (xem toàn văn)
TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Điện thoại 0946798489 Trang chủ»Khoa Học Tự Nhiên»Toán họcMột số ý tưởng tích hợp trong dạy học cấp số nhân trong chương trình Toán 11Tại nhiều nước trên thế giới, việc xây dựng chương trình và triển khai nội dung dạy học ở bậc phổ thông luôn gắn liền với quan điểm dạy học tích hợp. Bài viết Một số ý tưởng tích hợp trong dạy học cấp số nhân trong chương trình Toán 11 trình bày một số ý tưởng dạy học tích hợp nội dung cấp số nhân trong chương trình Toán 11.acebook Nguyễn Vương https www facebook comphong baovuong Trang 1 I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1 Ý nghĩa hình học Đạo hàm của hàm số y f x tại điểm 0 x.
TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Điện thoại: 0946798489 Bài Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM • Chương ĐẠO HÀM • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1.Ý nghĩa hình học Đạo hàm hàm số y f x điểm x0 hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số M x0 ; f x0 Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M x0 ; yo k f x Phương trình tiếp tuyến hàm số điểm M có dạng: y f x0 x x0 f x0 2.Ý nghĩa vật lý đạo hàm Phương trình quỹ đạo chuyển động chất điểm: s f t Vận tốc tức thời đạo hàm quãng đường v s f t PHẦN CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng Phương trình tiếp tuyến Viết phương trình tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị hàm số 1.1 Phương trình tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị: * f '( x0 ) hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y f x điểm M x0 ; f x0 * Phương trình tiếp tuyến (PTTT) đồ thị hàm số y f x điểm M x0 ; y0 với y0 f x0 là: y f ' x0 x x0 y0 1.2 Phương pháp giải tổng quát - Bước 1: Tìm tọa độ tiếp điểm M x0 ; y0 - Bước 2: Tính y ' f ' x , suy hệ số góc tiếp tuyến f ' x0 - Bước 3: Thay vào y f ' x0 x x0 y0 ta phương trình tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y f x biết hệ số góc k tiếp tuyến Phương pháp: Giải phương trình f '( x) k giải phương trình ta tìm nghiệm x1 , x2 , , xn Phương trình tiếp tuyến: y f '( xi )( x xi ) f ( xi ) ( i 1, 2, , n) Một số ý: Đối với toán ta cần lưu ý số vấn đề sau: Số tiếp tuyến đồ thị số nghiệm phương trình: f '( x) k Tiếp tuyến tạo với chiều dương trục ox góc k tan Tiếp tuyến song song với đường thẳng : y ax b k a Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng : y ax b k a ( a 0) Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Tiếp tuyến tạo với y ax b góc tan k a ka OB OA Cho hàm số y f x có đồ thị C Lập phương trình tiếp tuyến C biết tiếp tuyến Nếu tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy A, B k qua điểm A xA ; y A 1) Phương pháp: Bước 1: Phương trình tiếp tuyến qua A xA ; y A hệ số góc k có dạng: d : y k x xA y A () Bước 2: d tiếp tuyến C hệ sau có nghiệm: f x k x x A y A f x k Bước 3: Giải hệ tìm x suy k vào phương trình () ta tiếp tuyến cần tìm Chú ý : - Số nghiệm k hệ phương trình số tiếp tuyến cần tìm - Nghiệm x hệ hoành độ tiếp điểm tiếp tuyến cần tìm Câu Cho hàm số y x x có đồ thị C a Tìm hệ số góc tiếp tuyến C điểm có hồnh độ x0 thuộc C b Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hoành độ x0 thuộc C c Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có tung độ y0 1 thuộc C d Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết hệ số góc tiếp tuyến 4 e Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến song song với đưởng thẳng y 3x Lời giải Cho đối số số gia x Khi ta có: y f x x f x x x x x x x x x x y x x x lim x x x x x x x y lim a.Hệ số góc tiếp tuyến C điểm có hồnh độ x0 thuộc C k y 1 b.Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ x0 thuộc C y y x y y x x 1 c.Với y0 1 y x02 x0 1 Vậy có hai tiếp điểm thuộc C có tung độ x0 3 y0 1 1; 1 3; 1 Nên ta có: Phương trình tiếp tuyến điểm 1; 1 y y 1 x 1 y 1 y x Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TỐN 11 Phương trình tiếp tuyến điểm 3; 1 y y 3 x 3 y 3 y 4 x 13 d.Gọi M a; b tiếp điểm tiếp tuyến đồ thị C với hệ số góc k 4 y a a 4 a b 1 Suy phương trình tiếp tuyến với hệ số góc k 4 y 4 x 3 y 4 x 13 e.Vì tiếp tuyến song song với đưởng thẳng y x nên tiếp tuyến có hệ số góc k 3 Gọi M a; b tiếp điểm tiếp tuyến đồ thị C với hệ số góc k 4 y a a 3 a 11 b 11 41 Suy phương trình tiếp tuyến với hệ số góc k 3 y 3 x y 3 x 2 4 x 1 có đồ thị C 3x a Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số giao điểm C với trục Oy Câu Cho hàm số y b Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số giao điểm C với trục Ox c.Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số giao điểm C với đường thẳng y x 1 d Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết hệ số góc tiếp tuyến k e Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến vng góc với đưởng thẳng y 3x Lời giải Ta có: y x 1 3x x 1 3x 3x 3x 3x 3x 3x 2 a Vì C không cắt Oy nên không tồn tiếp tuyến thỏa YCBT b.Tọa độ giao điểm C với trục Ox 1; Suy phương trình tiếp tuyến giao điểm C với trục Ox 1 y y 1 x 1 y x 3 c.Tọa độ giao điểm C với đường thẳng y x 1 nghiệm phương trình x 1 y x 1 x 3x x x 1y 3x 3 1 Phương trình tiếp tuyến điểm 1; y y 1 x 1 y x 3 1 4 1 Phương trình tiếp tuyến điểm ; y y x y 3 x 3 3 3 3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ d.Gọi M a; b tiếp điểm tiếp tuyến đồ thị C với hệ số góc k a 1 b 1 y a 3 3a a 1 b 1 Suy phương trình tiếp tuyến với hệ số góc k y x 1 y x 3 3 1 y x 3 e Tiếp tuyến vng góc với đưởng thẳng y 3x Suy tiếp tuyến hệ số góc k Vậy tốn câu e trở câu d Câu Cho hàm số y x3 x C Viết phương trình tiếp tuyến hàm số trường hợp sau: a Tại điểm M 1; 2 b Song song với đường thẳng d1 : y 3x c Vng góc với đường thẳng d : y x Lời giải y 3x 10 x a Có y 1 7 nhận thấy M 1; 2 C nên tiếp tuyến C M 1; 2 y y 1 x 1 7 x 1 y 7x b Có tiếp tuyến song song đường thẳng d1 : y 3x nên hệ số góc tiếp tuyến k 3 Gọi M x0 ; y0 điểm tiếp xúc tiếp tuyến với đồ thị C ta có : x0 y x0 k 3 x0 10 x0 3 x0 * x0 y0 16 PTTT : y 3 x 3 16 y 3x * x0 40 40 67 y0 PTTT : y 3 x y 3 x 27 27 27 c Có tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d : y x y x nên tiếp tuyến 7 có hệ số góc k Gọi M x0 ; y0 điểm tiếp xúc tiếp tuyến với đồ thị C ta có : Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 46 x0 y x0 k x0 10 x0 46 x0 Tương tự câu b Câu Cho hàm số y x x C Viết phương trình tiếp tuyến hàm số biết hợp với trục Ox góc 60 Lời giải y x 1 x2 2x k k tan 600 Có hệ số góc tiếp tuyến hợp với trục Ox góc 600 nên k k tan120 Gọi M x0 ; y0 điểm tiếp xúc tiếp tuyến với đồ thị C ta có : * k y x0 x x 3 2 x0 x0 2 x0 x0 x0 1 x0 x0 x0 x x 2 y0 x0 2 x 2 PTTT : y x * k y x0 x x 3 2 2 x0 x0 2 x0 x0 1 x0 x0 x0 x0 x x 2 y0 x0 2 x 2 PTTT : y x Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Câu Cho hàm số y x 3x C Viết phương trình tiếp tuyến hàm số biết qua điểm A 0; 4 Lời giải Có y x x y Nhận thấy M 0; 4 C nên tiếp tuyến C M 0; 4 có phương trình y y 0 x y 4 Câu Cho hàm số y x x C Tìm tọa độ điểm C cho tiếp tuyến điểm song song với trục hồnh Lời giải Có y x x Gọi M x0 ; y0 thuộc C có tiếp tuyến song song với trục hoành x0 y0 4 y x0 x0 x0 x0 y0 5 x0 1 y0 5 Vậy có điểm thỏa mãn yêu cầu đề 0; 4 , 1; 5 , 1; 5 Câu Cho hàm số y x3 3x C Viết phương trình tiếp tuyến hàm số biết tiếp tuyến qua điểm M 1; 2 Lời giải Có y x x Gọi k hệ số góc tiếp tuyến qua điểm M 1; 2 Khi phương trình tiếp tuyến có dạng y k x 1 (*) Gọi M x0 ; y0 điểm tiếp xúc tiếp tuyến với đồ thị C ta có : k y x0 3x0 x0 , y0 x03 x0 M x0 ; y0 thuộc tiếp tuyến nên (*) : y0 k x0 1 x03 x0 x0 x0 x0 1 17 k pttt x0 x0 x0 17 k pttt x0 Câu Cho hàm số g x x3 bx cx d C Xác định hệ số b, c, d cho đồ thị C qua điểm M 1; 3 , N 1; 1 tiếp tuyến đồ thị C điểm có hồnh độ trục hồnh Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ song song với Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Lời giải Đồ thị C qua điểm M 1; 3 , N 1; 1 nên ta có hệ phương trình 3 1 b c d 2 c b d b d 2 (*) 1 b c d 2 c b d c g x x3 bx d Có tiếp tuyến đồ thị điểm có hồnh độ song song với trục hoành nên 1 1 g 2b d 2b 3d 3 3 b Kết hợp với (*) ta d Câu Cho hs y x 3(m 1) x 6mx-3m+4 (Cm ) Gọi d tiếp tuyến (Cm ) điểm A có hồnh độ Tìm m để d cắt (Cm ) B khác A cho tam giác OAB vng O Lời giải: Ta có A(1; 2), y ' x 6(m 1)x 6m Tiếp tuyến (Cm ) A d : y 3 x Phương trình hồnh độ giao điểm d x (Cm ) là: x3 3(m 1) x 6mx 3m 3 x ( x 1) ( x 3m 1) x 3m Ta có B 3m 1; 9m , OA 1; , OB (3m 1; 9 m 2) Để tam giác OAB vuông O OA.OB (3 m 1) 2(9 m 2) m Câu 10 Cho hs y x (2m 1) x m (Cm ) Tìm m để (Cm ) tiếp xúc với đường thẳng d : y 2mx m Lời giải: Đặt f ( x) x (2m 1) x m Ta có f ' ( x) 3 x 2(2 m 1) x Để (Cm ) tiếp xúc với d hệ phương trình sau phải có nghiệm: x (2 m 1) x m 2mx m 1(1) 3 x 2(2 m 1) x 2m (2) x Ta có (1) x (2 m 1) x 2mx x x (2 m 1) x 2m x x 2m Với x thay vào (2) ta m Với x thay vào (2) ta m m 0 Với x 2m thay vào (2) ta m Vậy m 0; m 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Câu 11 Cho hs y x 3x mx (Cm ) Tìm m để (Cm ) cắt đường thẳng y điểm phân biệt C(0;1), D, E cho tiếp tuyến (Cm ) D E vng góc với Lời giải: ' Đặt f ( x) x 3x mx f ( x) 3x x m Phương trình hồnh độ giao điểm (Cm ) y 1 là: x x3 x mx x x 3x m x 3x m 0(2) Để (Cm ) cắt y điểm C (0;1), D, E phân biệt phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt 4m m khác (*) m m Ta có hệ số góc tiếp tuyến ' 2 f xD xD xD m 3( xD xD m) xD m (3 xD m) D E là: f ' xE xE2 xE m 3( xE2 xE m) xE m (3 xE m) Các tiếp tuyến D, E vng góc với f ' ( xD ) f ' ( xE ) 1 xD xE 6m( xD xE ) m 1 9m 6m(3) m 1 65 m 4m 9m 65 m 65 So sánh điều kiện ta có m x 1 Câu 12 Cho hàm số y (C) đường thẳng d : y x m Tìm m để d cắt (C) điểm A, B phân x 1 biệt Chứng minh tích hệ số góc tiếp tuyến (C) A, B không đổi Lời giải: x 1 x 1 xm Ta có phương trình hoành độ giao điểm (C) d: x 1 x mx m 0(*) Để d cắt (C) điểm A, B phân biệt (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1 m 2 m 4(m 1) g (1) (1) m m m 2 Gọi A(a; a m), B(b; b m) giao điểm (C) d Khi tích hệ số góc tiếp tuyến (C) 2 4 A B là: f ' (a) f ' (b) 1 2 (a 1) (b 1) ab (a b) 1 (m m 1)2 a b m (Với ; a,b nghiệm phương trình (*) ab m Dạng Ý nghĩa vật lý đạo hàm Câu Một chất điểm chuyển động thẳng biến đổi với phương trình s 2t t m a Tìm vận tốc tức thời vật thời điểm t 2s b Tìm vận tốc trung bình chất điểm khoảng thời gian từ t tới t 2s Lời giải Ta có: v s 4t Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 a Vận tốc tức thời vật thời điểm t 2s là: 4.2 m / s b Trong khoảng thời gian từ t tới t 2s chất điểm di chuyển quãng đường: 4.2 m Suy vận tốc trung bình chất điểm khoảng thời gian 2s kể từ thời điểm t là: v s 4,5 m / s t Câu Một viên đạn bắn lên từ vị trí M cách mặt đất 1m , theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu v0 196 m/s (bỏ qua sức cản khơng khí) a) Tìm thời điểm t0 mà vận tốc viên đạn Khi viên đạn cách mặt đất mét? (lấy g 9,8 m / s ) b) Sau khoảng giây (kể từ lúc bắn) viên đạn rơi xuống mặt đất? Lời giải a) Chọn trục Oy theo phương thẳng đứng, chiều dương hướng từ mặt đất lên trời, gốc O mặt đất M vị trí viên đạn bắt đầu bắn lên (thời điểm t ) Khi chuyển động viên đạn chuyển động biến đổi với vận tốc ban đầu v0 196 m/s với gia tốc g 9,8 m / s (gia tốc nhận giá trị âm vectơ gia tốc ngược chiều với chiều dương trục).Sau bắn t (s), viên đạn quãng đường s t 196t 4,9t Ta có v t s t 196 9,8t Khi v t0 196 9,8t0 t0 20 s Vậy sau bắn lên 20 giây vận tốc viên đạn Khi viên đạn cách mặt đất h s 20 1961 m b) Viên đạn rơi xuống đất s t 4,9t 196t t 40 s Câu Một vật rơi tự có phương trình chuyển động s gt , g 9,8 m / s t tính giây a) Tìm vận tốc trung bình chuyển động khoảng thời gian từ t t 5s đến t t với độ xác đến 0, 001 , biết t nhận giá trị 0,1; 0, 01; 0, 001 b) Tìm vận tốc thời điểm t giây Lời giải a) Ta có vận tốc trung bình chuyển động khoảng thời gian từ t đến t t là: 1 2 s t t s t g t t gt vtb 4,9 2t t t t Do với t s + t 0,1 vtb 4,9 10 0,1 49, 49 m / s + t 0, 01 vtb 4,9 10 0, 01 49, 049 m / s + t 0, 001 vtb 4,9 10 0,001 49, 0049 m / s b) Vận tốc thời điểm t s tương ứng với t nên có vận tốc v 4,9 10 49 m / s Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ PHẦN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Dạng Bài toán tiếp tuyến Câu x 1 điểm có hồnh độ x0 1 có hệ số góc 2x 1 B C 5 D 5 Lời giải Tiếp tuyến đồ thị hàm số y A Chọn B 3 TXĐ: D \ 2 5 Ta có f ' x x 3 Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hoành độ x0 1 : f ' 1 Câu 5 2. 1 3 1 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y x x điểm có hồnh độ x 1 A y x B y x C y x D y x Lời giải Chọn C Ta có y x3 x , y 1 Điểm thuộc đồ thị cho có hồnh độ x 1 là: M 1;2 Vậy phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số M 1;2 là: y y 1 x 1 y x 1 y x Câu Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y x x điểm có hồnh độ x 1 A y x B y x C y x D y x Lời giải Chọn C Ta có y x3 x , y 1 Điểm thuộc đồ thị cho có hồnh độ x 1 là: M 1;2 Vậy phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số M 1;2 là: y y 1 x 1 y x 1 y x Câu 2x điểm có hồnh độ , tương ứng x2 B y 7 x 30 C y 3x D y x Lời giải Tiếp tuyến đồ thị hàm số y A y x 13 Chọn B x 3 y 9; Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ ... ? ?3 x Phương trình hồnh độ giao điểm d x (Cm ) là: x3 3( m 1) x 6mx 3m ? ?3 x ( x 1) ( x 3m 1) x 3m Ta có B 3m 1; 9m , OA 1; , OB (3m... song song với đường thẳng y ? ?3 x có x 1 phương trình A y ? ?3 x 1; y ? ?3 x 11 B y ? ?3 x 10; y ? ?3 x C y ? ?3 x 5; y ? ?3 x D y ? ?3 x 2; y ? ?3 x Lời giải Chọn A Gọi M ... a 1 điểm thuộc đồ thị hàm số f x x3 1 C Ta có f x 3x phương trình tiếp tuyến C M là: y 3a x a a y 3a x 2a3 1 3a a 1 a 1