CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1.. Tìm số hạng chứa x3 trong khai triển 9 1... Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển 3 21... CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM... Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có...
Trang 1 BÀI 03
NH TH C NIU T N Ị THỨC NIU TƠN ỨC NIU TƠN ƠN
1 Nhị thức Niu-tơn
0
.
n
k n k k n k
C a b
-=
= å
2 Hệ quả
Với a b= =1, ta có 2n 0 1 n1 n
C C C - C
Với a=1; b=- 1, ta có 0n 0 1 ( )1k k ( )1n n
3 Chú ý
Trong biểu thức ở vế phải của khai triển ( )n
a b+
· Số các hạng tử là n+1;
· Các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0; số mũ của b tăng dần từ
0 đến n, nhưng tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n
(quy ước a0=b0=1);
· Các hệ số của mỗi cặp hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối đều bằng nhau
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1 Tìm hệ số của x12 trong khai triển ( 2)10
2x x-
A 8
10
C B 2 8
102
10
C D 2 8
102
C
-Câu 2 Khai triển đa thức ( ) ( )2007
2007 2006 1 0
P x =a x +a x + +a x+a
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
2000 2007 .5
2000 2007.5
a =C
C a2000=- C20072000.5 2000 D 7 7
2000 2007.5
a =C
Câu 3 Đa thức P( )x =32x5- 80x4+80x3- 40x2+10x- là khai triển của nhị1 thức nào dưới đây?
A ( )5
1
x-Câu 4 Tìm số hạng chứa x7 trong khai triển
13
x x
ç - ÷
A 4 7
13
C x
13
C
13
C x
13
C x
Câu 5 Tìm số hạng chứa x3 trong khai triển
9
1 2
x x
ç + ÷
A 3 3
9
8C x
9
8C x C 3 3
9
C x
9
C x
Câu 6 Tìm số hạng chứa x31 trong khai triển
40 2
x x
ç + ÷
A - C x37 31 B C x 37 31 C C x2 31 D C x 4 31
Trang 2Câu 7 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 2 2
x x
ç + ÷
A 4 2
6
6
6
2C
6
2C
-Câu 8 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
8
2 1
xy xy
A 70 y 4 B 60 y 4 C 50 y4 D 40 y 4
Câu 9 Tìm số hạng chứa x y trong khai triển 3
5
xy y
A 3x y3 B 5x y3 C 10x y3 D 4x y3
Câu 10 Tìm hệ số của x trong khai triển 6
3 1 3
x
+
ç + ÷
çè ø với x ¹ 0, biết n là số
1 2
3C n+ +nP =4A n
A 210 x6 B 120 x6 C 120 D 210
Câu 11 Tìm hệ số của x9 trong khai triển ( )2
1- 3x n, biết n là số nguyên
3
C + C =
A ( )9
9
18 3
C
18 3
18 3
C x D ( )9
9
18 3
C
Câu 12 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
2
3
3 2
n x
x
1
2
C + n A= +
A 12 4 12
16.2 3
C
16.2
C C 12 4 12
16.2 3
16.2
C
Câu 13 Tìm hệ số của x7 trong khai triển 3x2 2n
x
çè ø với x ¹ 0, biết hệ số của
số hạng thứ ba trong khai triển bằng 1080
A 1080 B - 810 C 810 D 1080.
Câu 14 Tìm số tự nhiên n, biết hệ số của số hạng thứ 3 theo số mũ giảm
dần của x trong khai triển 1
3
n x
ç - ÷
Câu 15 Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển ( 3 )21
x +xy
A 10 40 10
21
C x y B 10 43 10
21
C x y
C 11 41 11
21
21
C x y ; 11 41 11
21
C x y
Câu 16 Tính tổng S tất cả các hệ số trong khai triển ( )17
3x- 4
A S =1 B S =- 1 C S =0 D S =8192
Câu 17 Khai triển đa thức ( ) ( )1000
1000 999 1 0
P x =a x +a x + +a x a+ Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A a1000+a999+ + = a1 2n B a1000+a9 99 + + = a1 2n- 1
C a1000+a999+ + = a1 1 D a1000+a999+ + = a1 0
Câu 18 Tìm hệ số của x trong khai triển 5 ( ) ( )5 2( )10
P x =x - x +x + x
Trang 3A 80 B 3240 C 3320 D 259200.
Câu 19 Tìm hệ số chứa x trong khai triển 10 ( ) 1 2 12( 2)3
4
n
f x =æçççè x + +x ö÷÷÷ø x+ với n
n n
A +C - = n
A 5 10
19
2C B 5 10 10
19
19
2C D 9 10 10
19
Câu 20 Tìm hệ số của x trong khai triển 4 P x( )= -(1 x- 3x3)n với n là số tự
C - n A
+
A 210 B 840 C 480 D 270
Câu 21 Tìm hệ số của x trong khai triển 10 ( 2 3)5
1 x x+ + +x
Câu 22 Tìm hệ số của x trong khai triển 5 ( ) ( ) ( )2 ( )8
A 630 B 635 C 636 D 637
Câu 23 Mệnh đề nào sau đây là đúng?
2 2 2n 2n 2n 2n
C +C + +C =C + +C+ + +C
2 2 2n 2n 2n 2n
C +C + +C - =C + +C+ + +C
2 2 2n 2n 2n 2n
C +C + +C - =C + +C + + +C
2 2 2n 2n 2n 2n
C +C + +C + =C + +C + + +C
Câu 24 Tính tổng 0 1 2 n
S C= +C +C + +C
A S =2n- 1 B S =2 n C S=2 n- 1 D S =2n+1
Câu 25 Tính tổng 0 1 2 2
2 2 2 2n
S C= +C +C + +C
A S =2 2n B S =22n- 1 C S =2 n D S =22n+1
Câu 26 Tìm số nguyên dương n thỏa mãn 1 2 20
2 1 2 1 2n 1 2 1
C + +C + + +C + = -
A n=8 B n=9 C n=10 D n=11
Câu 27 Tìm số nguyên dương n thỏa mãn 1 3 2 1
2 1 2 1 2n1 1024
+ + + + + + =
A n=5 B n=9 C n=10 D n=4
Câu 28 Tính tổng 0 3 1 32 3 3n n
S C= + C + C + + C
Câu 29 Khai triển đa thức ( ) ( )12 12
0 1 12
(0£ £k 12) lớn nhất trong khai triển trên
A 8 8
122
C B 9 9
122
C C 10 10
122
12
1+C 2
Câu 30 Khai triển đa thức ( )
10
9 10
0 1 9 10
1 2
3 3
P x =æçççè + xö÷÷÷ø =a +a x+ +a x +a x Tìm hệ
số a k (0£ £k 10) lớn nhất trong khai triển trên
A 7 7
10 10
2
10 10
2
6 6 10 10
2
8 8 10 10
2
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Trang 4Câu 1 Tìm hệ số của x trong khai triển 12 (2x x- 2)
A 8
10
C B 2 8
102
10
C D 2 8
102
C
-Lời giải Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có
( 2)10 10 ( )10 ( 2) 10 ( )10 10 2 10 ( )10 10
x x C x - x C - x - + C - x +
Hệ số của x12 ứng với 10+ =k 12Û k= ¾¾2 ® hệ số cần tìm 2 8
102
Câu 2 Khai triển đa thức ( ) ( )2007
2007 2006 1 0
P x =a x +a x + +a x+a
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
2000 2007 .5
2000 2007.5
a =C
C a2000=- C20072000.5 2000 D 7 7
2000 2007.5
a =C
Lời giải Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có
( )2007 2017 ( )2017 ( ) 2017 ( )2017 ( ) 2017
-Hệ số của x2000 ứng với 2017- k=2000Û k=7
¾¾®hệ số cần tìm 7 ( )2000 2000 2000
2007
2017 5 C 5
C
Câu 3 Đa thức P( )x =32x5- 80x4+80x3- 40x2+10x- là khai triển của nhị1 thức nào dưới đây?
A ( )5
1
x-Lời giải Nhận thấy P x có dấu đan xen nên loại đáp án B.( )
Hệ số của x bằng 5 32 nên loại đáp án D và còn lại hai đáp án A và C thì chỉ có
C phù hợp (vì khai triển số hạng đầu tiên của đáp án C là 32 x5 ) Chọn C Câu 4 Tìm số hạng chứa x7 trong khai triển
13
1
x x
ç - ÷
A 4 7
13
C x
13
C
13
C x
13
C x
Lời giải Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có
( )
k
k
Hệ số của x ứng với 13 27 - k= Û7 k= ¾¾3 ® số hạng cần tìm 3 7
13
C x
Câu 5 Tìm số hạng chứa x trong khai triển 3
9
2
x x
ç + ÷
A 3 3
9
1
8C x
9
1
8C x C 3 3
9
C x
9
C x
Lời giải Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có
Hệ số của x3 ứng với 9 2- k= Û3 k= ¾¾3 ® số hạng cần tìm 3 3
9
1
8C x Chọn B.
Câu 6 Tìm số hạng chứa x31 trong khai triển
40 2
1
x x
ç + ÷
A 37 31
40
C x
- B 37 31
40
C x C 2 31
40
C x D 4 31
40
C x
Lời giải Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có
Trang 540 40
Hệ số của x ứng với 40 331 - k=31Û k= ¾¾3 ® số hạng cần tìm C x Chọn B.4037 31
Câu 7 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển x2 26.
x
ç + ÷
A 4 2
6
6
6
2C
6
2C
-Lời giải Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có
6
Số hạng không chứa x ứng với 12 3- k= Û0 k=4
6.2 2 6
C = C Chọn A.
Câu 8 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
8
2 1
xy xy
A 70 y 4 B 60 y 4 C 50 y4 D 40 y 4
Lời giải Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có
8
k
Số hạng không chứa x ứng với 8 2- k= Û0 k=4
8 70
Câu 9 Tìm số hạng chứa x y trong khai triển 3
5
1
xy y
A 3x y3 B 5x y3 C 10x y3 D 4x y3
Lời giải Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có
( )
5
k k
k
k k
ì - =
íï - =
3 5
2 10 3
C x y= x y
Chọn C.
Câu 10 Tìm hệ số của x trong khai triển 6
3 1 3
x x
+
ç + ÷
çè ø với x ¹ 0, biết n là số nguyên dương thỏa mãn 3C n2+1+nP2=4A n2.
A 210 x6 B 120 x6 C 120 D 210
Lời giải Từ phương trình 2 2
1 2
3C n+ +nP =4A n¾¾® =n 3
k
Hệ số của x6 ứng với 4k- 10 6= Û k= ¾¾4 ® hệ số cần tìm 4
10 210
Câu 11 Tìm hệ số của x9 trong khai triển ( )2
1- 3x n, biết n là số nguyên
3
C + C =
A 9( )9
18 3
C
18 3
18 3
C x D 9( )9
18 3
C
Trang 6Lời giải Từ phương trình 22 143 1 9.
3
n n
C + C = ¾¾® =
-Hệ số của x ứng với 9 k = ¾¾9 ® hệ số cần tìm 9( )9
18 3
C
Câu 12 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
2
3
3 2
n x
x
1
2
C + n A= + .
A 12 4 12
16.2 3
C
16.2
C C 12 4 12
16.2 3
16.2
C
Lời giải Từ phương trình 3 2
1
C + n A= + ¾¾® =n
Với n=8, ta có
16
3
¾¾® số hạng cần tìm 12 4 12
16.2 3
Câu 13 Tìm hệ số của x trong khai triển 7 3x2 2n
x
çè ø với x ¹ 0, biết hệ số của
số hạng thứ ba trong khai triển bằng 1080
A 1080 B - 810 C 810 D 1080.
Lời giải Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có
Số hạng thứ 3 ứng với k =2, kết hợp với giả thiết ta có
n
C - = Û n n- = Û n=
Hệ số của x ứng với 27 n- 3k= Û7 10 3- k= Û7 k=1
¾¾® hệ số cần tìm 1 4( )
53 2 810
Câu 14 Tìm số tự nhiên n, biết hệ số của số hạng thứ 3 theo số mũ giảm
dần của x trong khai triển 1
3
n x
ç - ÷
Lời giải Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có
2
x C x C x- C x- C
¾¾® số hạng thứ 3 theo số mũ giảm dần của x là 2 12 2
3
n n
C æ ö÷x
-ç- ÷
çè ø Yêu cầu bài toán
2
2 1 4 ! .1 4 9.
n
n
n
æ ö÷ ç
Do nÎ ¥ nên ta chọn n=9 thỏa mãn Chọn C.
Câu 15 Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển ( 3 )21
x +xy
A 10 40 10
21
C x y B 10 43 10
21
C x y
C C x y11 41 11 D C x y ; 10 43 10 C x y11 41 11
Trang 7Lời giải Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có
( 3 )21 21 ( )321 ( ) 21 63 2
x xy C x - xy C x - y
Suy ra khai triển ( 3 )21
x +xy có 22 số hạng nên có hai số hạng đứng giữa là số hạng thứ 11 (ứng với k =10) và số hạng thứ 12 (ứng với k =11)
Vậy hai số hạng đứng giữa cần tìm là 10 43 10
21
C x y ; 11 41 11
21
C x y Chọn D.
Câu 16 Tính tổng S tất cả các hệ số trong khai triển ( )17
3x- 4
A S =1 B S =- 1 C S =0 D S =8192
Lời giải Tính tổng các hệ số trong khai triển ¾¾® cho x =1
Câu 17 Khai triển đa thức ( ) ( )1000
1000 999 1 0
P x =a x +a x + +a x a+ Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A a1000+a999+ + = a1 2n B a1000+a9 99 + + = a1 2n- 1
C a1000+a999+ + = a1 1 D a1000+a999+ + = a1 0
Lời giải Ta có ( ) 1000 999
1000 999 1 0
P x =a x +a x + +a x a+ Cho x =1 ta được P( )1=a1000+a999+ + +a1 a0
P x = x- ¾¾®P = - =
Từ đó suy ra a1000+a999+ + a1+a0= ¾¾1 ®a1000+a999+ + = - a1 1 a0
Mà là số hạng không chứa x trong khai triển ( ) ( )1000
P x = x- nên
( ) ( )0 1000
1000 1000
0 1000 2 1 1000 1
a =C x - =C = Vậy a1000+a999+ + = Chọn D. a1 0
Câu 18 Tìm hệ số của x trong khai triển 5 ( ) ( )5 2( )10
P x =x - x +x + x
A 80 B 3240 C 3320 D 259200
Lời giải Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có
x x x C x - C - x
-¾¾® số hạng chứa x tương ứng với 65 - k= Û5 k= 1
x x x C x - C - x
¾¾® số hạng chứa x5 tương ứng với 12- = Û = l 5 l 7
Vậy hệ số của x5 cần tìm P x là ( ) 1( )4 7 3
5 2 10.3 3320
Câu 19 Tìm hệ số chứa x10 trong khai triển ( ) 1 2 2( )3
4
n
f x =æçççè x + +x ö÷÷÷ø x+ với n
n n
A +C - = n
A 5 10
19
2C B 5 10 10
19
19
2C D 9 10 10
19
Lời giải Từ phương trình 3 n2 14 5
n n
A +C - = n¾¾® =n
2
2
n
f x =æçççè x + +x ö÷÷÷ø x+ = x+ x+ = x+ .
19
k k k
f x = x+ = å C x
Trang 8-Số hạng chứa x trong khai triển tương ứng với 19- k=10Û k= 9
Vậy hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển là 10 9 5 10
19 19
1
Câu 20 Tìm hệ số của x4 trong khai triển P x( )= -(1 x- 3x3)n với n là số tự
C - n A
+
A 210 B 840 C 480 D 270
Lời giải Từ phương trình n 2 6 5 21 10
+
P x = - x- x = - x- x Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có
10 0
k
=
k
0
k l
k k l
l k
ì + = ïï
íï
ïï £ £ ïî
Vậy hệ số của số hạng chứa x trong khai triển là 4 C C10 44 0+C C10 22 13 480= Chọn C Câu 21 Tìm hệ số của x trong khai triển 10 ( 2 3)5
1 x x+ + +x
Lời giải Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có
( 2 3)5 ( )5( 2)5 5 5 ( )2 5 5 2
Số hạng chứa x trong khai triển tương ứng với 10 k+2l=10Û k=10 2- l
,
k l
k l
ì + = ïï
íï
ïï Î
5 5 5 5 5 5 101
Câu 22 Tìm hệ số của x trong khai triển 5 ( ) ( ) ( )2 ( )8
A 630 B 635 C 636 D 637
Lời giải Các biểu thức ( ) ( )2 ( )4
1+x, 1+x , , 1L +x không chứa số hạng chứa x5
Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 5 ( )5
5 1 x+ là 5
5
5 C
Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 5 ( )6
6 1 x+ là 6 C65
Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 5 ( )7
7 1 x+ là 7 C75
Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 5 ( )8
8 1 x+ là 8 C85
Vậy hệ số của x trong khai triển 5 P x là ( ) 5 5
6 75 85 5
5C +6C +7C +8C =636 Chọn C Câu 23 Mệnh đề nào sau đây là đúng?
2 2 2n 2n 2n 2n
C +C + +C =C + +C+ + +C
2 2 2n 2n 2n 2n
C +C + +C - =C + +C+ + +C
2 2 2n 2n 2n 2n
C +C + +C - =C + +C + + +C
D C0 +C1 + + C n+ 1=C n+ 1+C n+ 2+ + C2n
Trang 9Lời giải Áp dụng công thức k n k
n n
C =C - , ta có
0 2
2 2
1 2 1
2 2
1 1
2 2
n
n
C C
C C
C C
+
ïï
ïí ïï ïï
ïî L
2 2 2n 2n 2n 2n
C +C + +C- =C + +C + + +C Chọn B Câu 24 Tính tổng 0 1 2 n
S C= +C +C + +C
A S =2n- 1 B S =2 n C S=2 n- 1 D S =2n+1
Lời giải Khai triển nhị thức Niu-tơn của (1+x)n, ta có
x C C x C x C x
Câu 25 Tính tổng 0 1 2 2
2 2 2 2n
S C= +C +C + +C
A S =2 2n B S =22n- 1 C S =2 n D S =22n+1
Lời giải Khai triển nhị thức Niu-tơn của ( )2
1+x n, ta có
x C C x C x C x
2 2 2 2n 1 1 n 2 n
C +C +C + +L C = + = Chọn A.
Câu 26 Tìm số nguyên dương n thỏa mãn 1 2 20
2 1 2 1 2n 1 2 1
C + +C + + +C + = -
A n=8 B n=9 C n=10 D n=11
Lời giải Ta có ( )2 1 0 1 2 1
2 1 2 1 2 1
2n1 2n n1
C C +
+ = + ; 1 2
2n1 2n n1
C + =C + ; 2 2 1
2n 1 2n n1
C C
2n n1 2n n1
C C + + = + ( )2
2 1 2 1 2 1
2
2
n n
+ + + + + + + =
2 1 2n 1 2n 1 2 1 2n 1 10
Vậy n=10 thỏa mãn yêu cầu bài toán Chọn C.
Câu 27 Tìm số nguyên dương n thỏa mãn 1 3 2 1
2 1 2 1 2n1 1024
+ + + + + + = .
A n=5 B n=9 C n=10 D n=4
Lời giải Xét khai triển ( )2 1 0 2 1 1 2 2 1
2 1 2 1 2 1
x + C x + C x C +
2 1 2 1 2 1
Cho x =- 1, ta được 0 20 1 21 1 22n11
Cộng ( )1 và ( )2 vế theo vế, ta được
2 1 1 3 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1
Câu 28 Tính tổng 0 3 1 32 3 3n n
S C= + C + C + + C
A S =3 n B S =2 n C S =3.2 n D S =4 n
Lời giải Khai triển nhị thức Niu-tơn của (1+x)n, ta có
x C C x C x C x
Cho x =3, ta được 0 3 1 32 3 3n n (1 3)n 4 n
C + C + C + + C = + = Chọn D.
Câu 29 Khai triển đa thức ( ) ( )12 12
0 1 12
(0£ £k 12) lớn nhất trong khai triển trên
A C82 8 B C92 9 C C10 102 D 1+C82 8
Trang 10Lời giải Khai triển nhị thức Niu-tơn của (1 2x+ ) , ta có
Suy ra 12k2k
k
a =C
Hệ số a lớn nhất khi k
1 1
1 12 12
1 1
1 12 12
k k k k
k k
k k k k
k k
k
+ + +
-
ï ì
0 k12 8
£ £
Î
8 122
Câu 30 Khai triển đa thức ( )
10
9 10
0 1 9 10
1 2
3 3
P x =æçççè + xö÷÷÷ø =a +a x+ +a x +a x Tìm hệ
số a k (0£ £k 10) lớn nhất trong khai triển trên.
A 7 7
10 10
2
10 10
6 6 10 10
8 8 10 10
Lời giải Khai triển nhị thức Niu-tơn của
10
1 2
10 10 10 10 10
Suy ra
10 10
k k k
k
a C
= çç ÷÷ çç ÷÷
Giả sử a là hệ số lớn nhất, khi đó k 1
1
k k
k k
a a
a a
+
ïï
íï ³ ïî
( )
( )
1
0
1
3
k
k k
+
£ £
ï çè ø÷ çè ø÷ çè ø÷ çè ø÷ ï
ïî
10 7
kÎ k
7 10 10
2 3