Đang tải... (xem toàn văn)
CHUYÊN ĐỀ 2 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC NHỊ THỨC NEWTON BÀI 2 NHỊ THỨC NEWTON Trang 32, 33 HĐ1 trang 32 Chuyên đề Toán 10 Khai triển (a + b)n, n {1; 2; 3; 4; 5} Trong Bài 25 SGK Toán 10 (bộ sách Kế[.]
CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC NHỊ THỨC NEWTON BÀI NHỊ THỨC NEWTON Trang 32, 33 HĐ1 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Khai triển (a + b)n, n {1; 2; 3; 4; 5} Trong Bài 25 SGK Toán 10 (bộ sách Kết nối tri thức với sống), ta biết: (a + b)1 = a + b (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 Với n {1; 2: 3; 4; 5}, khai triển nhị thức (a + b)n: a) Có số hạng? b) Tổng số mũ a b số hạng bao nhiêu? c) Số mũ a b thay đổi chuyển từ số hạng đến số hạng tiếp theo, tính từ trái sang phải? Lời giải: a) Có n + số hạng, số hạng an số hạng cuối bn b) Tổng số mũ a b số hạng n c) Số mũ a giảm đơn vị số mũ b tăng đơn vị chuyền từ số hạng đến số hạng tiếp theo, tính từ trái sang phải HĐ2 trang 33 Chuyên đề Toán 10: Tam giác Pascal Viết hệ số khai triển (a + b)n với số giá trị n, bảng tam giác sau đây, gọi tam giác Pascal (a + b)0 (a + b)1 (a + b)2 (a + b)3 (a + b)4 (a + b)5 Hàng đầu quy ước gọi hàng Hàng n ứng với hệ số khai triển nhị thức (a + b)n Từ tính chất ta tìm hàng tam giác Ơasscal từ hàng phía Chẳng hạn ta tìm hàng từ hàng sau: Trang 34 Luyện tập trang 34 Chuyên đề Toán 10: a) Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển (a + b)7 b) Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển (2x – 1)4 Lời giải: a) (a + b)7 = a7 + 7a6b + 21a5b2 + 35a4b3 + 35a3b4 + 21a2b5 + 7ab6 + b7 b) (2x – 1)4 = [(2x + (–1)]4 = (2x)4 + 4(2x)3(–1) + 6(2x)2(–1)2 + 4(2x)(–1)3 + (–1)4 = 16x4 – 32x3 + 24x2 – 8x + HĐ3 trang 34 Chuyên đề Toán 10: Tính chất số Ckn a) Quan sát ba dịng đầu, hồn thành tiếp hai dịng cuối theo mẫu: (a + b)1 = a + b C10 a C10 b (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 C02 a C12 ab C02 b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 C30 a C13a b C32ab2 C30 b3 (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 = (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 = Nhận xét hệ số khai triển hai số hạng cách số hạng đầu số hạng cuối Hãy so sánh, chẳng hạn, C14 C34 , C52 C35 Từ dự đốn hệ thức Ckn Cnn k (0 ≤ k ≤ n) b) Dựa vào kết HĐ3a, ta viết hàng đầu tam giác Pascal dạng: (a + b)1 (a + b)2 (a + b)3 (a + b)4 (a + b)5 Từ tính chất tam giác Pascal, so sánh C10 C11 C12 , C02 C12 C13 , Từ dự đốn hệ thức Ckn 11 Ckn 1 Ckn Lời giải: a) (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 = C04 a4 + C14 a3b + C24 a2b2 + C34 ab3 + C44 b4 (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 = C50 a5 + C15 a4b + C52 a3b2 + C35 a2b3 + C54 ab4 + C55 b5 Ta thấy C14 = C34 , C52 = C35 , Dự đoán: Ckn = Cnn k b) Ta thấy C10 C11 = C12 , C02 C12 = C13 , Dự đoán: Ckn 11 Ckn 1 = Ckn Trang 35, 36 HĐ4 trang 35 Chuyên đề Toán 10: Quan sát khai triển nhị thức (a + b)n với n {1; 2; 3; 4; 5} HĐ3, dự đốn cơng thức khai triển trường hợp tổng quát Lời giải: Dự đốn cơng thức khai triển trường hợp tổng quát: (a b)n C0n a n C1n a n 1b Cnn 1abn 1 Cnn bn Luyện tập trang 36 Chuyên đề Toán 10: Khai triển (x – 2y)6 Lời giải: (x – 2y)6 C06 x C16 x 2y C62 x 2y C36 x 2 y C64 x 2y C56 x 2y C66 2 y x C16 2x5 y C62 22 x y2 C36 23 x3 y3 C64 24 x y4 C56 25 xy5 26 y6 Luyện tập trang 36 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số x7 khai triền thành đa thức (2 – 3x)10 Lời giải: Số hạng chứa x7 khai triển thành đa thức (2 – 3x)10 hay (–3x + 2)10 7 C10 3x 2107 C103 3 23 x 2099520x 10 7 Vậy hệ số x7 khai triển thành đa thức (2 – 3x)10 –2099520 Vận dụng trang 36 Chuyên đề Toán 10: (Số tập tập hợp có n phần tử) a) Viết khai triển nhị thức Newton (1 + x)n b) Cho x = khai triển câu a), viết đẳng thức nhận Giải thích ý nghĩa đẳng thức với lưu ý Ckn (0 < k < n) số tập gồm k phần tử tập hợp có n phần tử c) Tương tự, cho x = –1 khai triển câu a), viết đẳng thức nhận Giải thích ý nghĩa đẳng thức Lời giải: a) Ta có: (x 1)n C0n x n C1n x n 11 Cn2 x n 212 Cnn 1x1n 1 Cnn1n C0n x n C1n x n 1 C2n x n 2 Cnn 1x Cnn b) Cho x = 1, ta được: (1 1)n C021n C1n 1n 1 Cn2 1n 2 Cnn 11 Cnn hay 2n C0n C1n C2n Cnn 1 Cnn Ý nghĩa đẳng thức tổng số tập tập hợp gồm n phần tử 2n c) Cho x = –1, ta được: (1 1) n C0n 1 +C1n 1 n n 1 C n2 1 n 2 C nn 1 1 C nn hay C0n 1 +C1n 1 n n 1 Cn2 1 n 2 Cnn 1 1 Cnn Ý nghĩa đẳng thức số tập có chẵn phần tử số tập hơp có lẻ phần tử tập hợp gồm n phần tử Trang 37 Bài 2.9 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Sử dụng tam giác Pascal, viết khai triển: a) (x – 1)5; b) (2x – 3y)4 Lời giải: a) (x – 1)5 = [x + (–1)]5 = x5 + 5x4(–1) + 10x3(–1)2 + 10x2(–1)3 + 5x(–1)4 + (–1)5 = x5 – 5x4 + 10x3 – 10x2 + 5x – b) (2x – 3y)4 = [(2x + (–3y)]4 = (2x)4 + 4(2x)3(–3y) + 6(2x)2(–3y)2 + 4(2x)(–3y)3 + (–3y)4 = 16x4 – 96x3y + 216x2y2 – 216xy3 + 81y4 Bài 2.10 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Viết khai triển theo nhị thức Newton: a) (x + y)6; b) (1 – 2x)5 Lời giải: a) (x + y)6 C06 x C16 x5 y C62 x y2 C36 x3 y3 C64 x y4 C56 xy5 C66 y6 x C16 x5 y C62 x y2 C36 x y3 C64 x y4 C56 xy5 y6 b) (1 – 2x)5 = [(–2x) + 1]5 = C50 (–2x)5 + C15 (–2x)41 + C52 (–2x)312 + C35 (–2x)213 + C54 (–2x)14 + C55 15 = –25x5 + C15 24x4 – C52 23x3 + C35 22x1 + C54 2x + Bài 2.11 trang 37 Chuyên đề Tốn 10: Tìm hệ số x8 khai triển (2x + 3)10 Lời giải: Số hạng chứa x8 khai triển (2x + 3)10 8 C10 2x 3108 C102 2832 x 103680x 10 Vậy hệ số x8 khai triển (2x + 3)10 103680 Bài 2.12 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Biết hệ số x2 khai triển (1 – 3x)n 90 Tìm n Lời giải: Số hạng chứa x2 khai triển (1 – 3x)n hay [(–3x) +1]n Cnn 3x 1n 9C 2n x Vậy hệ số x2 khai triển (1 – 3x)n 9C2n 9C2n 90 C2n 10 n n 1 10 n Bài 2.13 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Từ khai triển biểu thức (3x – 5)4 thành đa thức, tính tổng hệ số đa thức nhận Lời giải: Sử dụng tam giác Pascal, ta có: (3x – 5)4 = (3x)4 + 4(3x)3(–5) + 6(3x)2(–5)2 + 4(3x)(–5)3 + (–5)4 = 81x4 – 540x3 + 1350x2 – 1500x + 625 Tổng hệ số đa thức là: 81 – 540 + 1350 – 1500 + 625 = 16 Bài 2.14 trang 37 Chuyên đề Tốn 10: Tìm hệ số x5 khai triển thành đa thức biểu thức x(1 – 2x)5 + x2(1 + 3x)10 Lời giải: +) Số hạng chứa x4 khai triển (1 – 2x)5 hay [(–2x) +1]5 C55 2x 15 80x Vậy hệ số x4 khai triển (1 – 2x)5 80 hệ số x5 khai triển x(1 – 2x)5 1.80 = 80 (1) +) Số hạng chứa x3 khai triển (1 + 3x)10 hay [3x +1]10 3 C10 3x 1103 3240x 10 Vậy hệ số x3 khai triển (1 + 3x)10 3240 hệ số x5 khai triển x2(1 + 3x)10 1.3240 = 3240 (2) +) Từ (1) (2) suy hệ số x5 khai triển thành đa thức biểu thức x(1 – 2x)5 + x2(1 + 3x)10 80 + 3240 = 3320 Bài 2.15 trang 37 Chun đề Tốn 10: Tính tổng sau đây: C02021 2C12021 22 C22021 23 C32021 22021 C2021 2021 Lời giải: C02021 2C12021 22 C22021 23 C32021 22021 C2021 2021 C02021 C12021 2 C22021 2 C32021 2 C2021 2021 2 2021 2021 C0202112021 C1202112020 2 C2202112019 2 C3202112018 2 C202 2 1 2 2021 1 2021 1 Bài 2.16 trang 37 Chun đề Tốn 10: 2n Tìm số tự nhiên n thoả mãn C02n C2n C2n C2n 22021 Lời giải: Áp dụng câu c) phần Vận dụng trang 36 ta có: C02n C12n C2n C32n C24n C22nn 1 C2n 2n 2n 2n 1 C02n C2n C2n C2n C12n C32 n C52n C2n Mặt khác, áp dụng câu b) phần Vận dụng trang 36 ta có: 1 2n C02n C12n C22n C32n C42n C2n C2n 2n 2n 2 2n C02n C2n C2n C2n 2n 1 C02n C12n C2n C32n C2n C2n C2n 2n 22n 22n 1 2n 2021 n 1011 Bài 2.17 trang 37 Chun đề Tốn 10: Tìm số ngun dương n cho C0n 2C1n 4C2n 2n Cnn 243 Lời giải: Có: C0n 2C1n 4Cn2 2n Cnn C0n C1n C2n 22 Cnn 2n C0n 1n C1n 1n 12 Cn2 1n 22 Cnn 2n 1 3n n 2021 3n 243 n Bài 2.18 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Biết (2 + x)100 = a0 + a1x + a2x2 + + a100x100 Với giá trị k (0 ≤ k ≤ 100) ak Iớn nhất? Lời giải: +) Ta có: Số hạng chứa xk khai triển (2 + x)100 hay (x +2)100 k k 100 k k C100 C100 2100 k x k 2100 100 x k C100 xk k Vậy hệ số x khai triển (x + 2) k 100 100 k k C100 100 C100 ak 2k 2k +) Giải bất phương trình: ak ≤ ak + (1) 1 100 k k 1 k k 1 k C100 C100 C100 C100 2k 100 C100 2 k k 1 k 1 k 1 2k 2k 1 2 C100 100! k!100 k ! k 1!100 k 1! 1 k 1 100! k!100 k ! 100 k k 1!100 k 1! k 1 100 k 3k 98 k 32 (vì k số tự nhiên) +) Vì ak ≤ ak + k 32 nên ak ≥ ak + k 32 Do a1 a a 32 a 33 a 34 a 35 a100 Ta thấy dấu "=" không xảy với giá trị k Do a33 giá trị lớn ak ... 5x4 + 10x3 – 10x2 + 5x – b) (2x – 3y )4 = [(2x + (–3y) ]4 = (2x )4 + 4( 2x)3(–3y) + 6(2x)2(–3y)2 + 4( 2x)(–3y)3 + (–3y )4 = 16x4 – 96x3y + 216x2y2 – 216xy3 + 81y4 Bài 2 .10 trang 37 Chuyên đề Toán 10: ... 21a5b2 + 35a4b3 + 35a3b4 + 21a2b5 + 7ab6 + b7 b) (2x – 1 )4 = [(2x + (–1) ]4 = (2x )4 + 4( 2x)3(–1) + 6(2x)2(–1)2 + 4( 2x)(–1)3 + (–1 )4 = 16x4 – 32x3 + 24x2 – 8x + HĐ3 trang 34 Chuyên đề Toán 10: Tính... 37 Chuyên đề Tốn 10: Tìm hệ số x8 khai tri? ??n (2x + 3 )10 Lời giải: Số hạng chứa x8 khai tri? ??n (2x + 3 )10 8 C10 2x 310? ??8 C102 2832 x 103 680x 10 Vậy hệ số x8 khai tri? ??n (2x + 3 )10 103680