Về kỹ năng: - Biết khai triển nhị thức Niu-tơn với một số mũ cụ thể.. Các năng lực hướng tới hình thành và phát triển ở học sinh 1 Năng lực tính toán 2 Năng lực tư duy 3 Năng lực giải qu
Trang 1BÀI: NHỊ THỨC NIU – TƠN
I XÁC ĐỊNH CHỦ ĐỀ :
NHỊ THỨC NIU-TƠN VÀ TAM GIÁC PAX-CAN
II XÁC ĐỊNH MỤC TIÊU BÀI HỌC
1 Về kiến thức:
- Biết được công thức nhị thức Niu-tơn (a + b)n.
- Viết thành thạo công thức nhị thức Niu-tơn.
2 Về kỹ năng:
- Biết khai triển nhị thức Niu-tơn với một số mũ cụ thể.
- Tìm được hệ số xk trong khai triển (ax + b)n thành đa thức.
3 Về tư duy và thái độ:
Phát triển tư duy trừu tượng, khái quát hóa, tư duy lôgic,…
Học sinh có thái độ nghiêm túc, say mê trong học tập, biết quan sát và phán đoán chính xác, biết quy lạ về quen.
4 Các năng lực hướng tới hình thành và phát triển ở học sinh
1 Năng lực tính toán
2 Năng lực tư duy
3 Năng lực giải quyết vấn đề
4 Năng lực tự học
5 Năng lực giao tiếp
6 Năng lực hợp tác
7 Năng lực làm chủ bản thân III XÂY DỰNG BẢNG MÔ TẢ MỨC ĐỘ CÂU HỎI/BÀI TẬP
(1)
THÔNG HIỂU (2)
VẬN DỤNG THẤP
(3)
VẬN DỤNG CAO
(4)
§3 NHỊ
THỨC
NIU-TƠN
1
Nội
dun
g –
Kỹ
năn
g
- Nắm được các khái niệm
về nhị thức Niutơn và các yếu tố liên quan.
- Khai triển được các đa thức đơn giản bằng công thức Nhị thức Niutơn.
- Vận dụng linh hoạt các kỹ năng
để giải các bài toán liên quan Nhị thức Niutơn.
- Bài toán khác.
- Sử dụng linh hoạt các thuật toán để giải quyết các bài toán phức tạp.
Trang 22
Câu
hỏi
min
h
họa
VD1.1 Nêu
công thức khai triển Nhị thức Niutơn?
VD 2.1 Khai triển
các biểu thức sau bằng công thức Nhị thức Niutơn:
a) ( )4
2x +3
b) ( )5
2x - 4
c) ( )4 2
d)
5 2
x
e) ( )5
3x+2y
VD 2.1 Cho khai
triển:
2
a) Xác định số hạng thứ 7, 8, 9 của khai triển.
b) Xác định hệ số của số hạng thứ 8 của khai triển.
c) Xác định số hạng chứa x12 của khai triển.
VD4.1 Trong khai triển
của (1+ax)n, ta có số hạng đầu là 1, số hạng thứ hai là 24x và số hạng thứ 3 là 2
Tìm a và n.
VD4.2 Tìm a để trong khai triển
( ) ( )6
1+ax 1 3− x hệ số của số hạng chứa 3
x là 405.
IV CHUẨN BỊ:
• Giáo viên : Giáo án, các dụng cụ học tập,…
V PHƯƠNG PHÁP- KĨ THUẬT DẠY HỌC:
Về cơ bản là gợi mở, vấn đáp, đan xen hoạt động nhóm.
VI TIẾN TRÌNH DẠY HỌC:
1 Phần mở đầu (hoạt động khởi động)
1.1 Mục tiêu:
Học sinh khai triển được ( )n
a b+ với n=0, 1, 2, 3, 4, a b+ ≠0
1.2 Phương thức: Nhóm
1.3 Cách tiến hành:
- GV giao nhiệm vụ
Nhóm 1
- Khai triển ( )1
a b+ , ( )2
a b+ , ( )3
a b+ theo thứ tự tăng dần số mũ của b
- Khai triển ( )4
a b+ như trên bằng cách viết lại
a b+ = +a b a b+ hoặc ( )4 2 2
a b+ = +a b a b+
- Viết các hệ số của các khai triển trên lên một bảng n dòng, k cột
0
1
2
3
4
Nhóm 2:
- Tính và ghi vào bảng giá trị k, 0,1, 2,3, 4; 0,1, ,
n
Trang 31
2
3
4
2 Hoạt động hình thành kiến thức
2.1 Đơn vị kiến thức 1: Khai triển ( )n
a b+
a) Tiếp cận:
- Số các số hạng của ( )n
a b+ , n=0,1,2,3,4?
- Trong từng số hạng, số mũ của a và b thoả mãn điều gì?
- So sánh k
n
C với số trên dòng n cột k, 0≤ ≤ ≤k n 4
GV chốt: k
n
C là hệ số của số hạng chứa b n
b) Hình thành kiến thức:
Nhị thức Niu-tơn:
a b+ =C a +C a b C a b− + − + +C ab− − +C b
Dạng thu gọn: ( )
0
n
n k n k k
n k
a b C a b−
=
Yêu cầu học sinh: Khai triển (1+x)10 theo chiều tăng dần số mũ của x
c) Củng cố
Ví dụ 1: Khai triển (1+x)2017theo chiều giảm dần số mũ của x, tìm số hạng thứ 100
Yêu cầu học sinh:
- Viết khai triển: (1+x)2017
- Số hạng thứ 100 ứng với k bằng mấy?
Ví dụ 2: Tính hệ số của số hạng chứa x của khai triển 4
16 2
3
x x
Yêu cầu học sinh:
- Viết khai triển
16 2
3
x x
- Số hạng tổng quát?
- Số hạng chứa x , hệ số?4
2.2 Đơn vị kiến thức 2: Tam giác PAX-CAN
- Tiếp cận (khởi động): Viết tiếp hệ số của khai triển ( )5
a b+ , ( )6
a b+
- Hình thành kiến thức: Tam giác ghi các hệ số của khai triển nhị thức NIU-TƠN được gọi là tam giác PAX-CAN
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
Trang 41 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
- Củng cố: Yêu cầu HS nhận xét các số trên
3 HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP
3.1 Viết khai triển nhị thức Niu-tơn của (a+3 )b 5
3.2 Viết khai triển nhị thức Niu-tơn của
6
2
x x
3.3 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển thành đa thức của
8
x x
3.4 Tính tổng tất cả các hệ số của đa thức trong khai triển (3x−1)33
3.5 Biết hệ số của x trong khai triển của (1 3 )2 − x n là 90 Tìm n?
3.6 Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 7 ( )15
3− 2x thành đa thức
3.7 Trong khai triển của (1 ax+ )n ta có số hạng đầu là 1, số hạng thứ hai là 24x, số hạng thứ ba là
2
252x Hãy tìm a và n.
3.8 Tìm các số nguyên dương x thỏa C1x +6C x2 + 6C x3 = 9x2 −14x
3.9 Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển của 26 14 7
n
x x
2 1n 2 1n 2 1n n 2 1
C + +C + + + C + = −
3.10 Khai triển (1 2− x)n =a0 + a x1 + + a x n n Tìm hệ số của x , biết 5 a0 + a1 + a2 =71
4 HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG
4.1.
Các bài toán về hệ số nhị thức.
Ví dụ 1: (Đại học Thuỷ lợi cơ sở II, 2000) Khai triển và rút gọn đa thức:
( ) ( ) (9 )10 ( )14
Q x = +a a x+ +a x
Xác định hệ số a9
Giải:
Hệ số x9 trong các đa thức ( ) (9 )10 ( )14
1+x , 1+x , , 1+x lần lượt là:C C99, 105, ,C149
Do đó:
+715+2002=3003
Ví dụ 2: (ĐH KA 2004) Tìm hệ số của x8 trong khai triển đa thức của: 2( )8
Trang 5Cách 1: Ta có: ( ) 8 2( ) 8 2 ( )
k
i
k
Vậy ta có hệ số của x8 là: ( )1i 8k i
k
C C
0
4
2 ,
3
i
i k
k
k i
i
i k
k
=
≤ ≤ ≤
¥
Hệ số trong khai triển của x8 là: ( )0 4 0 ( )2 3 2
Cách 2: Ta có:
( ) 0 3 2( ) 3 4 2( ) 4 8 2( ) 8
f x =C + +C x −x +C x −x + +C x −x
Nhận thấy: x8 chỉ có trong các số hạng:
• Số hạng thứ 4: 3 2( ) 3
C x −x
C x −x
Với hệ số tương đương với: A8= 3 2 4 0
C C +C C =238
Ví dụ 3: (ĐH HCQG, 2000)
a) Tìm hệ số x8 trong khai triển
12
1 1
x
+
b) Cho biết tổng tất cả các hệ sô của khai triển nhị thức (x2 +1)n bằng 1024 Hãy tìm hệ số a
(a∈¥*) của số hạng ax12 trong khai triển đó.( ĐHSPHN, khối D,2000)
Giải:
a) Số hạng thứ (k+1) trong khai triển là:
1 k
k
x
− −
(0≤ ≤k 12)
Ta chọn 12 2− k= ⇔ =8 k 2
Vậy số hạng thứ 3 trong khai triển chứa x8 và có hệ số là: 2
C =
0
n
k
x C x C C x C x −
=
Do đó hệ số a (của x12) là: 6
C =
Ví dụ 4: (HVKTQS, 2000) Khai triển đa thức: ( ) 12 12
P x = + x = +a a x+ +a x
Tìm max(a a a0, , , ,1 2 a12)
Trang 6Gọi ak là hệ số lớn nhất của khai triển suy ra: a k >a k−1
Từ đây ta có hệ phương trình:
k k
− −
+ +
≥
≥
m a a a a a C
Ví dụ 5: (ĐH SPHN-2001) Cho khai triển nhị thức:
10
1 2
Hãy tìm số hạng a lớn nhất k
Giải:
0
n
k
k k
=
( ) ( ) ( )
11
k k
k k
k
+ + +
− −
−
Vậy max
7 7
2 3
k
a =a = C
4.2 Áp dụng nhị thứ Newton để chứng minh hệ thức và tính tổng tổ hợp.
Thuần nhị thức Newton:
Dấu hiệu nhận biết: Khi các số hạng của tổng đó có dạng C a b n k n k k− thì ta sẽ dùng trực tiếp nhị thức
0
n
n k n k k
n k
a b C a b−
=
+ =∑ Việc còn lại chỉ là khéo léo chọn a,b
Ví dụ 6: Tính tổng 316C160 −315C161 +314C162 − + C1616
Giải:
Dễ dàng thấy tổng trên có dạng như dấu hiệu nêu trên Ta sẽ chọn a=3, b=-1
Khi đó tổng trên sẽ bằng (3-1)16=216
Trang 7Ví dụ 7: ( ĐH Hàng Hải-2000) Chứng minh rằng:
C + C + C + + C = − +
Giải:
− −
− −
Lấy (1) + (2) ta được:
( )2 ( )2 0 2 2 2 2
Chọn x=3 suy ra:
( ) ( )
2
2
PCM
n n
n n
n n
Đ
−
+
+
⇒
5 TÌM TÒI SÁNG TẠO
5.1 Giới thiệu về Newton:
Isaac Newton Jr là một nhà vật lý, nhà thiên văn học, nhà triết học, nhà toán học, nhà thần học và nhà giả kim thuật người Anh, được nhiều người cho rằng là nhà khoa học vĩ đại và có tầm ảnh hưởng lớn nhất Theo lịch Julius, ông sinh ngày 25 tháng
12 năm 1642 và mất ngày 20 tháng 3 năm 1727; theo lịch Gregory, ông sinh ngày 4 tháng 1 năm
1643 và mất ngày 31 tháng 3 năm 1727
Luận thuyết của ông về Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Các Nguyên lý Toán học của Triết học Tự nhiên) xuất bản năm 1687, đã mô
tả về vạn vật hấp dẫn và 3 định luật Newton, được coi là nền tảng của cơ học cổ điển, đã thống trị các quan niệm về vật lý, khoa học trong suốt 3 thế kỷ tiếp theo ông cho rằng sự chuyển động của các vật thể trên mặt đất và các vật thể trong bầu trời bị chi phối bởi các định luật tự nhiên giống nhau; bằng cách chỉ ra sự thống nhất giữa Định luật Kepler về
sự chuyển động của hành tinh và lý thuyết của ông
về trọng lực, ông đã loại bỏ hoàn toàn Thuyết nhật tâm và theo đuổi cách mạng khoa học
Trong cơ học, Newton đưa ra nguyên lý bảo toàn động lượng (bảo toàn quán tính) Trong quang học, ông khám phá ra sự tán sắc ánh sáng, giải thích việc ánh sáng trắng qua lăng kính trở thành nhiều
Trang 8Trong toán học, Newton cùng với Gottfried Leibniz phát triển phép tính vi phân và tích phân Ông cũng đưa ra nhị thức Newton tổng quát
Năm 2005, trong một cuộc thăm dò ý kiến của Hội Hoàng gia về nhân vật có ảnh hưởng lớn nhất trong lịch sử khoa học, Newton vẫn là người được cho rằng có nhiều ảnh hưởng hơn Albert Einstein
5.2 Giới thiệu về Pascal
Blaise Pascal (tiếng Pháp: [blɛz paskal]; 19 tháng
6 năm 1623 – 19 tháng 8 năm 1662) là nhà toán học, vật lý, nhà phát minh, tác gia, và triết gia Cơ Đốc người Pháp Là cậu bé thần đồng, Pascal tiếp nhận nền giáo dục từ cha, một quan chức thuế vụ tại Rouen Nghiên cứu đầu tay của Pascal là trong lĩnh vực tự nhiên và khoa học ứng dụng, là những đóng góp quan trọng cho nghiên cứu về chất lưu,
và làm sáng tỏ những khái niệm về áp suất và chân không bằng cách khái quát hóa công trình của Evangelista Torricelli Pascal cũng viết để bảo
vệ phương pháp khoa học
Năm 1642, khi còn là một thiếu niên, Pascal bắt tay vào một số nghiên cứu tiên phong về máy tính Sau ba năm nỗ lực với năm mươi bản mẫu, cậu đã phát minh máy tính cơ học, chế tạo 20 máy tính loại này (gọi là máy tính Pascal, về sau gọi là Pascaline) trong vòng mười năm Pascal là một nhà toán học tài danh, giúp kiến tạo hai lĩnh vực nghiên cứu quan trọng: viết một chuyên luận xuất sắc về hình học xạ ảnh khi mới 16 tuổi, rồi trao đổi với Pierre de Fermat về lý thuyết xác suất, có ảnh hưởng sâu đậm trên tiến trình phát triển kinh
tế học và khoa học xã hội đương đại Tiếp bước Galileo và Torricelli, năm 1646, ông phản bác những người theo Aristotle chủ trương thiên nhiên không chấp nhận khoảng không Kết quả nghiên cứu của Pascal đã gây ra nhiều tranh luận trước khi được chấp nhận
Năm 1646, Pascal và em gái Jacqueline gia nhập một phong trào tôn giáo phát triển bên trong Công giáo mà những người gièm pha gọi là thuyết Jansen.Cha ông mất năm 1651 Tiếp sau một trải nghiệm tâm linh xảy ra cuối năm 1654, ông trải qua "sự qui đạo thứ nhì", từ bỏ nghiên cứu khoa học, và hiến mình cho triết học và thần học Hai tác phẩm nổi tiếng nhất của Pascal đánh dấu giai đoạn này: Lettres provinciales (Những lá thư tỉnh lẻ) và Pensées (Suy tưởng), tác phẩm đầu được ấn hành trong bối cảnh tranh chấp giữa nhóm Jansen với Dòng Tên Cũng trong năm này, ông viết một luận văn quan trọng về tam giác số học
Trang 9Pascal có thể chất yếu đuối, nhất là từ sau 18 tuổi đến khi qua đời, chỉ hai tháng trước khi tròn 39 tuổi
Trong suốt cuộc đời mình, Pascal luôn có ảnh hưởng trên nền toán học Năm 1653, ông
viết Traité du triangle arithmétique ("Chuyên
luận về Tam giác Số học") miêu tả một biểu mẫu nay gọi là Tam giác Pascal Tam giác này có thể được trình bày như sau:
Tam giác Pascal Mỗi con số là tổng của hai con
số ngay bên trên
Hàng đầu tiên là con số 1, hàng kế tiếp là hai con
số 1
Ở những hàng tiếp theo:
giờ cũng là 1;
con số đứng ngay ở hàng trên:
1+1=2, 1+2=3, 2+1=3, 1+3=4, 3+3=6, 3+1=4, v v