Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 27 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
27
Dung lượng
3,03 MB
Nội dung
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 PHẦN I – ĐỀ BÀI NHỊ THỨC NEWTON A- LÝ THUYẾT TĨM TẮT Cơng thức khai triển nhị thức Newton: Với nN với cặp số a, b ta có: n (a b) n �Cnk a n k b k k 0 Tính chất: 1) Số số hạng khai triển n + 2) Tổng số mũ a b số hạng n k nk k 3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = Cn a b ( k =0, 1, 2, …, n) k nk 4) Các hệ số cặp số hạng cách số hạng đầu cuối nhau: Cn Cn n k 1 k k 5) Cn Cn , Cn Cn Cn 1 * Nhận xét: Nếu khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a b giá trị đặc biệt ta thu công thức đặc biệt Chẳng hạn: (1+x)n = Cn0 x n Cn1 x n 1 Cnn Cn0 Cn1 Cnn n n n 1 n n n n (x–1)n = Cn x Cn x (1) Cn Cn Cn (1) Cn Từ khai triển ta có kết sau n n * Cn Cn Cn 2 n n * Cn Cn Cn (1) Cn B – BÀI TẬP DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CÁC HỆ SỐ, SỐ HẠNG TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON Phương pháp: n ax p bxq �Cnk ax p n k 0 nk n bxq �Cnk ank bk xnp pk qk k k 0 Số hạng chứa x ứng với giá trị k thỏa: np pk qk m m np Từ tìm k pq k n k k Vậy hệ số số hạng chứa x m là: Cn a b với giá trị k tìm m Nếu k khơng ngun k n khai triển khơng chứa x m , hệ số phải tìm Chú ý: Xác định hệ số số hạng chứa x m khai triển P x a bx p cx q viết dạng a0 a1 x a2 n x n n Ta làm sau: n p q k n k p q * Viết P x a bx cx �Cn a bx cx ; n k k 0 * Viết số hạng tổng quát khai triển số hạng dạng bx p cx q thành đa thức theo luỹ thừa k x * Từ số hạng tổng quát hai khai triển ta tính hệ số x m Chú ý: Để xác định hệ số lớn khai triển nhị thức Niutơn Ta làm sau: Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 * Tính hệ số ak theo k n ; * Giải bất phương trình ak 1 �ak với ẩn số k ; * Hệ số lớn phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn thoả mãn bất phương trình Câu 1: Trong khai triển 2a b , hệ số số hạng thứ bằng: A 80 B 80 C 10 D 10 n6 Câu 2: Trong khai triển nhị thức a , n �� Có tất 17 số hạng Vậy n bằng: A 17 B 11 C 10 D 12 Câu 3: Trong khai triển x y , hệ số số hạng là: 10 4 B 3 C10 4 A C10 5 C C10 Câu 4: Trong khai triển x y , hệ số số hạng chứa x y là: A 22400 B 40000 C 8960 5 D 3 C10 D 4000 � � Câu 5: Trong khai triển �x �, hệ số x , x là: x� � A 60 B 80 C 160 D 240 � 1� Câu 6: Trong khai triển �a �, số hạng thứ là: � b� 4 A 35.a b B 35.a b 4 C 35.a b 5 Câu 7: Trong khai triển 2a 1 , tổng ba số hạng đầu là: A 2a 6a 15a C 64a 192a 480a Câu 8: Trong khai triển x y A 16 x y15 y D 35.a b B 2a 15a 30a D 64a 192a 240a 16 , tổng hai số hạng cuối là: C 16 xy15 y B 16 x y15 y D 16 xy15 y � � Câu 9: Trong khai triển � 8a b �, hệ số số hạng chứa a 9b3 là: � � A 80a b B 64a b3 C 1280a b3 D 60a b � � Câu 10: Trong khai triển �x �, số hạng không chứa x là: � x � A 4308 B 86016 C 84 10 Câu 11: Trong khai triển x 1 , hệ số số hạng chứa x8 là: A 11520 B 45 C 256 Câu 12: Trong khai triển a 2b , hệ số số hạng chứa a b là: A 1120 B 560 C 140 Câu 13: Trong khai triển x y , số hạng chứa x y là: D 43008 D 11520 A 2835 x y B 2835x y C 945x y D 70 D 945 x y Câu 14: Trong khai triển 0,2 + 0,8 , số hạng thứ tư là: A 0, 0064 B 0, 4096 C 0, 0512 D 0, 2048 Câu 15: Hệ số x3 y khai triển x y là: A 20 B 800 C 36 D 400 Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 Câu 16: Số hạng khai triển 3x y là: B 3x 2 A C4 x y 2y 2 2 C 6C4 x y 2 D 36C4 x y Câu 17: Trong khai triển x y , hệ số số hạng chứa x8 y 11 B C11 A C11 C C11 D C11 Câu 18: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: f ( x) (1 x)10 A 15360 B 15360 C 15363 D 15363 Câu 19: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: h( x ) x (2 3x ) A 489889 B 489887 C 489888 D 489888 Câu 20: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: g ( x) (1 x) (1 x) (2 x)9 A 29 B 30 C 31 D 32 10 Câu 21: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: f ( x) (3 x ) A 103680 B 1301323 C 131393 D 1031831 Câu 22: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: h( x ) x(1 x) A 4608 B 4608 C 4618 D 4618 10 Câu 23: Xác định hệ số x khai triển sau: f ( x) (3x 1) A 17010 B 21303 C 20123 D 21313 �2 � Câu 24: Xác định hệ số x8 khai triển sau: f ( x ) � x � �x � A 1312317 B 76424 C 427700 D 700000 12 �3 x � Câu 25: Xác định hệ số x8 khai triển sau: f ( x) � � �x � 297 29 27 97 A B C D 512 51 52 12 10 Câu 26: Xác định hệ số x khai triển sau: f ( x) (1 x x ) A 37845 B 14131 C 324234 D 131239 8 Câu 27: Xác định hệ số x khai triển sau: f ( x) 8(1 x) 9(1 x)9 10(1 10 x)10 8 8 A 8.C8 C9 10.C10 10 8 8 B C8 C9 C10 10 8 8 C C8 9.C9 10.C10 10 8 8 D 8.C8 9.C9 10.C10 10 Câu 28: Tìm hệ số x8 khai triển biểu thức sau: g ( x) 8(1 x)8 9(1 x)9 10(1 x)10 A 22094 B 139131 C 130282 D 21031 Câu 29: Hệ số đứng trước x 25 y10 khai triển x xy A 2080 B 3003 15 là: C 2800 3200 D � 18 Câu 30: Số hạng không chứa x khai triển x là: x 10 A C18 B C18 C C18 D C18 Câu 31: Khai triển 1 x , hệ số đứng trước x là: 12 A 330 B �33 C �72 D �792� 12 (x �0) Câu 32: Tìm số hạng không chứa x khai triển sau: f ( x) ( x ) x A 59136 B 213012 C 12373 D 139412 17 ( x 0) Câu 33: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển sau: g ( x) ( x ) x Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word A 24310 B 213012 Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 C 12373 D 139412 n �1 � Câu 34: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức Niutơn � x � biết �x � n 1 n C n Cn n A 495 B 313 C 1303 D 13129 n � � Câu 35: Xác định số hạng không phụ thuộc vào x khai triển biểu thức � x x � với n số �x � nguyên dương thoả mãn Cn3 2n An21 ( Cnk , Ank tương ứng số tổ hợp, số chỉnh hợp chập k n phần tử) A 98 B 98 C 96 D 96 40 � � Câu 36: Trong khai triển f x �x � , tìm hệ số x 31 � x � A 9880 B 1313 C 14940 D 1147 18 1� � Câu 37: Hãy tìm khai triển nhị thức �x � số hạng độc lập x � x � A 9880 B 1313 C 14940 12 �x � Câu 38: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển � � �3 x � 55 13 621 A B C 113 Câu 39: Tính hệ số x 25 y10 khai triển x3 xy D 48620 D 1412 3123 15 A 300123 B 121148 C 3003 D 1303 20 Câu 40: Cho đa thức P x x x 20 x có dạng khai triển P x a0 a1 x a2 x a20 x 20 Hãy tính hệ số a15 A 400995 B 130414 Câu 41: Tìm số hạng khai triển 3 A 4536 B 4184 20 Câu 42: Xét khai triển f ( x ) (2 x ) x Viết số hạng thứ k khai triển k 20 k 20 k A Tk 1 C20 x k 20 k 20 k x C Tk 1 C20 2 Số hạng khai triển không chứa x 10 10 10 A C20 B A20 C 511313 D 412674 số nguyên C 414 12 D 1313 k 20 k 20 k B Tk 1 C10 x k 20 k 20 k D Tk 1 C20 x 10 C C20 10 10 D C20 Câu 43: Xác định hệ số x khai triển sau: f ( x) (3 x x 1)10 A 8089 B 8085 C 1303 D 11312 2n Câu 44: Tìm hệ số x khai triển thành đa thức (2 3x) , biết n số nguyên dương thỏa n 1 mãn : C2 n 1 C2 n 1 C2 n 1 C2 n 1 1024 A 2099529 B 2099520 C 2099529 D 2099520 Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 Câu 45: Tìm hệ số x khai triển f ( x ) (1 x )9 (1 x )10 (1 x)14 A 8089 B 8085 C 3003 D 11312 10 Câu 46: Tìm hệ số x khai triển đa thức của: x x x 3x A 3320 B 2130 C 3210 D 1313 8 1 x 1 x � Câu 47: Tìm hệ số cuả x khai triển đa thức f ( x) � � � A 213 B 230 Câu 48: Đa thức P x 3x x 10 C 238 D 214 a0 a1 x a20 x Tìm a15 20 10 5 A a15 C10 C10 C10 C9 C10 C8 10 5 6 7 B a15 C10 C10 C10 C9 C10 C8 10 5 6 7 C a15 C10 C10 C10 C9 C10 C8 10 5 6 7 D a15 C10 C10 C10 C9 C10 C8 3.2 n n 1 n 2 Câu 49: Tìm hệ số khơng chứa x khai triển sau ( x ) , biết Cn Cn 78 với x x0 A 112640 B 112640 C 112643 D 112643 n Câu 50: Với n số nguyên dương, gọi a3n 3 hệ số x khai triển thành đa thức n n ( x 1) ( x 2) Tìm n để a3n3 26n A n=5 B n=4 C n=3 D n=2 n �1 7� 26 Câu 51: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức Newton � x �, biết �x � n 20 C2 n 1 C2 n1 C2 n 1 A 210 B 213 C 414 D 213 n n Câu 52: Cho n ��* (1 x) a0 a1 x an x Biết tồn số nguyên k ( �k �n ) a a a cho k 1 k k 1 Tính n ? 24 A 10 B 11 C 20 D 22 10 Câu 53: Trong khai triển ( x) thành đa thức 3 10 a0 a1 x a2 x a9 x a10 x , tìm hệ số ak lớn ( �k �10 ) 210 210 210 210 B C D a 3003 a 3003 a 3003 315 315 315 315 n n Câu 54: Giả sử (1 x) a0 a1 x a2 x an x , biết a0 a1 an 729 Tìm n số lớn số a0 , a1 , , an A a10 3003 A n=6, max ak a4 240 B n=6, max ak a6 240 C n=4, max ak a4 240 D n=4, max ak a6 240 Câu 55: Cho khai triển (1 x ) a0 a1 x an x , n ��* Tìm số lớn số a a a0 , a1 , , an , biết hệ số a0 , a1 , , an thỏa mãn hệ thức: a0 nn 4096 2 A 126720 B 213013 C 130272 D 130127 n Trang n http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word n DẠNG 2: BÀI TOÁN TỔNG �a C b k 0 k k n k Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton (a b)n Cn0 a n a n 1bCn1 a n 2b 2Cn2 b nCnn Ta chọn giá trị a, b thích hợp thay vào đẳng thức Một số kết ta thường hay sử dụng: k nk * Cn C n n n * Cn Cn Cn n * �(1) C k k 0 k n 0 n n k 0 k 0 2k k 1 * �C2 n �C2 n n * �C a k 0 k n k 2n k �C2n k 0 (1 a )n Phương pháp 2: Dựa vào đẳng thức đặc trưng Mẫu chốt cách giải ta tìm đẳng thức (*) ta thường gọi (*) đẳng thức đặc trưng Cách giải trình bày theo cách xét số hạng tổng quát vế trái (thường có hệ số chứa k ) biến đổi số hạng có hệ số khơng chứa k chứa k tổng dễ tính có sẵn n Câu 1: Tổng T Cn Cn Cn Cn Cn bằng: A T n B T 2n – C T 2n D T n Câu 2: Tính giá trị tổng S C6 C6 C6 bằng: A 64 B 48 C 72 D 100 5 Câu 3: Khai triển x y thay x, y giá trị thích hợp Tính tổng S C5 C5 C5 A 32 B 64 C D 12 n n Câu 4: Tìm số nguyên dương n cho: Cn 2Cn 4Cn Cn 243 A B 11 C 12 D 5 Câu 5: Khai triển x y thay x, y giá trị thích hợp Tính tổng S C5 C5 C5 A 32 C B 64 Câu 6: Khai triển x x x a0 a1 x a2 x a15 x15 a) Hãy tính hệ số a10 4 A a10 C5 C5 C5 C5 4 B a10 C5 C5 C5 C5 C5 C5 4 C a10 C5 C5 C5 C5 C5 C5 4 D a10 C5 C5 C5 C5 C5 C5 b) Tính tổng T a0 a1 a15 S a0 a1 a2 a15 A 131 B 147614 C Câu 7: Khai triển x 3x a) Hãy tính hệ số a4 A a4 C10 10 a0 a1 x a2 x a20 x 4 B a4 C10 20 b) Tính tổng S a1 2a2 4a3 a20 Trang D 12 D 20 C a4 C10C10 4 D a4 C10 C10 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 A S 1710 B S 1510 C S 17 20 1 1 ( 1) n n Cn Câu 8: Tính tổng sau: S Cn Cn Cn Cn 2( n 1) A B C 2(n 1) n 1 n 2 n 3 n Câu 9: Tính tổng sau: S Cn 2Cn 3Cn nCn A n.4n 1 B C 1 1 Cnn Câu 10: Tính tổng sau: S1 Cn Cn Cn n 1 n 1 n 1 1 1 2n 1 A B C 1 n 1 n 1 n 1 n Câu 11: Tính tổng sau: S Cn 2Cn nCn A 2n.2n 1 B n.2n 1 C 2n.2n 1 D S 710 D (n 1) D 4n 1 D 2n 1 1 n 1 D n.2n 1 n Câu 12: Tính tổng sau: S3 2.1.Cn 3.2Cn 4.3Cn n( n 1)Cn A n(n 1)2n B n(n 2)2n Câu 13: Tính tổng S Cn0 C n(n 1)2n 3 D n(n 1)2n 32 1 3n 1 n Cn Cn n 1 4n 1 2n 1 n 1 n 1 2n 1 C S 1 n 1 4n 1 2n 1 1 n 1 4n 1 2n 1 D S 1 n 1 A S B S 22 1 2n 1 n Cn Cn n 1 3n 1 2n 1 3n 2n 1 3n 1 2n 3n 1 2n 1 A S B S C S D S n 1 n 1 n 1 n 1 2 n n 1 Câu 15: Tìm số nguyên dương n cho : C2 n 1 2.2C2 n 1 3.2 C2 n 1 (2n 1)2 C2 n 1 2005 A n 1001 B n 1002 C n 1114 D n 102 n 1 n 1 n 2 n n 1 0 Câu 16: Tính tổng 1.3 Cn 2.3 Cn n.3 Cn Câu 14: Tính tổng S Cn0 A n.8n 1 B ( n 1).8n 1 C (n 1).8n n Câu 17: Tính tổng S 2.1Cn 3.2Cn 4.3Cn n(n 1)Cn A n(n 1)2n B n(n 1)2n Câu 18: Tính tổng Cn0 Cn1 Cn2 Cnn n A C2 n 2 n 1 B C2 n C n(n 1)2n D (n 1)2n n C 2C2 n n 1 D C2 n 1 n n 1 n 1 n2 n 2 n Câu 19: Tính tổng sau: S1 Cn 3.Cn Cn Cn A 28n B 8n C 8n 1 2 2010 2010 Câu 20: S C2011 C2011 C2011 32011 3211 B 2 Câu 21: Tính tổng S3 Cn1 2Cn2 nCnn A A 4n.2n 1 Trang B n.2n 1 D n.8n C 32011 12 C 3n.2n 1 D 8n D 32011 D 2n.2n 1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 PHẦN II – HƯỚNG DẪN GIẢI NHỊ THỨC NEWTON A- LÝ THUYẾT TĨM TẮT Cơng thức khai triển nhị thức Newton: Với nN với cặp số a, b ta có: n (a b) n �Cnk a n k b k k 0 Tính chất: 1) Số số hạng khai triển n + 2) Tổng số mũ a b số hạng n k nk k 3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = Cn a b ( k =0, 1, 2, …, n) k nk 4) Các hệ số cặp số hạng cách số hạng đầu cuối nhau: Cn Cn n k 1 k k 5) Cn Cn , Cn Cn Cn 1 * Nhận xét: Nếu khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a b giá trị đặc biệt ta thu công thức đặc biệt Chẳng hạn: (1+x)n = Cn0 x n Cn1 x n 1 Cnn Cn0 Cn1 Cnn n n n 1 n n n n (x–1)n = Cn x Cn x (1) Cn Cn Cn (1) Cn Từ khai triển ta có kết sau n n * Cn Cn Cn 2 n n * Cn Cn Cn (1) Cn B – BÀI TẬP DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CÁC HỆ SỐ, SỐ HẠNG TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON Phương pháp: ax p n bx q �Cnk ax p n k 0 n k n bx �C a q k k 0 k n n k b k x np pk qk Số hạng chứa x m ứng với giá trị k thỏa: np pk qk m m np Từ tìm k pq k nk k Vậy hệ số số hạng chứa x m là: Cn a b với giá trị k tìm Nếu k khơng ngun k n khai triển khơng chứa x m , hệ số phải tìm Chú ý: Xác định hệ số số hạng chứa x m khai triển P x a bx p cx q viết dạng a0 a1 x a2 n x n n Ta làm sau: n p q k nk p q * Viết P x a bx cx �Cn a bx cx ; n k k 0 * Viết số hạng tổng quát khai triển số hạng dạng bx p cx q thành đa thức theo luỹ thừa k x * Từ số hạng tổng quát hai khai triển ta tính hệ số x m Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 Chú ý: Để xác định hệ số lớn khai triển nhị thức Niutơn Ta làm sau: * Tính hệ số ak theo k n ; * Giải bất phương trình ak 1 �ak với ẩn số k ; * Hệ số lớn phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn thoả mãn bất phương trình Câu 1: Trong khai triển 2a b , hệ số số hạng thứ bằng: A 80 B 80 C 10 Hướng dẫn giải: Chọn B 5 Ta có: 2a b C50 2a C51 2a b C52 2a b D 10 Do hệ số số hạng thứ C5 80 n6 Câu 2: Trong khai triển nhị thức a , n �� Có tất 17 số hạng Vậy n bằng: A 17 B 11 C 10 D 12 Hướng dẫn giải: Chọn C n6 Trong khai triển a , n �� có tất n số hạng Do n 17 � n 10 Câu 3: Trong khai triển x y , hệ số số hạng là: 10 4 B 3 C10 A C10 Hướng dẫn giải: Chọn D 5 C C10 5 D 3 C10 Trong khai triển x y có tất 11 số hạng nên số hạng số hạng thứ 10 Vậy hệ số số hạng 3 C10 5 Câu 4: Trong khai triển x y , hệ số số hạng chứa x5 y là: A 22400 B 40000 C 8960 D 4000 Hướng dẫn giải: Chọn A k k 8 k k k k k k 8 k k Số hạng tổng quát khai triển Tk 1 (1) C8 (2 x) (5 y ) ( 1) C8 x y Yêu cầu toán xảy k Khi hệ số số hạng chứa x y là: 22400 � � Câu 5: Trong khai triển �x �, hệ số x , x là: x� � A 60 B 80 C 160 Hướng dẫn giải: Chọn C D 240 Số hạng tổng quát khai triển T C k x 6k 2k x k k 1 Yêu cầu toán xảy k k � k 3 C 160 Khi hệ số x là: � 1� Câu 6: Trong khai triển �a �, số hạng thứ là: � b� 4 A 35.a b B 35.a b 4 Trang C 35.a b 5 D 35.a b http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 Hướng dẫn giải: Chọn A k 14 k k b Số hạng tổng quát khai triển Tk 1 C7 a 4 4 Vậy số hạng thứ T5 C7 a b 35.a b Câu 7: Trong khai triển 2a 1 , tổng ba số hạng đầu là: A 2a 6a 15a C 64a 192a 480a Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có: 2a 1 C60 26 a C61.25 a C62 a B 2a 15a 30a D 64a 192a 240a Vậy tổng số hạng đầu 64a 192a 240a Câu 8: Trong khai triển x y A 16 x y15 y Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có: x y 16 16 , tổng hai số hạng cuối là: C 16 xy15 y B 16 x y15 y C160 x16 C161 x15 y C1615 x y 15 C1616 y D 16 xy15 y 16 � � Câu 9: Trong khai triển � 8a b �, hệ số số hạng chứa a 9b3 là: � � A 80a b B 64a b3 C 1280a b3 Hướng dẫn giải: Chọn C k Số hạng tổng quát khai triển Tk 1 1 C6k 86 k a12 k 2 k b k D 60a b Yêu cầu tốn xảy k Khi hệ số số hạng chứa a 9b3 là: 1280a b3 � � Câu 10: Trong khai triển �x �, số hạng không chứa x là: � x � A 4308 B 86016 C 84 Hướng dẫn giải: Chọn D k k k 2 k Số hạng tổng quát khai triển Tk 1 C9 x x Yêu cầu toán xảy k 2k � k 3 Khi số hạng khơng chứa x là: C9 43008 Câu 11: Trong khai triển x 1 , hệ số số hạng chứa x8 là: A 11520 B 45 C 256 Hướng dẫn giải: Chọn D k Số hạng tổng quát khai triển Tk 1 C10k 210 k x10 k 1 Yêu cầu toán xảy 10 k � k Khi hệ số số hạng chứa x8 là: C10 11520 D 43008 10 Câu 12: Trong khai triển a 2b , hệ số số hạng chứa a b là: A 1120 B 560 C 140 Hướng dẫn giải: D 11520 Trang 10 D 70 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 7 Vậy hệ số chứa x8 là: C9 (2) 4608 Câu 23: Xác định hệ số x8 khai triển sau: f ( x) (3x 1)10 A 17010 B 21303 C 20123 Hướng dẫn giải: Chọn A D 21313 10 k k 2k 4 Ta có: f ( x ) �C10 x , số hạng chứa x8 ứng với k nên hệ số x8 là: C10 17010 k 0 �2 � Câu 24: Xác định hệ số x8 khai triển sau: f ( x ) � x � �x � A 1312317 B 76424 C 427700 Hướng dẫn giải: Chọn D D 700000 k 8 k k k 8 Ta có: f ( x) �C8 (5) x , số hạng chứa x8 ứng với k nên hệ số x8 là: k 0 C (5) 700000 4 12 �3 x � Câu 25: Xác định hệ số x khai triển sau: f ( x) � � �x � 297 29 27 A B C 512 51 52 Hướng dẫn giải: Chọn A D 97 12 12 k 12 k k k 12 Ta có: f ( x) �C12 x , số hạng chứa x8 ứng với k 10 nên hệ số x8 là: k 0 297 512 Câu 26: Xác định hệ số x8 khai triển sau: f ( x) (1 x x )10 A 37845 B 14131 C 324234 Hướng dẫn giải: Chọn A C1210 32.210 10 10 k 0 k 0 j 0 D 131239 k k 10 k k k j 10 k 20 k j Ta có: f ( x) �C10 (2 x ) (1 x) ��C10Ck x �j �k �10 � Số hạng chứa x8 ứng với cặp ( k , j ) thỏa: � �j 2k 12 Nên hệ số x là: C106 C60 C107 C72 23 C108 C84 22 C109 C96 C1010C108 37845 Câu 27: Xác định hệ số x8 khai triển sau: f ( x) 8(1 x)8 9(1 x)9 10(1 10 x)10 8 8 8 8 A 8.C8 C9 10.C10 10 B C8 C9 C10 10 8 8 C C8 9.C9 10.C10 10 Hướng dẫn giải: Chọn D 8 k 8 k 8 k Ta có: (1 x) �C8 x k 0 (1 x)9 �C9k 99 k x 9 k k 0 Trang 13 8 8 D 8.C8 9.C9 10.C10 10 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 10 (1 10 x)10 �C10k 1010 k x10 k k 0 8 8 Nên hệ số chứa x8 là: 8.C8 9.C9 10.C10 10 Câu 28: Tìm hệ số x8 khai triển biểu thức sau: g ( x) 8(1 x)8 9(1 x)9 10(1 x)10 A 22094 B 139131 C 130282 D 21031 Hướng dẫn giải: Chọn A n k k k k k Ta có: ax �Cn a x nên ta suy hệ số x k khai triển (1 ax) n Cn a Do đó: n i 0 Hệ số x khai triển (1 x)8 : C8 8 Hệ số x8 khai triển (1 x)9 : C9 8 Hệ số x8 khai triển (1 3x)10 : C10 8 8 Vậy hệ số chứa x8 khai triển g ( x) thành đa thức là: 8C8 9.2 C9 10.3 C10 22094 Câu 29: Hệ số đứng trước x 25 y10 khai triển x xy 15 là: A 2080 B 3003 C 2800 Hướng dẫn giải: Chọn B k 45 k x k y k Số hạng tổng quát khai triển Tk 1 C15 x Yêu cầu toán xảy k 10 Vậy hệ số đứng trước x 25 y10 khai triển x3 xy 15 3200 D � 10 là: C15 3003 18 Câu 30: Số hạng không chứa x khai triển x là: x 10 A C18 B C18 C C18 Hướng dẫn giải: Chọn A k 54 3 k x 3 k Số hạng tổng quát khai triển Tk 1 C18 x Yêu cầu toán xảy 54 3k 3k � k Khi số hạng khơng chứa là: C18 D C18 Câu 31: Khai triển 1 x , hệ số đứng trước x là: 12 A 330 B �33 C �72 Hướng dẫn giải: Chọn D k Số hạng tổng quát khai triển Tk 1 C12k 1 x k Yêu cầu toán xảy k Khi hệ số số hạng chứa x là: C12 792 12 Câu 32: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển sau: f ( x) ( x ) x A 59136 B 213012 C 12373 Hướng dẫn giải: Chọn A 12 1 12 k 12 k 1 k Ta có: f ( x) ( x 2.x ) �C12 x ( 2 x ) k 0 Trang 14 D �792� (x �0) D 139412 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word 12 �C k 0 k 12 Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 ( 2) k x12 k Số hạng không chứa x ứng với giá trị k thỏa mãn: 12 2k � k � số hạng không chứa x là: C126 26 59136 Câu 33: Tìm số hạng không chứa x khai triển sau: g ( x) ( A 24310 B 213012 Hướng dẫn giải: Chọn A 3 x ; x x Vì nên ta có x 17 k C 12373 x x )17 ( x 0) D 139412 k 17 k 136 � � � � 17 f ( x ) �C �x � �x � �C17k x 12 k 0 � � � � k 0 Hệ số không chứa x ứng với giá trị k thỏa: 17 k 136 � k 8 Vậy hệ số không chứa x là: C17 24310 17 k 17 n �1 � Câu 34: Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển nhị thức Niutơn � x � biết �x � n 1 n Cn Cn n 3 A 495 B 313 C 1303 Hướng dẫn giải: Chọn A n 1 n n n 1 n Ta có: Cn Cn 3 n 3 � Cn Cn3 Cn3 n � Cnn31 n 3 � n n 3 2! � n 7.2! 14 � n 12 n D 13129 n 3 12 k 60 11k 12 k � � �1 � 12 Khi đó: � x � �C12k x 3 �x � �C12k x �x � k 0 k 0 � � 60 11k 8� k Số hạng chứa x8 ứng với k thỏa: 12! 495 Do hệ số số hạng chứa x8 là: C12 4! 12 ! n � � Câu 35: Xác định số hạng không phụ thuộc vào x khai triển biểu thức � x x � với n số �x � nguyên dương thoả mãn Cn3 2n An21 ( Cnk , Ank tương ứng số tổ hợp, số chỉnh hợp chập k n phần tử) A 98 B 98 C 96 D 96 Hướng dẫn giải: Chọn A n �3 � � Ta có: Cn 2n An 1 � �n n 1 n 2n n 1 n � � n �3 � � �2 � n 8 n 9n � Trang 15 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 Theo nhị thức Newton ta có: 8 1 1 � � � � x x � � x x � C80 C81 x � x x �x � �x � 1 C82 x C83 x C84 x C88 x x x x Số hạng không phụ thuộc vào x chỉ có hai biểu thức C83 x C84 1 x x Trong có hai số hạng khơng phụ thuộc vào x là: C8 C3 C8 C4 Do số hạng khơng phụ thuộc vào x là: C8 C3 C8 C4 98 40 � � Câu 36: Trong khai triển f x �x � , tìm hệ số x 31 � x � A 9880 B 1313 C 14940 Hướng dẫn giải: Chọn A D 1147 18 1� � Câu 37: Hãy tìm khai triển nhị thức �x � số hạng độc lập x � x � A 9880 B 1313 C 14940 Hướng dẫn giải: Chọn D C189 48620 D 48620 12 �x � Câu 38: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển � � �3 x � 55 13 621 A B C 113 Hướng dẫn giải: Chọn A 55 (3) C124 Câu 39: Tính hệ số x 25 y10 khai triển x xy A 300123 Hướng dẫn giải: Chọn C C1510 3003 B 121148 1412 3123 15 C 3003 Câu 40: Cho đa thức P x x x 20 x D 20 D 1303 có dạng khai triển P x a0 a1 x a2 x a20 x 20 Hãy tính hệ số a15 A 400995 Hướng dẫn giải: Chọn A a15 20 �kC k 15 15 k B 130414 400995 Câu 41: Tìm số hạng khai triển Trang 16 C 511313 3 số nguyên D 412674 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word A 4536 Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có 33 B 4184 �C 9 k 0 k k Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 C 414 12 D 1313 9 k Số hạng số nguyên ứng với giá trị k thỏa: k 2m � � k 3n � k 0, k � � k 0, ,9 � Các số hạng số nguyên: C90 2 C96 3 2 3 20 Câu 42: Xét khai triển f ( x) (2 x ) x Viết số hạng thứ k khai triển k 20 k 20 k A Tk 1 C20 x k 20 k 20 k B Tk 1 C10 x k 20 k 20 k x C Tk 1 C20 k 20 k 20 k D Tk 1 C20 x Số hạng khai triển không chứa x 10 10 10 10 A C20 B A20 C C20 Hướng dẫn giải: k 20 k C20k 220 k.x 20 k Ta có: Tk 1 C20 (2 x) k x Số hạng không chứa x ứng với k: 20 2k � k 10 10 10 Số hạng không chứa x: C20 Câu 43: Xác định hệ số x khai triển sau: f ( x ) (3x x 1)10 A 8089 B 8085 C 1303 Hướng dẫn giải: Chọn B f x x 3x 10 10 �C10k x x 10 10 D C20 D 11312 k k 0 10 k 10 k k 0 i 0 k 0 i 0 �C10k �Cki (2 x)k i (3x )i �C10k �Cki 2k i.3i x k i với �i �k �10 Do k i với trường hợp i 0, k i 1, k i k 4 2 Vậy hệ số chứa x : C10 C4 C10 C3 C10 C2 8085 Câu 44: Tìm hệ số x khai triển thành đa thức (2 3x) n , biết n số nguyên dương thỏa n 1 mãn : C2 n 1 C2 n 1 C2 n 1 C2 n 1 1024 A 2099529 B 2099520 C 2099529 D 2099520 Hướng dẫn giải: Chọn B �2 n 1 k n 1 ��C2 n 1 n �k 0 � C22ni 11 22 n 1024 � n Ta có: �n � n i0 � C 2i 1 C 2i � � n 1 n 1 � i 0 �i 0 Trang 17 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 10 2n k 10 k k k Suy (2 x) �C10 (3) x k 0 10 Hệ số x C (3) 2099520 Câu 45: Tìm hệ số x khai triển f ( x ) (1 x )9 (1 x )10 (1 x)14 A 8089 B 8085 C 3003 D 11312 Hướng dẫn giải: Chọn C 9 9 9 Hệ số x : C9 C10 C11 C12 C13 C14 3003 Câu 46: Tìm hệ số x khai triển đa thức của: x x x 3x A 3320 B 2130 C 3210 Hướng dẫn giải: Chọn A 10 Đặt f ( x ) x x x x 5 10 k k i Ta có : f ( x) x �C5 2 x x �C10 x k k 0 10 D 1313 i i 0 10 �C5k 2 x k 1 �C10i 3i.x i k k 0 i 0 Vậy hệ số x khai triển đa thức f ( x ) ứng với k i là: C54 2 C103 33 3320 x2 x � Câu 47: Tìm hệ số cuả x8 khai triển đa thức f ( x ) � � � A 213 B 230 C 238 Hướng dẫn giải: Chọn C Cách 2 � x2 x � � � C8 C8 x x C8 x x C8 x x D 214 C84 x8 x C85 x10 x C88 x16 x Trong khai triển ta thấy bậc x số hạng đầu nhỏ 8, bậc x số hạng cuối lớn Do x8 chỉ có số hạng thứ tư, thứ năm với hệ số tương ứng là: C8 C3 , C8 C4 x2 x � Vậy hệ số cuả x8 khai triển đa thức � � � là: a8 C83 C32 C84 C40 238 Cách 2: Ta có: 8 n n 0 k 0 n 2n n k 2nk � x2 x � � � �C8 x x �C8 �Cn 1 x n 0 n k với �k �n �8 Số hạng chứa x8 ứng với 2n k � k 2n số chẵn Thử trực tiếp ta k 0; n k 2, n Vậy hệ số x8 C8 C3 C8 C4 238 Câu 48: Đa thức P x 3x x a0 a1 x a20 x 20 Tìm a15 10 10 5 A a15 C10 C10 C10 C9 C10 C8 10 5 6 7 B a15 C10 C10 C10 C9 C10 C8 10 5 6 7 C a15 C10 C10 C10 C9 C10 C8 Trang 18 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 10 5 6 7 D a15 C10 C10 C10 C9 C10 C8 3.2 Hướng dẫn giải: Chọn D 10 k Ta có: P x x x �C10 3x x 10 k k 0 10 k 10 k k 0 i 0 k 0 i 0 �C10k �Cki (3 x) k i (2 x )i �C10k �Cki 3k i.2i x k i với �i �k �10 Do k i 15 với trường hợp k 10, i k 9, i k 8, i 10 5 6 7 Vậy a15 C10 C10 C10 C9 C10 C8 3.2 n n 1 n 2 Câu 49: Tìm hệ số khơng chứa x khai triển sau ( x ) , biết Cn Cn 78 với x x0 A 112640 B 112640 C 112643 D 112643 Hướng dẫn giải: Chọn A n! n! n 1 n2 78 Ta có: Cn Cn 78 � (n 1)!1! (n 2)!2! n(n 1) � n 78 � n n 156 � n 12 12 �3 � 12 k Khi đó: f ( x ) �x � �C12 (2) k x 364 k � x � k 0 Số hạng không chứa x ứng với k : 36 4k � k 9 Số hạng không chứa x là: (2) C12 112640 Câu 50: Với n số nguyên dương, gọi a3n 3 hệ số x 3n 3 khai triển thành đa thức ( x 1) n ( x 2) n Tìm n để a3n3 26n A n=5 B n=4 C n=3 D n=2 Hướng dẫn giải: Chọn A Cách 1:Ta có : x 1 Cn0 x n Cn1 x n 2 Cn2 x n 4 Cnn n x 2 n Cn0 x n 2Cn1 x n 1 22 Cn2 x n 2n Cnn Dễ dàng kiểm tra n , n không thoả mãn điều kiện tốn Với n �3 dựa vào khai triển ta chỉ phân tích x 3n 3 x n x n 3 x n x n 1 Do hệ số x 3n 3 khai triển thành đa thức x 1 n x 2 n 3 1 : a3n 3 Cn Cn 2.Cn Cn Suy a3n 3 26n � 2n 2n 3n Vậy n giá trị cần tìm Cách 2: Ta có: x 1 Trang 19 n n 26n � n n �� � n �� 1 � x x3 n � � � x �� x � n http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word i Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 k �n i 2i n k k k � �1 � n �2 � x �C � ��Cnk � �x 3n � Cn x �Cn x � � �x �k 0 �x � i 0 i 0 k 0 � � x Trong khai triển trên, luỹ thừa 3n 2i k 3 � 2i k Ta chỉ có hai trường hợp thoả mãn điều kiện i 0, k i 1, k (vì i, k nguyên) 3n n i n Hệ số x 3n 3 khai triển thành đa thức x 1 n x 2 n 3 1 Là : a3n 3 Cn Cn Cn Cn Do a3n 3 26n � 2n 2n 3n Vậy n giá trị cần tìm 26n � n n n �1 � Câu 51: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức Newton � x �, biết �x � n 20 C2 n 1 C2 n1 C2 n1 A 210 B 213 C 414 D 213 Hướng dẫn giải: Chọn A k n 1 k Do C2 n 1 C2 n 1 k 0,1, 2, , 2n 26 � C20n 1 C21n 1 C2nn 1 C2nn11 C2nn21 C22nn11 2 n 1 n 1 Mặt khác: C2 n 1 C2 n 1 C2 n 1 � 2(C20n 1 C21n1 C22n1 C2nn1 ) 2 n 1 � C21n 1 C22n 1 C2nn 1 22 n C20n 1 22 n � 22 n 20 � n 10 10 10 10 10 k 11k 40 �1 � Khi đó: � x � x 4 x �C10k ( x 4 )10 k x k �C10 x k 0 �x � k 0 26 Hệ số chứa x ứng với giá trị k : 11k 40 26 � k Vậy hệ số chứa x 26 là: C10 210 n n Câu 52: Cho n ��* (1 x) a0 a1 x an x Biết tồn số nguyên k ( �k �n ) a a a cho k 1 k k 1 Tính n ? 24 A 10 B 11 C 20 D 22 Hướng dẫn giải: Chọn A n! n! �1 �2 ( k 1)!(n k 1)! ( n k )! k ! � k Ta có: ak Cn , suy hệ � n! n! �1 � �9 (n k )!k ! 24 (n k 1)!(k 1)! 9k 2(n k 1) � �2n 11k 2 �� �� � n 10, k 24(k 1) 9(n k ) � 9n 33k 24 � 10 Câu 53: Trong khai triển ( x) thành đa thức 3 10 a0 a1 x a2 x a9 x a10 x , tìm hệ số ak lớn ( �k �10 ) Trang 20 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 210 210 210 210 A a10 3003 15 B a5 3003 15 C a4 3003 15 D a9 3003 15 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn A 15 15 k k 2k �1 � 15 �1 � �2 � 15 Ta có: � x � �C15k � � � x � �C15k 15 x k �3 � k 0 �3 � �3 � k k k Hệ số x k khai triển ak 15 C15 k 1 k 1 k k k 1 k Ta có: ak 1 ak � C15 C15 � C15 2C15 32 � k k 10 Từ đó: a0 a1 a10 Đảo dấu bất đẳng thức trên, ta được: 32 ak 1 ak � k � a10 a11 a15 210 210 Vậy hệ số lớn phải tìm là: a10 15 C1510 3003 15 3 n n Câu 54: Giả sử (1 x) a0 a1 x a2 x an x , biết a0 a1 an 729 Tìm n số lớn số a0 , a1 , , an A n=6, max ak a4 240 C n=4, max ak a4 240 Hướng dẫn giải: Chọn A n n Ta có: a0 a1 an (1 2.1) 729 � n B n=6, max ak a6 240 D n=4, max ak a6 240 ak C6k 2k suy max ak a4 240 n n Câu 55: Cho khai triển (1 x ) a0 a1 x an x , n ��* Tìm số lớn số a a a0 , a1 , , an , biết hệ số a0 , a1 , , an thỏa mãn hệ thức: a0 nn 4096 2 A 126720 B 213013 C 130272 D 130127 Hướng dẫn giải: Chọn A n n Đặt f ( x ) (1 x) a0 a1 x an x a a1 �1 � nn f � � 2n � 2n 4096 � n 12 2 �2 � k k k 1 k 1 Với k � 0,1, 2, ,11 ta có: ak C12 , ak 1 C12 � a0 ak 2k C k k 1 23 � k 1 12k 1 � 1� k ak 1 C12 2(12 k ) Z k Do a0 a1 a8 Mà k � ak � k � a8 a9 a12 Tương tự: ak 1 � 8 Số lớn số a0 , a1 , , a12 a8 C12 126720 Trang 21 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word n DẠNG 2: BÀI TOÁN TỔNG �a C b k 0 k k n k Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton (a b)n Cn0 a n a n 1bCn1 a n 2b 2Cn2 b nCnn Ta chọn giá trị a, b thích hợp thay vào đẳng thức Một số kết ta thường hay sử dụng: k nk * Cn C n n n * Cn Cn Cn n * �(1) C k k 0 k n 0 n n k 0 k 0 2k k 1 * �C2 n �C2 n n * �C a k 0 k n k 2n k �C2n k 0 (1 a )n Phương pháp 2: Dựa vào đẳng thức đặc trưng Mẫu chốt cách giải ta tìm đẳng thức (*) ta thường gọi (*) đẳng thức đặc trưng Cách giải trình bày theo cách xét số hạng tổng quát vế trái (thường có hệ số chứa k ) biến đổi số hạng có hệ số không chứa k chứa k tổng dễ tính có sẵn n Câu 1: Tổng T Cn Cn Cn Cn Cn bằng: A T n B T 2n – C T 2n Hướng dẫn giải: Chọn A Tính chất khai triển nhị thức Niu – Tơn Câu 2: Tính giá trị tổng S C6 C6 C6 bằng: A 64 B 48 C 72 Hướng dẫn giải: Chọn A S = C06 +C16 + +C66 26 64 D T n D 100 5 Câu 3: Khai triển x y thay x, y giá trị thích hợp Tính tổng S C5 C5 C5 A 32 B 64 C D 12 Hướng dẫn giải: Chọn A 5 Với x 1, y ta có S= C5 +C5 + +C5 (1 1) 32 n n Câu 4: Tìm số nguyên dương n cho: Cn 2Cn 4Cn Cn 243 A B 11 C 12 Hướng dẫn giải: Chọn D n 2 n n Xét khai triển: (1 x) Cn xCn x Cn x Cn D n n n Cho x ta có: Cn 2Cn 4Cn Cn Do ta suy 3n 243 35 � n 5 Câu 5: Khai triển x y thay x, y giá trị thích hợp Tính tổng S C5 C5 C5 A 32 Hướng dẫn giải: Trang 22 B 64 C D 12 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 Chọn A 5 Với x 1, y ta có S= C5 +C5 + +C5 (1 1) 32 Câu 6: Khai triển x x x3 a0 a1 x a2 x a15 x15 a) Hãy tính hệ số a10 4 A a10 C5 C5 C5 C5 4 B a10 C5 C5 C5 C5 C5 C5 4 C a10 C5 C5 C5 C5 C5 C5 4 D a10 C5 C5 C5 C5 C5 C5 b) Tính tổng T a0 a1 a15 S a0 a1 a2 a15 A 131 B 147614 C Hướng dẫn giải: Đặt f ( x ) (1 x x x )5 (1 x)5 (1 x )5 D 4 a) Do hệ số x10 bằng: a10 C5 C5 C5 C5 C5 C5 b) T f (1) 45 ; S f (1) Câu 7: Khai triển x x a0 a1 x a2 x a20 x 20 10 a) Hãy tính hệ số a4 A a4 C10 4 B a4 C10 20 b) Tính tổng S a1 2a2 4a3 a20 A S 1710 B S 1510 Hướng dẫn giải: C a4 C10C10 4 D a4 C10 C10 C S 17 20 D S 710 10 10 k k 2k 10 k Đặt f ( x ) (1 x x ) �C10 x (1 x) k 0 10 10 k k 0 i �C10k 3k x k �C10i k 210 k i x10 k i 10 10 k ��C10k C10i k 3k 210 k i x10 k i k 0 i 0 4 a) Ta có: a4 C10 C10 b) Ta có S f (2) 1710 1 1 ( 1) n n Cn Câu 8: Tính tổng sau: S Cn Cn Cn Cn 2( n 1) A B C 2(n 1) Hướng dẫn giải: Chọn A 1�0 1 (1) n n � Cn Cn Cn Cn � Ta có: S � 2� n 1 � D (n 1) n (1) k k (1) k k 1 (1)k Cnk11 Cn Cn 1 nên: S � 2(n 1) k 0 k 1 n 1 n 1 1 � � (1) k Cnk1 Cn01 � � � 2(n 1) �k 0 � 2( n 1) Vì n 1 n 2 n 3 n Câu 9: Tính tổng sau: S Cn 2Cn 3Cn nCn A n.4n 1 B C Trang 23 D 4n 1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 Hướng dẫn giải: Chọn A k n �1 � Ta có: S �kC � � �3 � k 1 n k n k k �1 � �1 � Vì kCnk � � n � �Cnk11 k �1 nên �3 � �3 � k k n 1 n 1 �1 � �1 � n 1 n 1 S n�� �Cnk11 3n 1.n�� �Cnk1 n(1 ) n.4 3� 3� k 1 � k 0 � 1 Cnn Câu 10: Tính tổng sau: S1 Cn Cn Cn n 1 2n 1 2n 1 2n 1 A B C 1 n 1 n 1 n 1 Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có: 1 n! ( n 1)! Cnk k 1 k k !(n k )! n ( k 1)![(n 1) ( k 1))! Cnk11 (*) n 1 n 1 n k 1 �n 1 k 1 � � S1 C C C � � n 1 n 1 n 1 � � n k 0 n �k 0 � n 1 n n n Câu 11: Tính tổng sau: S Cn 2Cn nCn A 2n.2n 1 B n.2n 1 C 2n.2n 1 D 2n 1 1 n 1 D n.2n 1 Hướng dẫn giải: Chọn D n! n! k !(n k )! (k 1)![(n 1) ( k 1)]! (n 1)! n nCnk11 , k �1 (k 1)![(n 1) (k 1)]! k Ta có: kCn k n n 1 k 1 k 0 � S �nCnk11 n�Cnk1 n.2n1 n Câu 12: Tính tổng sau: S3 2.1.Cn 3.2Cn 4.3Cn n(n 1)Cn A n(n 1)2 n Hướng dẫn giải: Chọn A k Ta có k (k 1)Cn B n(n 2)2n C n(n 1)2n 3 n! n( n 1)Cnk22 (k 2)!( n k )! n � S3 n(n 1) �Cnk22 n(n 1)2n k 2 Câu 13: Tính tổng S Cn0 4n 1 2n 1 A S n 1 Trang 24 32 1 3n 1 n Cn Cn n 1 4n 1 n1 B S 1 n 1 D n(n 1)2n http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word 4n 1 2n 1 C S 1 n 1 Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có S S1 S , Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 4n 1 2n 1 D S 1 n 1 32 33 3n 1 n Cn Cn Cn n 1 1 S Cn1 Cn2 Cnn n 1 n 1 1 Ta có S 1 n 1 Tính S1 ? S1 Cn0 3k 1 k n! 3k 1 (n 1)! 3k 1 k 1 k 1 Cn Ta có: C k 1 (k 1)!(n k )! n ( k 1)![( n 1) ( k 1)]! n n 1 � S1 n k 1 k 1 �n 1 k k 4n 1 0� Cn 2Cn0 C C C 2 � � n n n � n k 0 n 1� n �k 0 � Vậy S 4n 1 n 1 1 n 1 Câu 14: Tính tổng S Cn0 3n 1 2n 1 A S n 1 Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có: S S1 S 22 1 2n 1 n Cn Cn n 1 3n 2n 1 B S n 1 3n 1 2n C S n 1 3n 1 2n 1 D S n 1 n Cnk 2k 1 2n 1 ; S2 � 1 Trong S1 �C k 1 n 1 k 0 k 0 k n k n 2k 1 k k 1 k 1 3n 1 Cn Cn 1 � S1 1 k 1 n 1 n 1 3n 1 2n 1 Suy ra: S n 1 2 n n 1 Câu 15: Tìm số nguyên dương n cho : C2 n 1 2.2C2 n 1 3.2 C2 n 1 (2n 1)2 C2 n 1 2005 A n 1001 B n 1002 C n 1114 D n 102 Hướng dẫn giải: Chọn B Mà n 1 k 1 k 1 k Đặt S �(1) k C2 n 1 k 1 k 1 k 1 k k 1 k 1 k 1 Ta có: (1) k C2 n 1 (1) (2n 1).2 C2 n 2 2n 2n Nên S (2n 1)(C2 n 2C2 n C2 n C2 n ) 2n Vậy 2n 2005 � n 1002 n 1 n 1 n 2 n n 1 0 Câu 16: Tính tổng 1.3 Cn 2.3 Cn n.3 Cn A n.8n 1 Hướng dẫn giải: Chọn A Trang 25 B ( n 1).8n 1 C (n 1).8n D n.8n http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 n k 1 n k nk Ta có: VT �k Cn k 1 Mà k k 1 nk nk n C n.3k 1.5n k Cnk11 n 1 n 2 n 1 n 1 Suy ra: VT n(3 Cn 1 Cn 1 Cn1 ) n(5 3) n 1 n.8n 1 n Câu 17: Tính tổng S 2.1Cn 3.2Cn 4.3Cn n( n 1)Cn A n(n 1)2 n Hướng dẫn giải: Chọn B B n(n 1)2n C n(n 1)2 n D (n 1)2 n n k Ta có: S �k (k 1)Cn k 2 k n k 2 Mà k (k 1)C n(n 1)Cn 2 n2 n Suy S n(n 1)(Cn Cn Cn Cn ) n(n 1)2 Câu 18: Tính tổng Cn0 Cn1 Cn2 Cnn 2 2 n n 1 n A C2 n B C2 n C 2C2 n Hướng dẫn giải: Chọn A n n 2n Ta có: x 1 x x 1 Vế trái hệ thức là: Cn0 xn Cn1 xn 1 Cnn Cn0 Cn1 x Cnn xn Và ta thấy hệ số x n vế trái C C C n Còn hệ số x n vế phải x 1 2n n 2 n Cnn n 1 D C2 n 1 n C2 n Do Cn0 Cn1 Cn2 Cnn C2nn 2 2 n n 1 n 1 n2 n2 n Câu 19: Tính tổng sau: S1 Cn 3.Cn Cn Cn A 28n B 8n C 8n 1 Hướng dẫn giải: Chọn D n n Ta có: S1 (5 3) D 8n 2 2010 2010 Câu 20: S C2011 C2011 C2011 32011 Hướng dẫn giải: Chọn D Xét khai triển: A B 3211 C 32011 12 2 2010 2011 (1 x) 2011 C2011 xC2011 x 2C2011 x 2010C2011 x 2011C2011 Cho x ta có được: 2010 2011 32011 C2011 2.C2011 22 C2011 22010 C2011 22011 C2011 (1) Cho x 2 ta có được: 2010 2011 1 C2011 2.C2011 22 C2011 22010 C2011 22011 C2011 (2) Lấy (1) + (2) ta có: Trang 26 D 32011 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 2010 C2011 22 C2011 2010 C2011 32011 2010 Suy ra: S C2011 22 C2011 22010 C2011 32011 Câu 21: Tính tổng S3 Cn1 2Cn2 nCnn A 4n.2n 1 Hướng dẫn giải: Chọn B k Ta có: kCn k B n.2n 1 D 2n.2n 1 n! n! (n 1)! n nCnk11 , k �1 k !( n k )! ( k 1)![( n 1) ( k 1)]! (k 1)![(n 1) (k 1)]! n n 1 k 1 k 0 � S3 �nCnk11 n�Cnk1 n.2n 1 Trang 27 C 3n.2n 1 ... 321 1 C 320 11 12 2 20 10 20 11 (1 x) 20 11 C2 011 xC2 011 x 2C2 011 x 20 10C2 011 x 20 11C2 011 Cho x ta có được: 20 10 20 11 320 11 C2 011 2. C2 011 22 C2 011 22 010 C2 011 22 011. .. liệu file word Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 20 10 C2 011 22 C2 011 20 10 C2 011 320 11 20 10 Suy ra: S C2 011 22 C2 011 22 010 C2 011 320 11 Câu 21 : Tính tổng S3 Cn1 2Cn2 ... 22 010 C2 011 22 011 C2 011 (1) Cho x ? ?2 ta có được: 20 10 20 11 1 C2 011 2. C2 011 22 C2 011 22 010 C2 011 22 011 C2 011 (2) Lấy (1) + (2) ta có: Trang 26 D 320 11 http://dethithpt.com