MỘT SỐ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VỀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP A LÝ THUYẾT TÓM TẮT 1 Công thức khai triển nhị thức Newton Với mọi nN và với mọi cặp số a, b ta có 2 Tính chất 1[.]
MỘT SỐ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VỀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TỐN TỔ HỢP A- LÝ THUYẾT TĨM TẮT Cơng thức khai triển nhị thức Newton: Với nN với cặp số a, b ta có: n n ( a b) Cnk a n k b k k 0 Tính chất: 1) Số số hạng khai triển n + 2) Tổng số mũ a b số hạng n C k an k bk 3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = n ( k =0, 1, 2, …, n) C k Cnn k 4) Các hệ số cặp số hạng cách số hạng đầu cuối nhau: n C Cnn 1 Cnk Cnk Cnk1 5) n , * Nhận xét: Nếu khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a b giá trị đặc biệt ta thu công thức đặc biệt Chẳng hạn: C x n Cn1 x n Cnn Cn0 Cn1 Cnn 2n (1+x)n = n n n C x Cn x ( 1) n Cnn Cn0 Cn1 ( 1)n Cnn 0 (x–1)n = n Từ khai triển ta có kết sau C Cn1 Cnn 2n * n C Cn1 Cn2 ( 1) n Cnn 0 * n B- PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN DẠNG 1: SỬ DỤNG ĐẠO HÀM Phương pháp: a bx Dùng khai triển nhị thức Newton n - Lấy đạo hàm cấp 1, cấp 2,… chọn a, b, x thích hợp Dấu hiệu để nhận biết dùng đạo hàm cấp 1: k n k Cnk - Trong số hạng có chứa dạng: kCn n - Trong tổng không chứa Cn Cn Dấu hiệu để nhận biết dùng đạo hàm cấp 2: - Trong số hạng có chứa dạng: k k 1 Cnk - Trong tổng không chứa C , C C , C Bài tập: n Câu 1: Giá trị biểu thức A 5221 n n n n k n k 1 C k n n n 10 C10 2C102 3C103 10C10 B 5120 C 1024 D 1023 Lời giải Chọn B 1 x 10 10 10 C100 C10 x C102 x C103 x C10 x Khai triển nhị thức Lấy đạo hàm hai vế ta được: 10 10 x C10 2C102 x 3C103 x 10C10 x Cho Câu 2: 10 x 1 C10 2C102 3C103 10C10 10.29 5120 * C 2Cn2 3Cn3 1 Cho n Tính tổng n A B n C nCnn 1 n D n Lời giải Chọn A 1 x Khai triển nhị thức n n Cn0 Cn1 x Cn2 x Cn3 x 1 Cnn x n Lấy đạo hàm hai vế ta được: n 1 x n n1 x Cho Câu 3: n Cn1 2Cn2 x 3Cn3 x n 1 Cnn x n n Cn1 2Cn2 x 3Cn3 x n 1 x 1 Cn1 2Cn2 3Cn3 1 n n nCnn 0 Cnn x n * nCn0 n 1 Cn1 n Cn2 n 3 Cn3 1 Cho n Tính tổng A 1 n B n C n Cnn D Lời giải Chọn C n Cnn x 1 Cnn nCn0 x n n 1 Cn1 x n n Cn2 x n 1 n Cnn x 1 nCn0 n 1 Cn1 n Cn2 n Cn3 1 n Cnn 0 x 1 Khai triển nhị thức n Cn0 x n Cn1 x n Cn2 x n 1 n Lấy đạo hàm hai vế ta được: n x 1 Cho Câu 4: n * Cho n Tính tổng 1 A 1 n n Cn1 1 n 2.2Cn2 1 B n n k k.2 k Cnk n.2 n Cnn C Lời giải D n Chọn D n 1 x Khai triển nhị thức Cn0 Cn1 x Cn2 x Cnk x k Cnn x n Lấy đạo hàm hai vế ta được: n n1 x Cn1 2Cn2 x kCnk x k nCnn x n Cho x , ta được: n 2 n n 1 Cn1 2Cn2 kCnk n n n 1 k 1 1 C 1 1 1 1 n.2 C n 1 C 1 2.2C 1 1 n n Câu 5: n n * Cho n Tính tổng n A n(n 1).2 n n 2.2Cn2 1 1 k 1 n k.2 k Cnk n n n n n nCnn n k n k.2 k Cnk n.2 n Cnn S 12 Cn1 22 Cn2 32 Cn3 n 2Cnn n B n(n 1).2 n C n(n 1).2 D n(n 1).2 n Lời giải Chọn D 1 x n Cn0 Cn1 x Cn2 x Cn3 x Cnn x n Khai triển nhị thức Lấy đạo hàm hai vế: n(1 x) n Cn1 2Cn2 x 3Cn3 x nCnn x n n(1 x) n 1.x Cn1 x 2Cn2 x 3Cn3 x3 nCnn x n Lấy đạo hàm hai vế: n (1 x )n x (n 1)(1 x ) n Cn1 2.2.Cn2 x 3.3.Cn3 x n.n.Cnn x n Cho x 1 , ta được: n 2n (n 1)2n Cn1 22 Cn2 32 Cn3 n 2Cnn n n Vậy S n 2 [(n 1) 2] n(n 1).2 Câu 6: * Cho n Tính tổng n A n(n 1).2 S n n 1 Cn0 n 1 n Cn1 2Cnn n B n(n 1).2 n C n(n 1).2 D n(n 1).2 n Lời giải Chọn C x 1 Khai triển nhị thức n Cn0 x n Cn1 x n Cn2 x n Cnn x Cnn x Cnn Lấy đạo hàm hai vế lần thứ nhất: n x 1 n nCn0 x n n 1 Cn1 x n n Cn2 x n 2Cnn x Cnn Lấy đạo hàm hai vế lần thứ hai: n n n 1 x 1 n n 1 Cn0 x n n 1 n Cn1 x n n n Cn2 x n 2Cnn Cho x 1 , ta được: n n 1 1 n n n 1 Cn0 n 1 n Cn1 n n Cn2 2Cnn n Vậy S n(n 1).2 Bài tập tương tự : Câu 1: n Giá trị biểu thức Cn 2Cn 3Cn nCn A Câu 2: n 1 2n n C n.2 D n 1 2n 14 * Cho n Tính tổng S C14 2C14 3C14 14C14 A Câu 3: n B n.2 1 C B n D n n * Cho n Tính tổng S 2.1C n 3.2C1 4.3C n n( n 1)C n n n 1 A n(n 1).2 B n(n 1).2 n C n(n 1).2 D n(n 1).2 n DẠNG 2: SỬ DỤNG TÍCH PHÂN Phương pháp: a bx Dùng khai triển nhị thức Newton n - Lấy tích phân hai vế với cận tích phân thích hợp Dấu hiệu để nhận biết dùng tích phân: 1 Cnk Cnk Cnk n k k n k Trong số hạng có chứa dạng: k Bài tập: Câu 1: 1 1 Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 Cnn n 1 Cho n Tính tổng 2n n 1 n 1 n A n B C n * Lời giải Chọn C Dùng khai triển nhị thức Newton ta có: (1 x) n Cn0 Cn1 x Cn2 x Cn3 x Cnn x n 2n D n 1 n n 1 n (1 x) dx C dx C xdx C 0 0 2 n x dx Cnn x n dx 1 1 (1 x )n 1 1 1 Cn0 x Cn1 x Cn2 x Cnn x n 1 0 n 1 n 1 2n 1 1 1 Cn0 Cn1 Cn2 Cnn n 1 n 1 n Câu 2: 1 C n 1 C Cn1 Cn2 Cn3 n * n 1 Cho n Tính tổng n 1 n 1 1 1 A n B n C n n D n Lời giải Chọn A Dùng khai triển nhị thức Newton ta có: n (1 x)n Cn0 Cn1 x Cn2 x Cn3 x 1 Cnn x n 0 x n dx Cn0 Cn1 x Cn2 x Cn3 x ( 1)n Cnn x n dx 1 1 (1 x) n 1 1 ( 1) n n n 1 1 Cn0 x Cn1 x Cn2 x3 Cn3 x Cn x 0 0 n 1 n 1 1 1 ( 1) n n Cn Cn Cn Cn n 1 n 1 Câu 3: * Cho n Tính tổng 3n 1 A n 2Cn0 2 23 2 n 1 n Cn Cn Cn n 1 3n 1 B n 3n C n Lời giải Chọn B (1 x) n Cn0 Cn1 x Cn2 x Cn3 x Cnn x n 2 (1 x) dx C n 0 n Cn1 x Cn2 x Cnn x n dx (1 x ) n 1 1 Cn0 x Cn1 x Cn2 x Cnn x n n 1 n 1 0 3n D n Câu 4: 3n 1 22 23 2n 1 n 2Cn0 Cn1 Cn2 Cn n 1 n 1 30 31 32 36 C C C C6 6 * Cho n Tính tổng 47 37 47 37 47 37 A B C 47 37 D Lời giải Chọn B ( x 3)6 C60 x C61 x5 C62 x 32 C66 x 36 x 3 x 3 7 dx C60 x6 C61 x C62 x 32 C66 x 36 dx 1 1 C60 x C61 x C62 x5 32 C66 x1.36 7 0 47 37 30 31 32 36 C6 C6 C6 C6 7 Câu 5: * Cho n Tính tổng ( 1) n n A 2Cn0 1 n 1 n Cn Cn ( 1) n Cn n 1 ( 1) n n B ( 1) n n C ( 1) n n D Lời giải Chọn B (1 x) n Cn0 Cn1 x Cn2 x ( 1) n Cnn x n 2 0 n (1 x) dx Cn dx 2 0 2 n n n Cn xdx Cn x dx ( 1) Cn x dx 2 ( 1) n 1 x2 x3 x n 1 Cn0 x Cn1 Cn2 ( 1) n Cnn n 1 n 1 Câu 6: ( 1)n 1 2Cn0 22 Cn1 23 Cn2 ( 1) n 2 n 1 Cnn n 1 n 1 * Cho n Tính tổng 1 Cn1 Cn2 Cn3 ( 1) n Cnn 2n 2.4.6 2n n 1.3.5 2n 1 A 2.4.6 2n 2n 2.4.6 2n 2n 1.3.5 2n 1 C 1.3.5 2n 3 B 2.4.6 2n D 1.3.5 2n Lời giải Chọn A n 1 x Cn0 Cn1 x Cn2 x Cnn x n x dx Cn0 dx 1 1 n C x dx C 0 n n x dx ( 1) n Cnn x n dx 1 x3 x5 x n1 C x C Cn2 ( 1)n Cnn 2n 0 n Cn0 1 n 1 Cn Cn ( 1) n Cnn 2n 1 n I n x dx Mặt khác, xét (1) u x n du 2n x n xdx dv dx v x Đặt: Lúc đó: n 1 I n x x 2n x x (2n 1) I n 2nI n n 1 dx 2n x n 1 x dx 2n I n I n In I 2n 2n n I n 2n 1 I n 2n I n 2n I n 2n … I1 I0 Với I 1 dx x |10 1 In Nhân vế theo vế ta có: 1 Từ (1) (2) 2.4.6 2n 2n 3.5.7 2n 1 (2) Cn1 Cn2 Cn3 ( 1)n Cnn 2.4.6 (2n 2).2n 2n 3.5.7 (2n 1) Bài tập tương tự : Câu 1: * Cho n Tính tổng 2n A n Câu 2: Cn1 C2 Ck Cn n n n 1 1 k 1 n n 1 n B n 1 C n * Cho n Tính tổng S 26 25 24 23 22 C6 C6 C6 C6 C6 C6 C6 37 27 S A C Câu 3: Cn0 S 47 37 47 37 S B D S 37 27 1 1 19 S C190 C191 C192 C1918 C19 20 21 Cho n Tính tổng 1 S S 120 420 A B * C S 360 D 2n D n