Chuyên đề 3 Ba đường conic và ứng dụng Bài 1 Elip Trang 40, 41 HĐ1 trang 40 Chuyên đề Toán 10 Cho elip có phương trình chính tắc 2 2 2 2 x y 1 a b (H 3 1) a) Tìm toạ độ các giao điểm của elip với[.]
Chuyên đề 3: Ba đường conic ứng dụng Bài 1: Elip Trang 40, 41 HĐ1 trang 40 Chuyên đề Tốn 10: x y2 Cho elip có phương trình tắc (H.3.1) a b a) Tìm toạ độ giao điểm elip với trục toạ độ b) Hãy giải thích sao, điểm M(x0; y0) thuộc elip điểm có toạ độ (x0; –y0), (–x0; y0), (–x0; –y0) thuộc elip c) Với điểm M(x0; y0) thuộc elip, so sánh OM2 với a2, b2 Lời giải: a) +) Vì A1 thuộc trục Ox nên toạ độ A1 có dạng x A ; Mà A1 thuộc elip nên x 2A a x A1 a 02 x 2A a b x A1 a Ta thấy A1 nằm bên trai điểm O trục Ox nên x A1 x A1 a A1(–a; 0) +) Vì A2 thuộc trục Ox nên toạ độ A2 có dạng x A ; Mà A2 thuộc elip nên x 2A a 2 x A2 a 02 2 1 xA a b x A2 a Ta thấy A2 nằm bên phải điểm O trục Ox nên x A2 x A2 a A2(a; 0) +) Vì B1 thuộc trục Oy nên toạ độ B1 có dạng 0; yB yB b 02 y B1 Mà B1 thuộc elip nên y 2B b y b a b B1 Ta thấy B1 nằm bên điểm O trục Oy nên yB1 yB1 b B1(0; –b) +) Vì B2 thuộc trục Oy nên toạ độ B2 có dạng 0; yB 2 yB b 02 y B2 Mà B2 thuộc elip nên y 2B b y b a b B2 Ta thấy B2 nằm bên điểm O trục Oy nên yB2 yB2 b B2(0; b) b) x 02 y02 Nếu điểm M(x0; y0) thuộc elip ta có: a b x y02 x y0 x 02 y02 x 02 y0 nên điểm có Ta có: a b2 a2 b a2 b2 a b 2 toạ độ (x0; –y0), (–x0; y0), (–x0; –y0) thuộc elip c) M(x0; y0) thuộc elip nên ta có: x 02 y02 a b2 x 02 y0 OM = x y a b a b mà b 2 2 2 2 x 02 y0 x0 y0 x0 y0 b a b a a a2 b2 a2 b2 a2 b2 2 x 02 y02 x 02 y02 y0 x0 hay b a b a b a b b a a 2 x 02 y0 hay b a b a nên b2 OM a a b 2 Luyện tập trang 40 Chuyên đề Toán 10: Viết phương trình tắc elip với độ dài trục lớn 10 tiêu cự Lời giải: x y2 Gọi phương trình tắc elip cho (a > b > 0) a b Theo đề ta có: – Độ dài trục lớn 10, suy 2a = 10, suy a = – Elip có tiêu cự 6, suy 2c = hay c = 3, suy b2 = a2 – c2 = 52 – 32 = 16 x y2 Vậy phương trình tắc elip cho 25 16 Luyện tập trang 41 Chun đề Tốn 10: (Phép co đường trịn) Cho đường trịn có phuong trình x2 + y2 = a2 số k (0 < k < 1) Với điểm M(x0; y0) thuộc đường tròn, gọi H(x0; 0) hình chiếu vng góc M lên trục Ox N điểm thuộc đoạn MH cho HN = kHM (H.3.5) a) Tính toạ độ N theo x0; y0; k b) Chứng minh điểm M thay đổi đường trịn N thay đổi elip có x2 y2 phương trình tắc a (ka)2 Lời giải: a) Gọi toạ độ N (xN; yN) Khi HN x N x ; y N x N x ; y N Vì HN = kHM nên HN kHM Mà HM x x ; y0 0; y0 nên x N x k.0 x N x y N k.y0 y N ky0 b) Khi M thay đổi đường trịn ta ln có x 02 y02 a x2 y2 x ky0 x 02 y02 x 02 y02 a Do N2 N 20 a (ka) a (ka) a2 a2 a2 a x2 y2 Vậy N ln thay đổi elip có phương trình tắc a (ka)2 Trang 42, 43 HĐ2 trang 42 Chuyên đề Toán 10: Cho elip có hai tiêu điểm F1(–c; 0), F2(c; 0) độ dài trục lớn 2a điểm M(x; y) a) Tính MF12 – MF22 b) Khi điểm M thuộc elip (MF1 + MF2 = 2a), tính MF1 – MF2, MF1, MF2 Lời giải: a) MF12 – MF22 = (x2 + 2cx + c2 + y2) – (x2 – 2cx + c2 + y2) = 4cx b) MF12 – MF22 = 4cx (MF1 + MF2)(MF1 – MF2) = 4cx 2a(MF1 – MF2) = 4cx MF1 – MF2 = 4cx 2c = x a 2a +) Từ MF1 + MF2 = 2a MF1 MF2 (MF1 + MF2) + (MF1 – MF2) = 2a + 2c 2c c x 2MF1 = 2a + x MF1 = a + x a a a +) Từ MF1 + MF2 = 2a MF1 MF2 (MF1 + MF2) – (MF1 – MF2) = 2a – 2c x ta suy ra: a 2c x ta suy ra: a 2c 2c c x 2MF2 = 2a – x MF2 = a – x a a a Luyện tập trang 43 Chuyên đề Toán 10: x y2 Cho elip , điểm M thay đổi elip Hỏi khoảng cách từ M tới tiêu 36 20 điểm elip lớn bao nhiêu, nhỏ bao nhiêu? Lời giải: Có a2 = 36, suy a = c a b 36 20 16 Gọi toạ độ M (x; y) Ta xét khoảng cách từ M đến F1 Theo cơng thức độ dài bán kính qua tiêu ta có MF1 = + x = + x Mặt khác, M thuộc elip nên –6 ≤ x ≤ 2 2 x 4 x x 10 3 3 Vậy ≤ MF1 ≤ 10 Vậy độ dài MF1 nhỏ M có hồnh độ –6, lớn 10 M có hồnh độ Vận dụng trang 43 Chun đề Tốn 10: Với thơng tin đưa tình mở đầu, lập phương trình tắc elip quỹ đạo Trái Đất, với đơn vị đo mặt phẳng toạ độ ứng với 106 km thực tế Lời giải: x y2 Gọi phương trình tắc elip (a > b > 0) a b Giả sử Trái Đất có toạ độ điểm M(x; y) tâm Mặt Trời trùng với tiêu điểm F1 Khi đó, khoảng cách lớn nhỏ từ Trái Đất đến tâm Mặt Trời a + c a – c Theo đề ta có: a + c = 152 a – c = 147 Suy a = 149,5 c = 2,5 Suy b2 = a2 – c2 = 149,52 – 2,52 = 22344 x2 y2 Vậy phương trình tắc elip 22350, 25 22344 HĐ3 trang 43 Chuyên đề Toán 10: x y2 Cho elip có phương trình tắc , với tiêu điểm F1(–c; 0), F2(c; 0), a b c a b (H.3.6) Xét đường thẳng 1 : x điểm M(x; y) thuộc elip, tính tỉ số a2 a2 : x Với c c MF2 MF1 theo a c d M, d M, 1 Lời giải: a2 +) Viết lại phương trình đường thẳng Δ1 dạng: x 0y Với điểm M(x; c y) thuộc elip, ta có: d M, 1 Do MF1 = a + suy a2 x 0y c 12 02 a2 x c c c x > nên MF1 = |a + x|, a a MF1 d M, 1 a cx c a x a c c a a a a2 xc a x c c a2 +) Viết lại phương trình đường thẳng Δ2 dạng: x 0y Với điểm M(x; c y) thuộc elip, ta có: d M, a2 x 0y c 12 02 a2 x c Do MF2 = a – suy c c x > nên MF2 = |a – x|, a a MF2 d M, a cx c a x a c c a 2 a a a xc a x c c Trang 44 Luyện tập trang 44 Chuyên đề Toán 10: x y2 Tìm tâm sai đường chuẩn Cho elip có phương trình tắc 36 25 elip Tính bán kính qua tiêu điểm M thuộc elip có hồnh độ –2 Lời giải: +) Có a2 = 36, b2 = 25, suy a = 6, b = c a b 36 25 11 Tâm sai 1 : x elip e = c 11 , a đường chuẩn elip a2 a2 36 36 x x : x c c 11 11 +) Các bán kính qua tiêu điểm M thuộc elip có hồnh độ –2 là: MF1 = a + c 11 11 x=6+ 2 = – a MF2 = a – c 11 11 x=6– 2 = + a Vận dụng trang 44 Chuyên đề Toán 10: Mặt Trăng chuyển động theo quỹ đạo hình elip nhận tâm Trái Đất tiêu điểm Các khoảng cách lớn nhỏ từ vị trí Mặt Trăng đến tâm Trái Đất tương ứng 400000 km 363000 km (Theo: nssdc.gsfc nasa.gov) Lời giải: Bài 3.1 trang 44 Chuyên đề Toán 10: x y2 Cho elip 12 a) Xác định đỉnh độ dài trục elip b) Xác định tâm sai đường chuẩn elip c) Tính bán kính qua tiêu điểm M thuộc elip, biết điểm M có hồnh độ – Lời giải: a) Có a2 = 12, b2 = a 12 3, b = Toạ độ đỉnh elip A1(– ; 0), A2( ; 0), B1(0; –2), B2(0; 2) Độ dài trục lớn elip 2a = 2 Độ dài trục nhỏ elip 2b = 2.2 = b) c a b 12 2 Tâm sai elip e = 1 : x c 2 , đường chuẩn elip a 3 a2 a2 x 3 : x x c c c) Các bán kính qua tiêu điểm M thuộc elip có hồnh độ –3 là: MF1 = a + 2 c x= + 3 = a MF2 = a – 2 c x= – 3 = a Bài 3.2 trang 44 Chun đề Tốn 10: Viết phương trình tắc elip trường hợp sau: a) Độ dài trục lớn 8, tiêu cự 6; b) Độ dài trục lớn tâm sai Lời giải: a) Gọi phương trình tắc elip cho x y2 (a > b > 0) a b2 Theo đề ta có: – Độ dài trục lớn 8, suy 2a = 8, suy a = – Tiêu cự 6, suy 2c = hay c = 3, suy b2 = a2 – c2 = 42 – 32 = x y2 Vậy phương trình tắc elip cho 16 b) Gọi phương trình tắc elip cho x y2 (a > b > 0) a b2 Theo đề ta có: – Độ dài trục lớn 8, suy 2a = 8, suy a = – Elip có tâm sai c c 3 , suy c2 a b a c 42 Vậy phương trình tắc elip cho x y2 16 Bài 3.3 trang 44 Chuyên đề Toán 10: x y2 Cho elip a) Qua tiêu điểm elip vẽ đường thẳng vng góc với trục Ox, cắt elip hai điểm A B Tính độ dài đoạn thẳng AB b)Tìm điểm M elip cho MF1 = 2MF2 với F1 F2 hai tiêu điểm elip (hồnh độ F1 âm) Lời giải: Có c a b a) Giả sử A nằm phía cịn B nằm phía trục Ox Khi toạ độ A có dạng (c; yA) hay (2; yA) với yA > 0; toạ độ B có dạng (c; yB) hay (2; yB) với yB > y 22 y A A yA Vì A thuộc elip nên 5 2 y 22 y B B yB Vì B thuộc elip nên 5 AB 2 2 10 5 3 b) Gọi toạ độ M (x; y) Theo cơng thức bán kính qua tiêu ta có: MF1 = a + c c x, MF2 = a – x Do đó: a a c c c a2 MF1 = 2MF2 a x a x a x x a a a 3c 3.2 3 y2 y2 y2 15 2 1 1 y 5 15 3 15 Vậy M ; M ; 2 2 Trang 45 Bài 3.4 trang 45 Chuyên đề Tốn 10: Đường trịn phụ hình elip đường trịn có đường kính trục nhỏ elip (H.3.8) Do đó, đường trịn phụ đường trịn lớn nằm bên hình elip Tìm x y2 phương trình đường trịn phụ elip chứng minh rằng, điểm M(x0; a b b y0) thuộc elip điểm N x ; y0 thuộc đường trịn phụ a Lời giải: Vì đường trịn phụ có đường kính trục nhỏ elip nên có tâm O(0; 0) bán kính b Vậy phương trình đường trịn phụ là: x y2 b2 x 02 y02 Có M(x0; y0) thuộc elip nên a b y02 b2 b b 2 x0 Xét điểm N x ; y0 , ta có: x y0 x y0 b b2 b a b a a a Vậy toạ độ điểm N thoả mãn phương trình đường trịn phụ, điểm N thuộc đường trịn phụ Bài 3.5 trang 45 Chuyên đề Toán 10: Với tâm sai khoảng 0,244, quỹ đạo elip Diêm Vương "dẹt" so với quỹ đạo tám hành tinh hệ Mặt Trời (xem Em có biết? cuối bài) Nửa độ dài trục lớn elip quỹ đạo khoảng 590635.106 km Tìm khoảng cách gần khoảng cách xa Diêm Vương tâm Mặt Trời (tiêu điểm quỹ đạo) (Theo: nssdc.gsfc.nasa.gov) Lời giải: Chọn hệ trục toạ độ cho tâm Mặt Trời trùng với tiêu điểm F1 elip, đơn vị trục kilômét x y2 Giả sử phương trình tắc quỹ đạo elip (a > b > 0) a b Theo đề bài, ta có: – Nửa độ dài trục lớn elip quỹ đạo khoảng 590635.106 km, suy a = 590635.106 – Elip có yâm sai khoảng 0,244 c 0, 244 c = 0,244.a = 144114,94.106 a Giả sử Diêm Vương có toạ độ M(x; y) Khoảng cách Diêm Vương tâm Mặt Trời MF1 MF1 = a + c x, –a ≤ x ≤ a nên a – c ≤ MF1 ≤ a + c a 590635.106 – 144114,94.106 ≤ MF1 ≤ 590635.106 + 144114,94.106 46520,06.106 ≤ MF1 ≤ 734749,94.106 Vậy khoảng cách gần khoảng cách xa Diêm Vương tâm Mặt Trời 46520,06.106 km 734749,94.106 km Bài 3.6 trang 45 Chuyên đề Toán 10: Một phịng thầm có trần vịm elip với hai tiêu điểm độ cao 1,6 m (so với mặt sàn) cách 16 m Đỉnh mái vòm cao 7,6 m (H.3.9) Hỏi âm thầm từ tiêu điểm sau giây đến tiêu điểm kia? Biết vận tốc âm 343,2 m/s làm tròn đáp số tới chữ số sau dấu phẩy Lời giải: x y2 Giả sử phương trình tắc elip (a > b > 0) a b Dựa vào hình vẽ ta thấy: 2c = 16 c = b = 7,6 – 1,6 = a = b c 62 82 10 Âm từ tiêu điểm qua điểm M(x; y) trần vòm đến tiêu điểm Do quãng đường mà âm là: MF1 + MF2 Theo công thức bán kính qua tiêu ta có: MF1 = a + c c x, MF2 = a – x a a Quãng đường âm là: MF1 + MF2 = a + Thời gian âm là: c c x + a – x = 2a = 20 (m) a a 20 ≈ 0,0583 (s) 343, Vậy âm thầm từ tiêu điểm sau khoảng 0,0583 giây đến tiêu điểm ... đề ta có: a + c = 152 a – c = 147 Suy a = 149 ,5 c = 2 ,5 Suy b2 = a2 – c2 = 149 ,52 – 2 ,52 = 22344 x2 y2 Vậy phương trình tắc elip 22 350 , 25 22344 HĐ3 trang 43 Chuyên đề Toán 10: x y2 Cho elip. .. 59 06 35 .106 + 144114,94 .106 4 652 0,06 .106 ≤ MF1 ≤ 734749,94 .106 Vậy khoảng cách gần khoảng cách xa Diêm Vương tâm Mặt Trời 4 652 0,06 .106 km 734749,94 .106 km Bài 3.6 trang 45 Chuyên đề Toán 10: Một phịng... F1 elip, đơn vị trục kilômét x y2 Giả sử phương trình tắc quỹ đạo elip (a > b > 0) a b Theo đề bài, ta có: – Nửa độ dài trục lớn elip quỹ đạo khoảng 59 06 35 .106 km, suy a = 59 06 35 .106 – Elip