CĐ NHI THUC NIUTON

NHỊ THỨC NIUTON NHỊ THỨC NIUTƠN : n Bài toán : x = 1, ta có S1 = C k n k 0 n C Bài toán : x = 2, ta có S2 = Bài tốn : x = , ta có S3 = k n 1 x n n  Cnk x k k 0 = 2n 2k k 0 = 3n Cnk  k k 0 = n n    1 Bài toán : x = – 1, ta có S4 = Bài tốn : n S5 = C2 n  C2 n L  C2 n k  3    2 Cnk k 0 n =0 n n C  C22nn    C21n  C22nn    L   C2nn  C2nn  Ta có 2S5 = 2C2 n  2C2 n  L  2C2 n =  n = 22n + C2 n 2n  C2nn   Vậy S5 = 2 2n S6 = C2 n  C n  L  C n Bài toán : Xét 1 x 2n n  C2kn x k k 0 Cho x = –1, 2n C  C22n  L  C22nn    C21n  C23n  L  C22nn   ta :0 = C2 n  C2 n  C2 n  C2 n  L  C2 n =  n 2n 2n Suy C2 n  C2 n  L  C2 n C2 n  C2 n  L  C2 n 2n 2n Do 2S6 = C2 n  C2 n  C2 n  C2 n  L  C2 n  C2 n = 22n Vậy S6 = 22n –1 BIÊN SOẠN : HUỲNH KIM LINH Page NHỊ THỨC NIUTON 2 2 n n k k 1 k 1 S7 = C2  C3  C4  L  Cn = C2  C3  C4  L  Cn Cn1 (Vì Cn  Cn Cn 1 ) Bài toán : Bài toán : S8 = 1.2 + 2.3 + + n(n+1) n  n  1 1.2 2.3 S8   L  2 2 n 2! 2! 2! Ta có = C2  C3  C4  L  Cn Vậy S8 = Cn1 Bài toán : S9 = 4.3.2.1 + 5.4.3.2 + + n(n –1)(n –2)(n –3) (Với n > 3) Bài toán 10 : k k k k 1 C k  C k 1  C k 1  L   Ckkn11  Ckkn1  Xét S10 = Ck  Ck 1  L  Ck n = k  k 2 k 1  = Ck n 1 n Bài toán 11 : k C Tính S11 = k n k 0 k k Dễ dàng chứng minh : k Cn = n Cn  k k k k  k(k –1) Cn = n(n –1) Cn   k(k –1)(k –2) Cn = n(n –1)(n –2) Cn  Ta có k3 = k(k –1)(k –2)+3 k(k –1) +k n  S11 =  k  k  1  k   C k n k 3 n = n  n  1  n    C n + k 2 k n k 3  k  k  1 C n +3 k n n + n  n  1  C k 2  kC k n k n k 1 n + n Cnk11 k 1 = n(n –1)(n –2).2n –3 + n(n –1)2n –2 +n2n –1 ( Theo S2) n Bài tốn 12 : Tính S12 =   k 1  k  2 C k 0 k n 1 Cnk  Cnk11 n 1 Ta có k  (dễ dàng chứng minh được)   k  1  k   Cnk   n  1  n   BIÊN SOẠN : HUỲNH KIM LINH Cnk22 Page NHỊ THỨC NIUTON n S12 = C  n  1  n    k 2 n 2  n  1  n   = k 0 k2 n Bài tốn 13 : Tính S13 =  k 1 C k n k 1 2 n2  Cn0  Cn1  k2 k   k 1 Ta có k  n Do S13 =  kCnk k 1 n  Cnk – k 1 n n 1 n k 1 k k1 C n C   n  Cn1 n + k 1 k  = k 1 – (2n –1)+ n  k 1 = n.2n –1 n Bài tốn 14 : Tính S14 =  k 2C k 0 k n n 1 n k 2 n k 2 k 1 k 1 C  C C   n1 n  C k C k 1  C k 1 n   n2 n 1  Cn1  k  n 1 n k  k 0 k 0 S14 = n = 1 2n 2  Cn02  Cn12    2n1  Cn01  Cn11  n  n  = – n Bài toán 15 : Tính S15 = k  k 1  C  k n k 1 m Cnmm  Cmk Cnm  k Ta dễ dàng chứng minh n Do S15 =    kC   k  C k n k 1 k 0 k n n n k 1 k   n Cn 1 Cn C2nn1    = n  k 1 n  = n Bài toán 16 : S16 = 2n 2n Ta có (1 + i) = C20n  C22n  C24n  L    1 C22nn C k 2n ik k 0 = S17 = C20n  iC21 n  C22n  iC23n  C24n  L  C22nn   1       cos  i sin    4  (1 + i)2n =   BIÊN SOẠN : HUỲNH KIM LINH ; C21n  C23n  C25n  L    1 2n 2n 2n = 2n(cos + isin ) Page n n C22nn  NHỊ THỨC NIUTON n n n  S16 = cos ; S17 = sin n Bài tốn 17 : Kí hiệu  = 12 6n Tính S18 = C6 n  C6 n  C6 n  L  C6 n cos   k 6n  i sin k 2k n nk 3 Ta có     = C6 n  C6 n  C6 n  L  C6 n  Cho k nhận giá trị 0; 1; 2; 3; 4; ta đẳng thức tương ứng cộng lại, ta : k 6n  1   k 0 6n = C6n + (1+ +2+ +5) C6n + + (1+ 6n +12n+ +30n) C6 n  6t  t Nếu t khơng chia hết cho t  Suy 1+ t + 2t + + 5t =   = Nếu t chia hết cho 1+ t + 2t + + 5t = + + +1 = Suy k 6n  1   k 0 Do S18 = [(1+1)6n + (1+)6n + + (1+5 )6n ]= 6n 6n 6n 6n 1  6n  3 1 3 3 3 3  2    i     i      i     i   2 2 6   2    2       3 3  i  2   Ta lại có 1 3  i  2   Ta lại có 6n  3  6n 6n     cos i sin  6      cos i sin  3  6n = 33n (cosn  isinn) = 33n( –1)n 6n = (cos2n  isin2n) = 1 Vậy S18 = [26n + + ( –1)n33n ] Cách khác : (1 + 0)6n = 26n ; (1 + )6n = ( –1)n33n ;(1 + 2)6n = (1 + 3)6n = (1 –1)6n = 0; (1 + 4)6n = (1 – 1)6n = 0;(1 + 5)6n = ( –1)n33n Vậy S18 = [26n + + ( –1)n33n ] Bài toán 18 : 4n S19 = C4 n  C4 n  L  C4 n = = 24n –2 + ( –1)n 22n –1 BIÊN SOẠN : HUỲNH KIM LINH Page = 6S18 NHỊ THỨC NIUTON Bài toán 19 : n 1  1 4 4 1 S20 = C4 n 1  C4n 1  L  C4 n 1 = = 24n –1 + ( –1)n 22n Lưu ý C4 n 1 C4 n  C4 n Bài toán 20 :  n  1   2 n n n n n CMR : sin sin sin = Bài toán 21 :  2   4   2n         n  n  n   cos   cos   = cos  Bài toán 22 :      CMR cotg2  2n   + cotg2 Bài toán 23 :   2n  1      3        4n  = n(2n –1) tg2  4n  + tg2  4n  + + tg2  Bài tốn 24 : n n Tìm tất n  N cho C2 n =(2n)k với k số ước nguyên tố C2 n BIÊN SOẠN : HUỲNH KIM LINH Page  2     2n   + + cotg2 n  2n  1  n     2n   = ...NHỊ THỨC NIUTON 2 2 n n k k 1 k 1 S7 = C2  C3  C4  L  Cn = C2  C3  C4  L  Cn Cn1 (Vì Cn  Cn... được)   k  1  k   Cnk   n  1  n   BIÊN SOẠN : HUỲNH KIM LINH Cnk22 Page NHỊ THỨC NIUTON n S12 = C  n  1  n    k 2 n 2  n  1  n   = k 0 k2 n Bài tốn 13 : Tính S13... LINH ; C21n  C23n  C25n  L    1 2n 2n 2n = 2n(cos + isin ) Page n n C22nn  NHỊ THỨC NIUTON n n n  S16 = cos ; S17 = sin n Bài tốn 17 : Kí hiệu  = 12 6n Tính S18 = C6 n  C6 n 