Đang tải... (xem toàn văn)
chuyên đề iii ba đường conic và ứng dụng Bài 2 Hypebol Trang 47, 48 Trang 49, 50 Trang 52 Trang 47, 48 HĐ1 trang 47 Chuyên đề Toán 10 Trong mặt phẳng tọa độ, cho hypebol có phương trình chính tắc 2 2[.]
chuyên đề iii ba đường conic ứng dụng Bài 2: Hypebol Trang 47, 48 Trang 49, 50 Trang 52 Trang 47, 48 HĐ1 trang 47 Chuyên đề Toán 10: x y2 Trong mặt phẳng tọa độ, cho hypebol có phương trình tắc a b a) Hãy giải thích điểm M(x0; y0) thuộc hypebol điểm có toạ độ (x0; – y0), (–x0; y0), (–x0; –y0) thuộc hypebol (H.3.12) b) Tìm toạ độ giao điểm hypebol với trục hồnh Hypebol có cắt trục tung hay khơng? Vì sao? c) Với điểm M(x0; y0) thuộc hypebol, so sánh |x0| với a Hướng dẫn giải x 02 y 02 a) Nếu điểm M(x0; y0) thuộc hypebol ta có: a b x y02 x y0 x 02 y02 x 02 y0 nên điểm có Ta có: a b2 a2 b a2 b2 a b 2 2 toạ độ (x0; –y0), (–x0; y0), (–x0; –y0) thuộc elip b) +) Gọi A giao điểm hypebol với trục hồnh Vì A thuộc trục Ox nên toạ độ A có dạng (xA; 0) xA a 02 Mà A thuộc hypebol nên x 2A a a b x A a x 2A Do hypebol cắt trục Ox hai điểm A1(–a; 0) A2(a; 0) +) Giả sử hypebol cắt trục tung B Vì B thuộc trục Oy nên toạ độ B có dạng (0; yB) y 2B 02 y B Mà B thuộc hypebol nên (vơ lí) a b b Vậy hypebol khơng cắt trục tung x 02 y 02 c) M(x0; y0) thuộc hypebol nên ta có: a b Vì x 02 y02 x 02 a | x | a nên 2 a b x y2 Luyện tập trang 48 Chuyên đề Tốn 10: Cho hypebol 64 36 a) Tìm tiêu cự độ dài trục b) Tìm đỉnh đường tiệm cận Hướng dẫn giải a) Có a2 = 64, b2 = 36 a 8, b 2 c a b 64 36 10 Do đó, tiêu cự hypebol 2c = 20, độ dài trục thực 2a = 16, độ dài trục ảo 2b = 12 b) Các đỉnh hypebol A1(–8; 0), A2(8; 0) b b Hai đường tiệm cận hypebol y x x x y x x x a a Trang 49, 50 HĐ2 trang 49 Chuyên đề Toán 10: Cho điểm M(x0; y0) thuộc hypebol có hai tiêu điểm F1(–c; 0), F2(c; 0), độ dài trục thực 2a a) Tính MF12 – MF22 b) Giả sử M(x0; y0) thuộc nhánh chứa đỉnh A2(a; 0), tức là, MF1 – MF2 = 2a Tính MF1 + MF2, MF1, MF2 c) Giả sử M(x0; y0) thuộc nhánh chứa đỉnh A1(–a; 0), tức là, MF2 – MF1 = 2a Tính MF1 + MF2, MF1, MF2 Hướng dẫn giải a) MF12 – MF22 = (x2 + 2cx + c2 + y2) – (x2 – 2cx + c2 + y2) = 4cx b) Ta có: MF12 – MF22 = 4cx (MF1 + MF2)(MF1 – MF2) = 4cx (MF1 + MF2)2a = 4cx MF1 + MF2 = 4cx 2c = x Khi đó: a 2a (MF1 + MF2) + (MF1 – MF2) = MF1 = a + c c x a x a a (MF1 + MF2) – (MF1 – MF2) = MF2 = 2c 2c x + 2a 2MF1 = x + 2a a a 2c 2c x – 2a 2MF2 = x – 2a a a c c x–a a x a a c) Ta có: MF12 – MF22 = 4cx (MF1 + MF2)(MF1 – MF2) = 4cx (MF1 + MF2)(– 2a) = 4cx MF1 + MF2 = 2c 4cx = – x Khi đó: a 2a 2c 2c x + (–2a) 2MF1 = – x – 2a a a (MF1 + MF2) + (MF1 – MF2) = – c c MF1 = x a a x a a (MF1 + MF2) – (MF1 – MF2) = – 2c 2c x – (–2a) 2MF2 = – x + 2a a a c c MF2 = a – x a x a a Luyện tập trang 50 Chun đề Tốn 10: Cho hypebol có độ dài trục thực 6, độ dài trục ảo Tính độ dài hai bán kính qua tiêu điểm M thuộc hypebol có hồnh độ Hướng dẫn giải Hypebol có độ dài trục thực 6, độ dài trục ảo 2a = 6, 2b = a = 3, b = 3 c a b 32 3 Theo cơng thức bán kính qua tiêu ta có: c MF1 a x 21 a c MF2 a x 15 a Luyện tập trang 50 Chuyên đề Toán 10: x y2 với hai tiêu điểm F1(–2; 0), F2(2; 0) Điểm M thuộc Cho hypebol hypebol mà có độ dài bán kính tiêu MF2 nhỏ nhất? Tính khoảng cách từ điểm tới tiêu điểm Hướng dẫn giải Có a2 = 1, b2 = a 1, b c a b2 Gọi (x; y) toạ độ M c Theo cơng thức bán kính qua tiêu ta có: MF2 a x x 2x a Nếu M thuộc nhánh bên trái x ≤ –a = –1 Khi – 2x ≥ – 2(–1) = Suy MF2 = |1 – 2x| ≥ Nếu M thuộc nhánh bên phải x ≥ a = Khi – 2x ≤ – 2.1 = –1 Suy MF2 = |1 – 2x| ≥ Vậy MF2 nhỏ x = c Khi MF1 a x a Hoạt động trang 50 Chun đề Tốn 10: x y2 Cho hypebol có phương trình tắc với tiêu điểm F1(–c; 0), F2(c; a b a2 a2 0) Xét đường thẳng 1 : x : x (H.3.14) Với điểm M(x; y) thuộc c c hypebol, tính tỉ số MF2 MF1 theo a c d M, d M, 1 Hướng dẫn giải a2 +) Viết lại phương trình đường thẳng Δ1 dạng: x 0y Với điểm M(x; c x 0y y) thuộc elip, ta có: d M, 1 suy MF1 d M, 1 a2 c 12 02 a2 x c a cx c a x a c c a a a a2 xc a x c c a2 +) Viết lại phương trình đường thẳng Δ2 dạng: x 0y Với điểm M(x; c y) thuộc elip, ta có: d M, a2 x 0y c 12 02 a2 x c suy MF2 d M, a cx c a x a c c a 2 a a a xc a x c c Trang 52 Luyện tập trang 52 Chuyên đề Toán 10: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, hypebol (H) có phương trình tắc, có tâm sai e = đường chuẩn x = Lập phương trình tắc (H) Hướng dẫn giải x y2 Gọi phương trình tắc hypebol cho (a > 0, b > 0) a b +) Hypebol có tâm sai e = c = c = 2a (1) a +) Hypebol có đường chuẩn x = a a 8 = a = 16 e c = 2a = 32 b2 = c2 – a2 = 322 – 162 = 768 Vậy phương trình tắc hypebol cho x2 y2 256 768 Vận dụng trang 52 Chuyên đề Toán 10: Một chổi qua hệ Mặt Trời theo quỹ đạo nhánh hypebol nhận tâm Mặt Trời tiêu điểm, khoảng cách gần từ chổi đến tâm Mặt Trời 3.108 km tâm sai quỹ đạo hypebol 3,6 (H.3.15) Hãy lập phương trình tắc hypebol chứa quỹ đạo, với đơn vị đo mặt phẳng toạ độ ứng với 108 km thực tế Hướng dẫn giải Chọn hệ trục toạ độ cho tâm Mặt Trời trùng với tiêu điểm F1 hypebol x y2 Gọi phương trình tắc hypebol (a > 0, b > 0) a b Theo đề bài, ta có: – Khoảng cách gần từ chổi đến tâm Mặt Trời 3.108 km c – a = – Tâm sai quỹ đạo hypebol 3,6 c a 3 3,6 3,6 a = 7,8 a2 = 60,84 a c = 10,8 b2 = c2 – a2 = 10,82 – 7,82 = 55,8 x2 y2 Vậy phương trình tắc hypebol cho 60,84 55,8 Bài tập 3.7 trang 52 Chuyên đề Toán 10: x y2 Xác định Trong mặt phẳng toạ độ, cho hypebol có phương trình tắc toạ độ đỉnh, độ dài trục, tâm sai phương trình đường chuẩn hypebol Hướng dẫn giải Có a2 = 9, b2 = a = 3, b = 2, c = a b 13 Toạ độ đỉnh hypebol A1(–3; 0), A2(3; 0) Độ dài trục thực 2a = 6, độ dài trục ảo 2b = Tâm sai e = c 13 a a2 , Phương trình đường chuẩn hypebol là: 1 : x x c 13 a2 2 : x x c 13 Bài tập 3.8 trang 52 Chuyên đề Toán 10: x y2 Trong mặt phẳng toạ độ, cho hypebol có phương trình tắc Tính bán kính qua tiêu điểm M thuộc hypebol có hồnh độ 12 Hướng dẫn giải Có a2 = 9, b2 = a 3, c a b Độ dài bán kính qua tiêu M là: c MF1 a x 12 19 a c MF2 a x 12 13 a Bài tập 3.9 trang 52 Chuyên đề Toán 10: Trong mặt phẳng toạ độ, hypebol (H) có phương trình tắc Lập phương trình tắc (H) trường hợp sau: a) (H) có nửa trục thực 4, tiêu cự 10; b) (H) có tiêu cự 13 , đường tiệm cận y x; c) (H) có tâm sai e , qua điểm ( 10;6) Hướng dẫn giải a) x y2 Gọi phương trình tắc hypebol cho (a > 0, b > 0) a b +) Hypebol có nửa trục thực a = +) Hypebol có tiêu cự 10 2c = 10 c = b2 = c2 – a2 = 52 – 42 = x y2 Vậy phương trình tắc hypebol cho hay 16 b) Gọi phương trình tắc hypebol cho x y2 (a > 0, b > 0) a b2 +) Hypebol có tiêu cự 13 2c = 13 c = 13 +) Hypebol có đường tiệm cận y b a b a b a c 13 2 2 b 2 x a 13 13 b 1 a x y2 Vậy phương trình tắc hypebol cho hay c) x y2 Gọi phương trình tắc hypebol cho (a > 0, b > 0) a b +) Hypebol có tâm sai e c a c a c2 5a b c a 4a (1) +) Hypebol qua điểm ( 10;6) 10 a2 10 36 62 (2) a b b Thế (1) vào (2) ta được: 10 36 10 a b a 4a a a a x y2 Vậy phương trình tắc hypebol cho 1 Bài tập 3.10 trang 52 Chuyên đề Toán 10: Một hypebol mà độ dài trục thực độ dài trục ảo gọi hypebol vng Tìm tâm sai phương trình hai đường tiệm cận hypebol vng Hướng dẫn giải x y2 Giả sử phương trình tắc hypebol vuông (a > 0, b > 0) a b Vì độ dài trục thực độ dài trục ảo nên a = b c a b a a a Tâm sai e = c a a a b b Phương trình hai đường tiệm cận là: y x y x y x y x a a Bài tập 3.11 trang 52 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh tích khoảng cách từ điểm thuộc hypebol đến hai đường tiệm cận số khơng đổi Hướng dẫn giải x y2 Xét hypebol có phương trình tắc (a > 0, b > 0) a b b b Hai đường tiệm cận hypebol là: d1 : y x hay bx + ay = d2 : y x hay a a bx – ay = Xét điểm M(x; y) thuộc hypebol Ta có: d(M, d1) = bx ay b a 2 , d(M, d2) = bx ay b a 2 d(M, d1).d(M, d2) = bx ay b2 a bx ay b2 a bx ay a b2 (*) x y2 x b2 a y2 1 Mặt khác, M(x; y) thuộc hypebol nên a b a b2 bx ay a b 2 a b2 a b2 Thay vào (*) ta được: d(M, d1).d(M, d2) = (không đổi) a b2 a b2 Vậy tích khoảng cách từ điểm thuộc hypebol đến hai đường tiệm cận số khơng đổi Bài tập 3.12 trang 52 Chuyên đề Toán 10: Bốn trạm phát tín hiệu vơ tuyến có vị trí A, B, C, D theo thứ tự thẳng hàng cách với khoảng cách 200 km (H.3.16) Tại thời điểm, bốn trạm phát tín hiệu với vận tốc 292000 km/s Một tàu thuỷ nhận tín hiệu từ trạm C trước 0,0005 s so với tín hiệu từ trạm B nhận tín hiệu từ trạm D sớm 0,001 s so với tín hiệu từ trạm A a) Tính hiệu khoảng cách từ tàu đến trạm B, C b) Tính hiệu khoảng cách từ tàu đến trạm A, D c) Chọn hệ trục tọa độ Oxy Hình 3.16 (1 đơn vị mặt phẳng toạ độ ứng với 100 km thực tế) Hãy lập phương trình tắc hai hypebol qua vị trí M tàu Từ đó, tính toạ độ M (các số làm trịn đến hàng đơn vị) d) Tính khoảng cách từ tàu đến trạm B, C (đáp số làm trịn đến hàng đơn vị, tính theo đơn vị km) Hướng dẫn giải Gọi vận tốc phát tín hiệu v (theo đề v = 292000 km/s); tA, tB, tC, tD thời gian để tàu nhận tín hiệu từ trạm A, B, C, D; M vị trí tàu thuỷ a) Hiệu khoảng cách từ tàu đến trạm B, C là: MB – MC = v.tB – v.tC = v(tB – tC) = 292000 0,0005 = 146 (km) b) Hiệu khoảng cách từ tàu đến trạm A, D là: MA – MD = v.tD – v.tA = v(tD – tA) = 292000 0,001 = 292 (km) c) x y2 +) Gọi phương trình tắc hypebol (H1) nhận B, C làm tiêu điểm a1 b1 (a1 > 0, b1 > 0) Vì MB – MC = 146 nên 2a1 = 146 a1 = 73 a12 = 5329 Ta thấy B(–100; 0) C(100; 0) hai tiêu điểm hypebol nên c1 = 100 b12 c12 a12 = 1002 – 732 = 4671 x2 y2 Vậy phương trình tắc hypebol (H1) 5329 4671 x y2 +) Gọi phương trình tắc hypebol (H2) nhận A, D làm tiêu điểm a b2 (a2 > 0, b2 > 0) Vì MA – MD = 29,2 nên 2a2 = 292 a2 = 146 a12 = 21316 Ta thấy A(–300; 0) D(300; 0) hai tiêu điểm hypebol nên c2 = 300 b22 c22 a 22 = 3002 – 1462 = 68684 x2 y2 Vậy phương trình tắc hypebol (H2) 21316 68684 Gọi toạ độ M (x; y) Vì M thuộc (H1) (H2) nên ta có: x2 y2 341125277 1 x x 165 5329 4671 12500 (vì theo hình vẽ x, y > 0) 240617223 y 139 x y y 21316 68684 12500 d) MB = MC = 165 100 139 ≈ 299 (km); 165 100 2 139 ≈ 153 (km) ... a2 10 36 62 (2) a b b Thế (1) vào (2) ta được: 10 36 10 a b a 4a a a a x y2 Vậy phương trình tắc hypebol cho 1 Bài tập 3 .10 trang 52 Chuyên đề Toán 10: ... c = 10, 8 b2 = c2 – a2 = 10, 82 – 7,82 = 55,8 x2 y2 Vậy phương trình tắc hypebol cho 60 ,84 55,8 Bài tập 3.7 trang 52 Chuyên đề Toán 10: x y2 Xác định Trong mặt phẳng toạ độ, cho hypebol. .. x 165 5329 467 1 12500 (vì theo hình vẽ x, y > 0) 24 061 7223 y 139 x y y 213 16 6 868 4 12500 d) MB = MC = 165 ? ?100 139 ≈ 299 (km); 165 100 2