30 bài tập mặt cầu – KHỐI cầu file word có lời giải chi tiết

CHỦ ĐỀ MẶT CẦU - MẶT TRỤ - MẶT NOÙN  BÀI 01 MẶT CẦU – KHỐI CẦU I ĐỊNH NGHĨA Mặt cầu Tập hợp điểm không gian cách điểm O cố định khoảng R khơng đổi gọi mặt cầu có tâm O bán kính R Kí hiệu: S ( O; R ) = { M OM = R} Khối cầu Mặt cầu S ( O; R ) với điểm nằm bên gọi khối cầu tâm O , bán kính R Kí hiệu: B ( O; R ) = { M OM �R} Nếu OA, OB hai bán kính mặt cầu cho A, O, B thẳng hàng đoạn thẳng AB gọi đường kính mặt cầu Định lí Cho hai điểm cố định A, B Tập hợp � = 900 điểm M không gian cho AMB B mặt cầu đường kính AB ● A �S ( O; R ) � OA = R O ● OA1 < R � A1 nằm mặt cầu A ● OA2 > R � A2 nằm mặt cầu II MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN Định nghĩa: Mặt cầu qua đỉnh hình đa diện ( H ) gọi mặt S cầu ngoại tiếp hình đa diện ( H ) ( H ) gọi nội tiếp mặt cầu Điều kiện cần đủ để hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp đáy đa giác nội tiếp đường tròn Mọi tứ diện có mặt cầu ngoại tiếp A D O C B III MẶT CẦU NỘI TIẾP HÌNH CHĨP Mặt cầu nội tiếp hình chóp mặt cầu nằm bên hình chóp tiếp xúc với với tất mặt hình chóp Tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp cách tất mặt hình chóp IV VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG Cho mặt cầu S ( O; R ) mặt phẳng ( P ) , gọi d khoảng cách từ O đến ( P ) H hình chiếu vng góc O ( P ) Khi O O O r (P) H (P) H H (P) ● Nếu d < R mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu S ( O; R ) theo giao tuyến đường tròn nằm mặt phẳng ( P ) có tâm H có bán kính r = R - d2 Khi d = mặt phẳng ( P ) qua tâm O mặt cầu, mặt phẳng gọi mặt phẳng kính; giao tuyến mặt phẳng kính với mặt cầu đường tròn có tâm O bán kính R, đường tròn gọi đường tròn lớn mặt cầu ●Nếu d = R mặt phẳng ( P ) mặt cầu S ( O; R) có điểm chung H Khi ta nói ( P ) tiếp xúc với S ( O; R ) H ( P ) gọi tiếp diện mặt cầu, H gọi tiếp điểm Chú ý Cho H điểm thuộc mặt cầu S ( O; R ) mặt phẳng ( P ) qua H Thế ( P ) tiếp xúc với S ( O; R ) � OH ^ ( P ) ●Nếu d > R mặt phẳng ( P ) mặt cầu S ( O; R) khơng có điểm chung V VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ ĐƯỜNG THẲNG Cho mặt cầu S ( O; R ) đường thẳng D Gọi H hình chiếu vng góc O D d = OH khoảng cách từ O đến D Khi H A O H B O O H ● Nếu d < R D cắt S ( O; R ) hai điểm A, B H trung điểm AB ● Nếu d = R D S ( O; R ) có điểm chung H , trường hợp D gọi tiếp tuyến mặt cầu S ( O; R ) hay D tiếp xúc với S ( O; R ) H tiếp điểm ● Nếu d > R D S ( O; R ) khơng có điểm chung VI DIỆN TÍCH MẶT CẦU VÀ THỂ TÍCH KHỐI CẦU Gọi R bán kính mặt cầu ● Diện tích mặt cầu: S = 4pR ● Thể tích khối cầu: V = pR 3 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu Cho đường tròn ( C ) đường kính AB đường thẳng D Để hình tròn xoay sinh ( C ) quay quanh D mặt cầu cần có thêm điều kiện sau đây: (I)Đường kính AB thuộc D (II) D cố định đường kính AB thuộc D (III) D cố định hai điểm A, B cố định D A Chỉ (I) B Chỉ (II) C Chỉ (III) D Không cần thêm điều kiện Câu Cho mặt cầu ( S) tâm O , bán kính R mặt phẳng ( P ) có khoảng cách đến O R Một điểm M tùy ý thuộc ( S) Đường thẳng OM cắt ( P ) N Hình chiếu O ( P ) I Mệnh đề sau đúng? A NI tiếp xúc với ( S) O B ON = R � IN = R C Cả A B sai D Cả A B M N I Câu Cho mặt cầu S ( O; R ) điểm A , biết OA = 2R Qua A kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với ( S) B Khi độ dài đoạn AB bằng: R C R D R Câu Cho mặt cầu S ( O; R ) điểm A , biết OA = 2R Qua A kẻ cát A R B tuyến cắt ( S) B C cho BC = R Khi khoảng cách từ O đến BC bằng: R A R B C R D R Câu Cho mặt cầu S ( O; R ) mặt phẳng ( a ) R Khi thiết diện tạo mặt phẳng ( a ) với Biết khoảng cách từ O đến ( a ) S ( O; R ) bằng: A R O đường tròn có đường kính B R r H R R Câu Cho mặt cầu tâm I bán kính R = 2,6cm Một mặt phẳng cắt mặt cầu cách tâm I khoảng 2,4cm Thế bán kính đường tròn mặt phẳng cắt mặt cầu tạo nên là: A 1,2cm B 1,3cm C 1cm D 1,4cm Câu Diện tích hình tròn lớn hình cầu p Một mặt phẳng ( a ) cắt C D hình cầu theo hình tròn có diện tích p Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng ( a ) bằng: p 2p p B C D p p p 2p Câu Một hình cầu có bán kính 2m , mặt phẳng cắt hình cầu theo hình tròn có độ dài 2,4pm Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng là: A.1,6m B 1,5m C 1,4m D 1,7m A Câu Cho mặt cầu S ( O; R ) , A điểm mặt cầu ( S) ( P ) mặt phẳng qua A cho góc OA ( P ) 600 Diện tích đường tròn giao tuyến bằng: A pR C B pR D pR pR O r A H Câu 10 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên cạnh đáy a Khi mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD có bán kính bằng: A ( ) a 1+ B ( a 6- ) C ( a ) 6+ D ( a ) 3- 2 4 Câu 11 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B BA = BC = a Cạnh bên SA = 2a vng góc với mặt phẳng đáy Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là: a a B 3a C D a 2 Câu 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Cạnh bên SA = a vuông góc với đáy ( ABCD ) Tính theo a diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD ta được: A a2 B 8pa2 C 2a2 D 2pa2 Câu 13 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B , AB = a Cạnh bên SA = a , hình chiếu điểm S lên mặt phẳng đáy A trùng với trung điểm cạnh huyền AC Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC là: a a a a B C D 3 2 Câu 14 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a cạnh bên a 21 Gọi h chiều cao khối chóp R bán kính mặt cầu R ngoại tiếp khối chóp Tỉ số bằng: h A 7 A 12 B 24 C D Câu 15 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a , cạnh bên hợp với mặt đáy góc 600 Thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD là: 4pa3 2pa3 8pa3 8pa3 A B C D 9 27 Câu 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang cân, đáy lớn AD = 2a , AB = BC = CD = a Cạnh bên SA = 2a vng góc với đáy Gọi R R bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD Tỉ số nhận giá trị a sau đây? A a B a C D Câu 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = 2a , AD = a Cạnh bên SA vng góc với đáy góc SC với đáy 450 Gọi N trung điểm SA , h chiều cao khối chóp S.ABCD R bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp N ABC Biểu thức liên hệ R h là: 5 h D R = h 5 Câu 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Đường thẳng SA = a vng góc với đáy ( ABCD ) Gọi M trung điểm SC , mặt phẳng ( a ) qua hai điểm A M đồng thời song song với BD cắt SB , SD E , F Bán kính mặt cầu qua năm điểm S, A, E , M , F nhận giá trị sau đây? A 4R = 5h B 5R = 4h C R= a a D 2 Câu 19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Đường thẳng SA vng góc đáy ( ABCD ) Gọi H hình chiếu A đường thẳng SB Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện HBCD có giá trị sau đây? A a B a C a a D 2 Câu 20 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B A a B a C BC = a Cạnh bên SA vng góc với đáy ( ABC ) Gọi H , K hình chiếu vng góc A lên cạnh bên SB SC Thể tích khối cầu tạo mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.HKCB là: pa3 2pa3 p a A B C D Câu 21 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng Hình chiếu vng góc H đỉnh S mặt phẳng đáy pa3 tâm O , BD = a ( ABCD ) trung điểm OD Đường thẳng SD tạo với mặt đáy góc 600 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD nhận giá trị sau đây? a a a B C D a Câu 22 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng ( ABC ) trung điểm H A cạnh BC Góc đường thẳng SA mặt phẳng ( ABC ) 600 Gọi G trọng tâm tam giác SAC , R bán kính mặt cầu có tâm G tiếp xúc với mặt phẳng ( SAB) Đẳng thức sau sai? G,( SAB) � A R = d � � � C R2 = SDABC 39 B 13R = 2SH D R = 13 a Câu 23 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Mặt bên SAB tam giác vuông S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là: pa3 pa3 2pa3 11 11pa3 B C D 3 162 Câu 24 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Cạnh bên SA = a vng góc với đáy ( ABC ) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC là: A a a 39 a 13 a 15 C D Câu 25 Cho tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC đơi vng góc OA = a , OB = 2a , OC = 3a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O.ABC là: A B 3a a a 14 C D 2 Câu 26 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A , AB = AC = a Cạnh bên SA vng góc với đáy ( ABC ) Gọi I trung điểm A a B BC , SI tạo với đáy ( ABC ) góc 600 Gọi S, V diện tích mặt cầu thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Tỉ số V ? S a a 14 3a 14 C D 12 Câu 27 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a , góc � = 1200 Cạnh bên SA = a vng góc với đáy ( ABCD ) BAD A a 14 B Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ACD nhận giá trị: a 13 2a a 13 a 13 D 3 3 Câu 28 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng C BC = a � = 1200 Bán kính mặt Mặt phẳng ( SAB) vng góc với đáy, SA = SB = a , ASB cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là: A B C a a B C a D 2a Câu 29 Cho lăng trụ đứng ABC.A ' B 'C ' có đáy ABC tam giác vng B , � 300 Góc đường thẳng AB ' mặt phẳng AC = a , góc ACB ( ABC ) 600 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A ' ABC bằng: A A 3a A 85a 108 a 21 a 21 a 21 C D Câu 30 Cho lăng trụ đứng ABC.A ' B 'C ' có đáy tam giác cạnh a Mặt phẳng ( AB 'C ') tạo với mặt đáy góc 600 điểm G trọng tâm tam giác ABC Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp G.A ' B 'C ' bằng: B B 3a C 3a D 31a 36 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu Chọn C O,( P ) � = OI mà d � O,( P ) � =R Câu Vì I hình chiếu O ( P ) nên d � � � � � nên I tiếp điểm ( P ) ( S) Đường thẳng OM cắt ( P ) N nên IN vng góc với OI I Suy IN tiếp xúc với ( S) Tam giác OIN vuông I nên ON = R � IN = R Chọn D Câu Vì AB tiếp xúc với ( S) B nên AB ^ OB Suy AB = OA2 - OB2 = 4R - R = R Chọn D Câu Gọi H hình chiếu O lên BC CD R Ta có OB = OC = R , suy H trung điểm BC nên HC = = 2 R Suy OH = OC - HC = Chọn B Câu Gọi H hình chiếu O xuống ( a ) R Ta có d � O,( a ) � = OH = < R nên ( a ) cắt S ( O; R ) theo đường tròn C ( H ;r ) � � R Bán kính đường tròn C ( H ;r ) r = R - OH = Suy đường kính R Chọn B Câu Mặt phẳng cắt mặt cầu S ( I ;2,6cm) theo đường tròn ( H ;r ) 2 Vậy r = R - IH = ( 2,6) - ( 2,4) = 1cm Chọn C Câu Hình tròn lớn hình cầu S hình tròn tạo mặt phẳng cắt hình cầu qua tâm hình cầu Gọi R bán kính hình cầu hình tròn lớn có bán kính R Theo giả thiết, ta có pR = p � R = p p p pr = � r = p 2p p Chọn D 2p Câu Gọi khoảng cách từ tâm cầu đến mặt phẳng d , ta có d2 = R - r Suy d = R - r = Theo giả thiết R = 2m 2pr = 2,4pm� r = 2,4p = 1,2m 2p Vậy d = R - r = 1,6m Chọn A Câu Gọi H hình chiếu vng góc O ( P ) ● H tâm đường tròn giao tuyến ( P ) ( S) �,( P ) = (� ● OA OA, AH ) = 600 Bán kính đường tròn giao tuyến: r = HA = OA.cos600 = R � R� pR � Suy diện tích đường tròn giao tuyến: pr = p� = Chọn C � � � � �2 � Câu 10 Gọi H tâm hình vng ABCD Ta có SH trục đường tròn ngoại tiếp đáy Gọi M trung điểm CD I chân � (I �SH ) đường phân giác góc SMH Suy I tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp, bán kính r = IH SH = SA2 - AH = Ta có a ; a a ; MH = 2 Dựa vào tính chất đường phân giác ta có: SM = ( a IS MS SH MS + MH SH MH a = � = � IH = = = IH MH IH MH MS + MH 2+ 6- ) Chọn B Câu 11 Gọi M trung điểm AC , suy M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC S Gọi I trung điểm SC , suy IM PSA nên IM ^ ( ABC ) Do IM trục D ABC , suy IA = IB = IC I I ( 1) Hơn nữa, tam giác SAC vng A có trung điểm SC nên IS = IC = IA C A M ( 2) B Từ ( 1) ( 2) , ta có IS = IA = IB = IC hay I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC 2 Vậy bán kính R = IS = SC = SA + AC = a Chọn C.S 2 Câu 12 Gọi O = AC �BD , suy O tâm đường tròn ngoại tiếp hình vng ABCD Gọi I trung điểm SC , suy IO PSA � IO ^ ( ABCD ) Do IO trục hình vng ABCD , suy A IA = IB = IC = ID ( 1) Tam giác SAC vng A có I IS = IC = IA ( 2) I D trung điểm cạnh Ohuyền SC nên B C SC = a 2 Vậy diện tích mặt cầu S = 4pR = 8pa2 (đvdt) Chọn B Câu 13 Gọi M trung điểm AC , suy SM ^ ( ABC ) � SM ^ AC Tam giác SAC có SM đường cao trung tuyến nên tam giác SAC cân S Từ ( 1) ( 2) , ta có: R = IA = IB = IC = ID = IS = Ta có AC = AB2 + BC = a , suy tam giác SAC S ( 1) Gọi G trọng tâm D SAC , suy GS = GA = GC G A M B C Tam giác ABC vng B , có M trung điểm cạnh huyền AC nên M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Lại có SM ^ ( ABC ) nên SM trục tam giác ABC Mà G thuộc SM nên suy GA = GB = GC ( 2) Từ ( 1) ( 2) , suy GS = GA = GB = GC hay G tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC a Bán kính mặt cầu R = GS = SM = Chọn B 3 a Câu 14 Gọi O tâm D ABC , suy SO ^ ( ABC ) AO = a Trong SOA , ta có h = SO = SA2 - AO2 = Trong mặt phẳng SOA , kẻ trung trực d đoạn SA cắt SO I , suy A ● I �d nên IS = IA ● I �SO nên IA = IB = IC Do IA = IB = IC = IS nên I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC Gọi M tung điểm SA , ta có D SMI � D SOA nên S M I C O B R = SI = R SM SA SA 7a = Chọn C = = Vậy h SO 2SO 12 S Câu 15 Gọi O = AC �BD , suy SO ^ ( ABCD ) � �,OB = SBO � Ta có 600 =SB ,( ABCD) = SB d a I A Ta có SO trục hình vng ABCD Trong mặt phẳng SOB , kẻ đường trung trực d đoạn SB O I � SO IA = IB = IC = ID � � D C �� � IA = IB = IC = ID = IS = R Gọi I = SO �d � � � � � � I �d IS = IB � � � = Trong D SOB , ta có SO = OB.tan SBO B SB = SD � � D SBD Xét D SBD có � �� � = 60o � SBD = SBO � Do d đường trung tuyến D SBD Suy I trọng tâm D SBD a 8pa3 Bán kính mặt cầu R = SI = SO = Suy V = pR = Chọn D 3 27 � = 900 Câu 16 Ta có SA ^ AD hay SAD Gọi E trung điểm AD Ta có EA = AB = BC nên ABCE hình thoi Suy CE = EA = AD ACD Do tam giác vng C Ta có: DC ^ AC � � � = 900 � DC ^ ( SAC ) � DC ^ SC hay SCD � � DC ^ SA � � = 900 Tương tự, ta có SB ^ BD hay SBD � = SBD � = SCD � = 900 nên khối chóp S.ABCD nhận trung điểm I Ta có SAD 2 SD làm tâm mặt cầu ngoại tiếp, bán kính R = SD = SA + AD = a Suy 2 R = Chọn D a � �, AC = SCA � Câu 17 Ta có 450 = SC ,( ABCD ) = SC Trong D SAC , ta có h = SA = a BC ^ AB � � BC ^ ( SAB) � BC ^ BN Ta có � � � BC ^ SA � Lại có NA ^ AC Do hai điểm A, B nhìn đoạn NC góc vng nên hình chóp N ABC nội tiếp mặt cầu tâm J trung điểm NC , bán kính R =JN = � NC SA � � = 5a Chọn A = AC +� � � � � �2 � 2 Câu 18 Mặt phẳng ( a ) song song với BD cắt SB , SD E , F nên S EF P BD D SAC cân A , trung tuyến AM nên AM ^ SC ( 1) BD ^ AC � � BD ^ ( SAC ) � BD ^ SC Ta có � � � BD ^ SA � Do EF ^ SC ( 2) I E Từ ( 1) ( 2) , suy SC ^ ( a ) � SC ^ AE ( *) BC ^ AB � � BC ^ ( SAB) � BC ^ AE ( * *) Lại có � � � BC ^ SA � F M A D O C B Từ ( *) ( * *) , suy AE ^ ( SBC ) � AE ^ SB Tương tự ta có AF ^ SD � = SMA � = SFA � = 900 nên năm điểm S, A, E , M , F thuộc mặt Do SEA SA a cầu tâm I trung điểm SA , bán kính R = Chọn C = 2 Câu 19 Gọi O = AC �BD S H A D O B C Vì ABCD hình vng nên OB = OD = OC ( 1) CB ^ AB � � CB ^ ( SAB) � CB ^ AH Ta có � � � CB ^ SA � Lại có AH ^ SB Suy AH ^ ( SBC ) � AH ^ HC nên tam giác AHC vuông H có O trung điểm cạnh huyền AC nên suy OH = OC ( 2) Từ ( 1) ( 2) , suy R = OH = OB = OD = OC = a Chọn C Câu 20 Theo giả thiết, ta có � = 900 AKC � = 900 ABC � �AH ^ SB Do � � BC ^ AH � ( BC ^ ( SAB) ) ( 1) � AH ^ HC ( 2) Từ ( 1) ( 2) , suy ba điểm B, H , K nhìn xuống AC góc 900 nên hình chóp A.HKCB nội tiếp mặt cầu tâm I AC , trung điểm bán kính R= AC AB a = = 2 2pa3 Vậy thể tích khối cầu V = pR = (đvtt) Chọn A 3 � �, HD = SDH � Câu 21 Ta có 600 = SD ,( ABCD) = SD Trong tam giác vng SHD , có BD � = a SD = HD = a tan SDH � cosSDH 4 Trong tam giác vng SHB , có SH = a Xét tam giác SBD , ta có SB2 + SD = a2 = BD Suy tam giác SBD vuông S Vậy đỉnh S, A, C nhìn xuống BD góc vng nên tâm mặt a cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD O , bán kính R = BD = Chọn C 2 � � � Câu 22 Ta có 60 = SA,( ABC ) = SA, HA = SAH SB = SH + HB2 = a Tam giác ABC cạnh a nên AH = � = 3a Trong tam giác vng SHA , ta có SH = AH tan SAH Vì mặt cầu có tâm G tiếp xúc với ( SAB) nên bán kính mặt cầu R = d� G,( SAB) � � � G,( SAB) � = d� C,( SAB) � = d� H ,( SAB) � Ta có d � � � � � � 3 � Gọi M , E trung điểm AB MB � CM ^ AB HE ^ AB � � � � � Suy � a � a � � CM = HE = CM = � � � � 2 � � Gọi K hình chiếu vng góc H SE , suy HK ^ SE ( 1) � HE ^ AB � AB ^ ( SHE ) � AB ^ HK ( 2) Ta có � � � �AB ^ SH H ,( SAB) � = HK Từ ( 1) ( 2) , suy HK ^ ( SAB) nên d � � � Trong tam giác vng SHE , ta có HK = SH HE SH + HE = 3a 13 a Vậy R = HK = Chọn D 13 Câu 23 Gọi O = AC �BD Suy OA = OB = OC = OD ( 1) Gọi M trung điểm AB , tam giác SAB vuông S nên MS = MA = MB Gọi H hình chiếu S AB Từ giả thiết suy SH ^ ( ABCD) OM ^ AB � � OM ^ ( SAB) nên OM Ta có � � � OM ^ SH � trục tam giác SAB , suy OA = OB = OS ( 2) Từ ( 1) ( 2) , ta có OS = OA = OB = OC = OD a Vậy O tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD , bán kính R = OA = 2pa3 Suy V = pR = (đvtt) Chọn A 3 Câu 24 Gọi G trọng tâm D ABC , suy G tâm đường tròn ngoại tiếp D ABC Từ G dựng tia Gx ^ ( ABC ) (như hình vẽ) Suy Gx trục tam giác ABC Trong mặt phẳng ( SA,Gx) , kẻ trung trực d đoạn thẳng SA O �Gx � OA = OB = OC � �� Gọi O = Gx �d � � � � � � O �d OA = OS � � � OA = OB = OC = OS = R Suy O tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC a Ta có OG = PA = SA = ; 2 AG = 2 a a AM = = 3 Trong tam giác vuông OGA , ta có R = OA = OG + AG = a 39 Chọn C Câu 25 Gọi M trung điểm BC , suy M tâm đường tròn ngoại tiếp D OBC Kẻ Mx ^ ( OBC ) (như hình vẽ) Suy Mx trục D OBC Trong mặt phẳng ( OA, Mx) , kẻ trung trực d đoạn thẳng OA cắt Mx I Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Bán kính mặt cầu: R = IO = IM +OM = a 14 Chọn D � �, AI = SIA � Câu 26 Ta có 60o = SI ,( ABC ) = SI S a Tam giác ABC vuông cân A , suy AI = BC = 2 � =a Trong D SAI , ta có SA = AI tan SIA d x Kẻ Ix ^ ( ABC ) (như hình vẽ) J Suy Ix trục D ABC Trong mặt phẳng ( SA, Ix) , kẻ trung trực d đoạn thẳng SA cắt Ix J Khi J tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A C I B V R a 14 a 14 Bán kính: R = J A = J I + AI = nên = = Chọn B S 12 2 Câu 27 Gọi G trọng tâm tam giác ACD Kẻ Gx ^ ( ACD ) , suy Gx trục D ACD Trong mặt phẳng ( SA,Gx) , kẻ trung trực d đoạn SA cắt Gx I S Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp Ta có IG = MA = SA a ; = 2 x a AE = 3 Suy bán kính: R = IA = IG +GA2 = I M GA = d A a 39 Chọn A D G E C B Câu 28 Gọi M trung điểm AB , suy SM ^ AB SM ^ ( ABC ) Do SM trục tam giác ABC Trong mặt phẳng ( SMB) , kẻ đường trung trực d đoạn SB cắt SM I S R = SI Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC , bán kính � = a Ta có AB = SA2 + SB2 - 2SA.SB.cos ASB Trong tam giác vng SMB , ta có � = a.cos600 = a SM = SB.cos MSB Ta có D SMB�D SPI , suy SM SP SB.SP = � R = SI = = a A SB SI SM Chọn C � �', AB = B �' AB Câu 29 Ta có 600 = AB ',( ABC ) = AB Trong D ABC , ta có P M B I C � = a AB = AC.sin ACB Trong D B ' BA , ta có �' AB = 3a BB ' = AB.tan B Gọi N trung điểm AC , suy N tâm đường tròn ngoại tiếp D ABC Gọi I trung điểm A 'C , suy IN P AA ' � IN ^ ( ABC ) Do IN trục D ABC , suy IA = IB = IC ( 1) Hơn nữa, tam giác A ' AC IA ' = IC = IA ( 2) vuông A có I trung điểm A 'C nên Từ ( 1) ( 2) , ta có IA ' = IA = IB = IC hay I tâm mặt cầu ngoại tiếp 2 hình chóp A '.ABC với bán kính R = IA ' = A 'C = AA ' + AC = a 21 Chọn B 2 Câu 30 Gọi M trung điểm B 'C ' , ta có A C �, A ' M = AMA � ' G 600 = (� AB 'C ') ,( A ' B 'C ') = AM Trong D AA ' M , có A ' M = B a ; � ' = 3a AA ' = A ' M tan AMA Gọi G ' trọng tâm tam giác A ' B 'C ' , suy G ' tâm đường tròn ngoại tiếp D A ' B 'C ' Vì lặng trụ đứng nên GG ' ^ ( A ' B 'C ') Do GG ' trục tam giác A ' B 'C ' P I C' A' G' B' Trong mặt phẳng ( GC 'G ') , kẻ trung trực d đoạn thẳng GC ' cắt GG ' I Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp G.A ' B 'C ' , bán kính R = GI Ta có D GPI � DGG 'C ' � GP GG ' = GI GC ' � R = GI = D GP.GC ' GC '2 GG '2 +G 'C '2 31a = = = GG ' 2GG ' 2GG ' 36 Chọn ... d = mặt phẳng ( P ) qua tâm O mặt cầu, mặt phẳng gọi mặt phẳng kính; giao tuyến mặt phẳng kính với mặt cầu đường tròn có tâm O bán kính R, đường tròn gọi đường tròn lớn mặt cầu ●Nếu d = R mặt. .. hình cầu theo hình tròn có diện tích p Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng ( a ) bằng: p 2p p B C D p p p 2p Câu Một hình cầu có bán kính 2m , mặt phẳng cắt hình cầu theo hình tròn có. .. ^ ( P ) ●Nếu d > R mặt phẳng ( P ) mặt cầu S ( O; R) khơng có điểm chung V VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ ĐƯỜNG THẲNG Cho mặt cầu S ( O; R ) đường thẳng D Gọi H hình chi u vng góc O D d =