NBV chủ đề 3 tích phân mức độ VDC đáp án

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2021 Facebook Nguyễn Vương https //www facebook com/phong baovuong Trang 1 MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO Câu 1 (Liên trường Quỳnh Lưu Hoàng Mai Nghệ An 2021) Giả sử hàm số f có đạo[.]

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2021 NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG Chủ đề   MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO Câu (Liên trường Quỳnh Lưu - Hoàng Mai - Nghệ An - 2021) Giả sử hàm số  f  có đạo hàm đến  cấp hai trên    thỏa mãn  f      và  f   x   x f   x   x  với mọi  x    Giá trị tích phân   xf   x  dx  bằng:  A   B     Lời giải D   C Chọn C Ta có:  f   x   x f   x   x  f      2 2 Lại có:   f   x  dx   x f   x  dx   xdx  x 0  4  Xét  I1   f   x  dx   Đặt   x  t  dx  dt   Với  x   t    x   t  0  2  I1    f  t  dt   f  t  dt   f  x  dx   0 u  f  x  du  f   x  dx  Đặt     dv  dx v  x 2 2  I1   xf  x     xf   x  dx  f     xf   x  dx   xf   x  dx   0 0 Xét  I   x f   x  dx   du  xdx u  x  Đặt     v  f   x  dv  f   x  dx 2 2  I   x f   x     xf   x  dx  f     2 xf   x  dx   2 xf   x  dx   0 0 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  2 Vậy    xf   x  dx   2 xf   x  dx    xf   x  dx  Câu 0   (Liên trường huyện Quảng Xương - Thanh Hóa - 2021) Sân trường có một bồn hoa hình trịn  tâm  O  Một nhóm học sinh lớp 12 được giao thiết kế bồn hoa, nhóm này định bồn hoa thành bốn  phần bởi 2 đường parabol có cùng đỉnh  O  và đối xứng với nhau qua tâm  O  (như hình vẽ).    Hai đường parabol cắt đường trịn tại 4 điểm  A, B, C , D tạo thành một hình vng có cạnh bằng  4m  Phần diện tích  S1 , S  dùng để trồng hoa, phần diện tích  S3 , S  dùng để trồng cỏ. Biết kinh  phí trồng hoa là  150.000  đồng/ m , kinh phí trồng cỏ là  100.000  đồng/ m  Hỏi nhà trường cần  bao nhiêu tiền để trồng bồn hoa đó? (số tiền làm trịn đến hàng chục nghìn)  A 3.270.000 đồng  B 5.790.000 đồng.  C 3.000.000 đồng. D 6.060.000 đồng.  Lời giải Chọn A  Ta có: vì  ABCD  là hình vng cạnh   nên  BD  BC  2; OB 2  và  A( 2;2), B (2; 2)    Phương trình đường trịn tâm  O  có bán kính  OB  2  là  (C ) : x  y   y   x    Parabol đi qua hai điểm  A( 2;2), B (2; 2)  và đỉnh ngay gốc tọa độ nên suy ra  ( P) : y  Từ đồ thị ta có được  S  là diện tích giới hạn bởi hai đồ thị  y   x và  ( P) : y  x2   x2  cùng với  hai đường thẳng  x  2; x    2  x2  Từ đó suy ra  S 1    x  dx    x dx  ; Đặt  x  2 sin t  dx  2 cos tdt   2 2  2 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2021  Suy ra  S 1   4    8sin t 2.cos t.dt     8cos tdt     4   cos 2t  dt   2    3      4   S 1 S  S 1  2    4  (m )    Mặt khác:  S 1 S 2; S 3 S4 nên suy ra        S  S  S   S  S   8  2  (C )    4  (m )  3  8 8   Vậy tổng số tiền để trồng bồn hoa là:   4   150000   4   100000  3274926  đồng.  3 3   Câu (Chuyên Thoại Ngọc Hầu - An Giang - 2021) Cho hàm số  f  x   liên tục, không âm trên đoạn       0;  ,  thỏa  mãn  f      và  f  x  f   x   cos x  f  x  , x  0;    Tìm  giá  trị  nhỏ     nhất  m  và giá trị lớn nhất  M  của hàm số  f  x   trên đoạn   ;    6 2 A m  B m  , M  ,M  D m  C m  3, M  2 21 ,M  2 Lời giải Chọn D f  x  f   x   cos x  f  x    f  x f  x 1 f  x f  x f  x  cos x 1 f  x dx   cos xdx  sin x  C1   1 Đặt  t   f  x   t   f  x   tdt  f  x  f   x  dx   Suy ra   f  x f  x 1 f  x dx   tdt   dt  t  C2   f  x   C2 t  2   Từ  1  và     suy ra   f  x   sin x  C  Thay  x   vào ta có:    C  C    Hay   f  x   sin x     f  x    sin x     sin x  4sin x     f  x   sin x  4sin x     1  Đặt  t  sin x  Với  x   ;   t   ;1   6 2 2  1  Ta đi xét hàm số  g  t   t  4t  3, t   ;1   2  g t   1  1   0, t   ;1  do đó  g  t   đồng biến trên   ;1   2  2  t  4t  t2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  21 1 g  t   g     f  x   m 1     2    ;1 6;2       max g  t   g 1  2  max f  x   M     ;  1   ;1 Câu (Chuyên Lê Hồng Phong - TPHCM - 2021) Cho hàm số  f  x   có đạo hàm cấp 2 liên tục trên  đoạn   0;1   thỏa  mãn  f 1  0; f ' 1    và  10 f  x   xf '  x   x f ''  x   với  mọi  x   0;1   Khi đó tích phân   f  x  dx bằng  A    15 B    C    10 D    17 Lời giải Chọn D Ta có:  10 f  x   xf '  x   x f ''  x    với mọi  x   0;1   1   10 f  x  dx   xf '  x  dx   x f ''  x  dx    0 Đặt  I   f  x  dx , theo phương pháp tích phân từng phần, ta được:  1    xf '  x  dx  xf  x  |0   f  x  dx   I 0 1  x f '' x dx  x f ' x |1 2 xf ' x dx    I   I      0       0  10 I    I    I   I   17 Vậy   f  x  dx   Câu   17 (Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - 2021) Cho hàm số  f ( x) có đạo hàm liên tục trên  R và thỏa  mãn  f (0)   và  f ( x)  f (2  x)  x  x  ,  x  R  Tích phân   x f '( x)dx  bằng  A 10   B 5   11   Lời giải C D 7   Chọn A  Ta có:  I   x f '( x)dx , ta sử dụng phương pháp từng phần  2 u  x du  dx   I  x f '( x ) dx  f (2)  Đặt    0 0 f ( x)dx   dv  f '( x)dx v  f ( x) f ( x)  f (2  x)  x  x   thế  x  vào ta có:  f (0)  f (2)   f (2)  1  (1)   Từ đó ta tích phân 2 vế từ 0 đến 2  Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2021  2   f ( x)dx   f (2  x )dx    x  x   dx    0 2  Mặt khác ta lại có:   f ( x)dx   f (2  x)dx   2 2 Nên suy ra   f ( x)dx   f (2  x)dx   f ( x)dx  0   f ( x)dx   (2)  3  Từ (1) và (2) suy ra  I   x f '( x)dx  f (2)   f ( x)dx  2  Câu (Chuyên KHTN - 2021) Cho  hàm  số  10    3 f  x    liên  tục  trên     và  thỏa  mãn  x xf   x    x  1 f  x   e  với mọi  x  Tính  f      A   B 1   C e   D   e Lời giải Chọn B Ta có:  xf   x    x  1 f  x   e x  xf   x   f  x   xf  x   e x    xe x f   x    x  1 e x f  x      xe x f   x    xe x  f  x       xe x f  x       xe x f  x    dx  x  C   *   Với  x    +) Thay vào biểu thức ban đầu ta có:  f       1 f    e0   f      +) Thay vào  *  , ta có:  C    e x x  x xe f x  x  f x  Khi đó:         1 x  f  x   f 0 e x  e x  Suy ra:  f     lim  lim   lim  1   x 0 x 0 x0 x x x Câu (Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hịa Bình - 2021) Cho  hàm  số  y  f ( x) có  đạo  hàm  liên  tục  trên  đoạn  [1;3] thỏa  mãn   f (1)    và  f ( x)  ( x  1) f ( x)  xf ( x), x  [1;3]   Giá  trị  của  f ( x) dx bằng  A  ln   B  ln    ln   Lời giải C D  ln   Chọn C  x   f ( x)  ( x  1) f ( x)  Xét  f ( x)  :  f ( x)  ( x  1) f ( x)  xf ( x)  ⇔   x  ⇔     2x   f ( x)  f  x  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  ⇒  x 1 x 1   xdx  ⇔   x2  C   f  x f  x f (1)   ⇒  C   ⇒  x 1 x 1  x  ⇔  f  x     x f  x Xét:  f ( x)   ⇒  x  1  thỏa mãn điều kiện bài toán. Vậy:  f  x   3 x 1   x2 3 x 1 1 1 1       f  x  dx   dx    +  dx   ln x     ln     ln1  1  ln    x x x  x 1  3  1 1 Câu (Chuyên Quốc Học Huế - 2021) Cho  hàm  số  f ( x) có  đạo  hàm  liên  tục  trên  R thỏa  mãn:  f '( x)  f ( x)  e x cos 2021x   và  f (0)    Đồ  thi  hàm  số  y  f ( x) cắt  trục  hoành  tại  bao  nhiêu  điểm có hồnh độ thuộc đoạn   1;1 ?  A B C 1287 Lời giải Chọn C Ta có phương trình trên tương đương với   f '( x)  f ( x)  e x cos 2021x  f '( x)  f ( x)  e x cos 2021x  e  x f '( x )   e  x  f ( x)  cos 2021x D 4043   Đến đây ta nguyên hàm hai vế thu được:  sin 2021x   e x f ( x)   cos 2021x  e x f ( x)   cos 2021xdx  C   2021 sin 2021x e x sin 2021x Mà  f (0)  nên  C  suy ra  e  x f ( x)     f ( x)  2021 2021 Phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hàm số  y  f ( x)  và trục hoành là  e x sin 2021x k   sin 2021x   2021x  k , k  Z  x  ,k  Z    2021 2021 k 2021 2021 Vì  x   1;1  nên  1    1 k 2021   f ( x)   Mà do  k  Z nên suy ra  k  643; 642; ;643  như vậy ta kết luận đồ thi hàm số  y  f ( x) cắt  trục hồnh tại 1287 điểm có hồnh độ thuộc đoạn   1;1   Câu (Chun Quang Trung - Bình Phước - 2021) Cho hàm số  y  f  x   có đạo hàm liên tục trên   ,  xf   x   e x  1, x  , f 1   Giá trị   xf  x  dx  bằng A    B   C    Lời giải D Chọn A  Tính   xf  x  dx :  Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/   TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2021   d u  f   x  dx u  f  x   Đặt      x2 dv  xdx v   1 1 x2 x2 1 x  0 xf  x  dx  f  x   0 f  x  dx  f 1  f    0 x  e  1 dx    1  x x x2  x x e  d x      xe  e     0 2 0  1     e  e    e0       2  Câu 10 (Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh - 2021) Cho  hàm  số  y  f ( x )   liên  tục  và  có  đạo  hàm  trên      2; \ 0 , thỏa mãn  f (1)   và  f '( x)  x e f ( x )   A ln   B ln   C ln   Lời giải  x e f ( x)   Giá trị của  f    bằng  2 D ln   Chọn A f '( x)  x  x e f ( x)     f '( x)e f ( x )  x e f ( x )    f '( x)e f ( x )  e f ( x)  1    f '( x)e f ( x )  xe f ( x ) e f ( x )   x  2 0  f '( x)e f ( x)   e f ( x)  x d e f ( x)  x2    xdx  dx   xdx     C , (1)    f ( x) f ( x) e  e 1   1 x2  C  C  Suy  , (2) e f (1)  e f ( x)  1 1 Trong (2) cho x=    f    ln   2 f  e   1 Trong (1) cho x=1   Câu 11 (Chuyên ĐHSP Hà Nội - 2021) Cho  hàm  số  f  x    liên  tục  trên     thỏa  mãn  f  x   f  x   sin  x  x  x  , x    Tích phân  I   f  x  dx  thuộc khoảng nào?  A  3; 2    B  2; 1   C  1;1   D 1;2    Lời giải  Chọn C Cách Từ giả thiết ta có  f 1  x   f 1  x   sin  1  x   1  x   1  x        f 1  x   f 1  x   sin  2 x  x  x    sin  x  x  x     f 1  x   f 1  x     f  x   f  x       f 1  x   f  x     f 1  x   f  x      Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489    f 1  x   f  x    f 1  x   f 1  x  f  x   f  x   3     f 1  x    f  x    1 Khi đó  I   f  x  dx    f 1  x  dx   1   0 x   t  Đặt  t   x  dt  dx  Đổi cận     x   t  1   f 1  x  dx    f  t  dt   f  t  dt   f  x  dx  I       0 Từ  1  và     suy ra  I   I  I   Vậy  I   1;1   Cách 2. Do  1  sin  x  x  x    nên  1  f  x   f  x    4  f  x   f  x     + Từ  f  x   f  x   4  f  x   f  x      f  x   1  f  x   f  x        f  x     f  x   1   + Từ  f  x   f  x    f  x   f  x      f  x   1  f  x   f  x        f  x     f  x     1 1 Suy ra  1  f  x      1 dx   f  x  dx   1dx  1   f  x  dx   Vậy  I   1;1   0 0 Câu 12 (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An - 2021) Giả sử  f ( x )  là hàm có đạo hàm liên tục trên   0;    và    f ( x)sin x  x  f ( x)cosx, x   0;    Biết  f ( )  1, f ( )  ( a  b ln  c 3) , với  a , b, c  là  12 các số nguyên. Giá trị của  a  b  c  bằng  A 1   B 1.  C 11   D 11   Lời giải  Chọn A f ( x) sin x  x  f ( x)cosx  f ( x) sin x  f ( x)cosx  x f ( x) sin x  f ( x)cosx x x  f ( x )     2   sin x sin x  sin x  sin x   f ( x) x    dx   x cot x   cot xdx   x cot x  ln sin x  C   sin x sin x f ( x) Hay    x cot x  ln sin x  C   sin x      f   1   cot  ln sin  C  C     2 2 sin f ( x)    x cot x  ln sin x    sin x Ta có:    f( )    cot   ln sin    f (  )   ln     Do đó    6 6 12 sin  a  6, b  6, c  1   a  b  c  1       Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2021  Câu 13 (THPT Quế Võ - Bắc Ninh - 2021) Thành  phố  định  xây  cây  cầu  bắc  ngang  con  sông  dài  500 m ,  biết  rằng  người  ta  định  xây  cầu  có  10  nhịp  cầu  hình  dạng  parabol,mỗi  nhịp  cách  nhau  40 m , biết 2 bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây 1 chân trụ rộng  5 m  Bề dày và bề  rộng của nhịp cầu khơng đồi là  20 cm  (mặt cắt của một nhịp cầu được mơ phỏng như hình vẽ).  Hỏi lượng bê tơng để xây các nhịp cầu là bao nhiêu (làm trịn đến hàng đơn vị).    A 50m3   B 20m3   C 100m3   Lời giải D 40m3     Chọn D Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với gốc  O(0; 0)  là chân cầu (điểm tiếp xúc Parabol trên),  đỉnh I  25;2  , điểm  A  50;0   (điểm tiếp xúc Parabol trên với chân đế).  Gọi Parabol trên có phương trình   P1  : y1  ax  bx  (do (P) đi qua  O ).  20  ax  bx    100 2 2 Ta có   P1   đi qua  I  25;2  A  50;0      P1  : y1   x  x  y2   x  x   625 25 625 25 Khi đó diện tích mỗi nhịp cầu là  S  S1  với  S1  là phần giới hạn bởi  y1 ; y2  trong khoảng  (0; 25)     Phương trình parabol dưới   P2  : y2  ax  bx  25  0,2  2   S  2    x  x dx   dx   9,9m   0,2 25    625  Vì bề dày nhịp cầu khơng đổi nên coi thể tích là tích diện tích và bề dày  V  S 0,  9, 9.0,  1,98m3   số lượng bê tông cần cho mỗi nhip cầu   2m   Vậy 10 nhịp cầu 2 bên cần   40m  bê tông.  Câu 14 (THPT Quốc Oai - Hà Nội - 2021) Cho hàm số  y  f  x   có đồ thị  y  f '  x  như hình vẽ.Giá  lớn nhất của hàm số  g  x   f  3x   3x  trên đoạn   1;1  bằng  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  A f  3  B f 1    D f  3    C f  1  Lời giải Chọn A g '  x   f '  3x    g '  x    f '  3x   1   Số nghiệm của  1 là số giao điểm của đồ thị hàm số  y  f '  3x  và  y    x  x  3 x    f '  3x      x  x    Dựa vào đồ thị ta có bảng biến thiên       1            g '  x       -                    g  x      f  3                1   0           0  f 1        Dựa vào đồ thị ta có  1   g '  x dx   g '  x dx   g    g  1  g    g   1   1  g  1  g    f  3   g 1  3 Giá trị lớn nhất của  y  g  x   trên   1;1  là  f  3    Câu 15 (THPT Quốc Oai - Hà Nội - 2021) Cho hàm số  y  f  x   có đạo hàm liên tục trên    Hàm số  y  f   x   có đồ thị như hình vẽ  bên dưới.  Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ ...    C1  ,  C2   cắt nhau tại? ?3? ?điểm? ?phân? ?biệt có  hồnh? ?độ? ?lần lượt là  1;2 ;3  Tính diện? ?tích? ?hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị   C1  ,  C2  ?  A 115 B 32 C 71 D 112   Facebook Nguyễn... C2   cắt nhau tại? ?3? ?điểm? ?phân? ?biệt có hồnh? ?độ? ?lần lượt là  1;2 ;3  nên đa thức bậc ba  f ( x)  g ( x)  có ba nghiệm  1;2 ;3  Do đó,  f ( x)  g ( x)  a  x  1 x   x  3? ?? ,  với  a   ... TẬP TNTHPT 2021  Phương pháp trắc nghiệm: Dùng máy tính Casio bấm kết quả của? ?tích? ?phân? ? I , sau đó thử 4? ?đáp? ? án, ? ?đáp? ?án? ?nào trùng khớp chính là kết quả cần tính.  Câu 24 (Sở n Bái - 2021) Cho hàm số