BÀI: NHỊ THỨC NIU – TƠN I XÁC ĐỊNH CHỦ ĐỀ : NHỊ THỨC NIU-TƠN VÀ TAM GIÁC PAX-CAN II XÁC ĐỊNH MỤC TIÊU BÀI HỌC Về kiến thức: - Biết công thức nhị thức Niu-tơn (a + b)n - Viết thành thạo công thức nhị thức Niu-tơn Về kỹ năng: - Biết khai triển nhị thức Niu-tơn với số mũ cụ thể - Tìm hệ số xk khai triển (ax + b)n thành đa thức Về tư thái độ: Phát triển tư trừu tượng, khái quát hóa, tư lơgic,… Học sinh có thái độ nghiêm túc, say mê học tập, biết quan sát phán đốn xác, biết quy lạ quen Các lực hướng tới hình thành phát triển học sinh STT Tên lực Năng lực tính tốn Năng lực tư Năng lực giải vấn đề Năng lực tự học Năng lực giao tiếp Năng lực hợp tác Năng lực làm chủ thân III XÂY DỰNG BẢNG MÔ TẢ MỨC ĐỘ CÂU HỎI/BÀI TẬP BÀI HỌC §3 NHỊ THỨC NIUTƠN Nội dun g– Kỹ năn g NHẬN BIẾT THÔNG HIỂU VẬN DỤNG THẤP VẬN DỤNG CAO (1) (2) (3) (4) - Nắm khái niệm nhị thức Niutơn yếu tố liên quan Khai triển đa thức đơn giản công thức Nhị thức Niutơn - Vận dụng linh - Sử dụng linh hoạt hoạt kỹ thuật toán để giải để giải toán toán phức tạp liên quan Nhị thức Niutơn - Bài toán khác VD1.1 Nêu công thức khai triển Nhị thức Niutơn? VD 2.1 Khai triển biểu thức sau công thức Nhị thức Niutơn: ( ) ( ) a) 2x + Câu hỏi h họa b) 2x - ( ) c) 2x2 + ( ) ( ) 10 2x2 + a) Xác định số hạng thứ 7, 8, khai triển ổ2 ữ ỗ d) ỗ + xữ ữ ç ÷ èx2 ø e) 3x + 2y VD 2.1 Cho khai triển: b) Xác định hệ số số hạng thứ khai triển c) Xác định số hạng chứa x12 khai triển VD4.1 Trong khai triển ( + ax ) , ta có số n hạng đầu 1, số hạng thứ hai 24x số hạng thứ 252x Tìm a n VD4.2 Tìm a để khai triển ( + ax ) ( − 3x ) IV CHUẨN BỊ: • Học sinh: Soạn trước đến lớp, chuẩn bị bảng phụ (nếu cần), … • Giáo viên : Giáo án, dụng cụ học tập,… V PHƯƠNG PHÁP- KĨ THUẬT DẠY HỌC: VI TIẾN TRÌNH DẠY HỌC: Phần mở đầu (hoạt động khởi động) 1.1 Mục tiêu: n Học sinh khai triển ( a + b ) với n=0, 1, 2, 3, 4, a + b ≠ 1.2 Phương thức: Nhóm 1.3 Cách tiến hành: - GV giao nhiệm vụ Nhóm 1 - Khai triển ( a + b ) , ( a + b ) , ( a + b ) theo thứ tự tăng dần số mũ b - Khai triển ( a + b ) cách viết lại ( a + b) = (a + b)(a + b)3 ( a + b) = (a + b) ( a + b) - Viết hệ số khai triển lên bảng n dòng, k cột 4 Nhóm 2: k - Tính ghi vào bảng giá trị Cn , n = 0,1, 2,3, 4; k = 0,1, , n hệ số số hạng chứa x 405 Về gợi mở, vấn đáp, đan xen hoạt động nhóm Hoạt động hình thành kiến thức 2.1 Đơn vị kiến thức 1: Khai triển ( a + b ) a) Tiếp cận: n - Số số hạng ( a + b ) , n=0,1,2,3,4? - Trong số hạng, số mũ a b thoả mãn điều gì? k - So sánh Cn với số dòng n cột k, ≤ k ≤ n ≤ k GV chốt: Cn hệ số số hạng chứa b n b) Hình thành kiến thức: Nhị thức Niu-tơn: n Dạng tường minh: ( a + b ) = Cn0 a n + Cn1 a n −1b + Cn2 a n −2b + + Cnn −1ab n −1 + Cnnb n n n k n−k k Dạng thu gọn: ( a + b ) = ∑ Cn a b n k =0 Yêu cầu học sinh: Khai triển (1 + x )10 theo chiều tăng dần số mũ x c) Củng cố Ví dụ 1: Khai triển (1 + x ) 2017 theo chiều giảm dần số mũ x, tìm số hạng thứ 100 Yêu cầu học sinh: - Viết khai triển: (1 + x) 2017 - Số hạng thứ 100 ứng với k mấy? 16 Ví dụ 2: Tính hệ số số hạng chứa x khai triển x − ÷ x Yêu cầu học sinh: 16 3 - Viết khai triển x − ÷ dạng thu gọn x - Số hạng tổng quát? - Số hạng chứa x , hệ số? 2.2 Đơn vị kiến thức 2: Tam giác PAX-CAN - Tiếp cận (khởi động): Viết tiếp hệ số khai triển ( a + b ) , ( a + b ) - Hình thành kiến thức: Tam giác ghi hệ số khai triển nhị thức NIU-TƠN gọi tam giác PAX-CAN 1 1 1 3 1 1 10 10 1 15 20 15 1 21 35 35 21 - Củng cố: Yêu cầu HS nhận xét số HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP 3.1 Viết khai triển nhị thức Niu-tơn (a + 3b)5 2 3.2 Viết khai triển nhị thức Niu-tơn x − ÷ x 1 3.3 Tìm số hạng khơng chứa x khai triển thành đa thức x + ÷ x 33 3.4 Tính tổng tất hệ số đa thức khai triển (3 x − 1) 3.5 Biết hệ số x khai triển (1 − 3x) n 90 Tìm n? 3.6 Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển ( − 2x ) 15 thành đa thức 3.7 Trong khai triển ( + ax ) ta có số hạng đầu 1, số hạng thứ hai 24x, số hạng thứ ba n 252x Hãy tìm a n 3.8 Tìm số nguyên dương x thỏa C1x + 6C x2 + 6C x3 = x − 14 x n 3.9 Tìm hệ số số hạng chứa x 26 khai triển + x ÷ , biết : x C12n +1 + C22n +1 + + C2nn +1 = 220 − n 3.10 Khai triển ( − x ) = a0 + a1 x + + an x n Tìm hệ số x5 , biết a0 + a1 + a2 = 71 HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG 4.1 Các tốn hệ số nhị thức Ví dụ 1: (Đại học Thuỷ lợi sở II, 2000) Khai triển rút gọn đa thức: Q ( x ) = ( + x ) + ( + x ) + + ( + x ) Ta đa thức: 10 14 Q ( x ) = a0 + a1 x + + a14 x14 Xác định hệ số a9 Giải: 9 Hệ số x9 đa thức ( + x ) , ( + x ) , , ( + x ) là: C9 , C10 , , C14 10 14 Do đó: 1 1 a9 = C99 + C105 + + C149 = + 10 + 10.11 + 10.11.12 + 10.11.12.13 + 10.11.12.13.14 =11+55+220 24 20 +715+2002=3003 Ví dụ 2: (ĐH KA 2004) Tìm hệ số x8 khai triển đa thức của: 1 + x ( − x ) Giải: k k k i Cách 1: Ta có: f ( x ) = ∑ C x ( − x ) = ∑ C x ∑ ( −1) Cki x i k =0 k =0 i =0 k 8 k 2k i = 0 ≤ i ≤ k ≤ k = i Vậy ta có hệ số x8 là: ( −1) C8k Cki thoã 2k + i = ⇒ i = i, k ∈ ¥ k = Hệ số khai triển x8 là: ( −1) C84C40 + ( −1) C83C32 =238 Cách 2: Ta có: f ( x ) = C80 + + C83 x ( − x ) + C84 x ( − x ) + + C88 x ( − x ) Nhận thấy: x8 có số hạng: • Số hạng thứ 4: C83 x ( − x ) • Số hạng thứ 5: C84 x ( − x ) 4 Với hệ số tương đương với: A8= C8 C3 + C8 C4 =238 Ví dụ 3: (ĐH HCQG, 2000) 12 1 a) Tìm hệ số x khai triển + ÷ x b) Cho biết tổng tất hệ sô khai triển nhị thức ( x + 1) 1024 Hãy tìm hệ số a n ( a ∈ ¥ *) số hạng ax12 khai triển đó.( ĐHSPHN, khối D,2000) Giải: a) Số hạng thứ (k+1) khai triển là: k k 12 − x ak = C12 x ÷ = C12k x12− k ( ≤ k ≤ 12 ) x Ta chọn 12 − 2k = ⇔ k = 2 Vậy số hạng thứ khai triển chứa x8 có hệ số là: C12 = 66 n k 2n k k 12 − k b) Ta có: ( + x ) = ∑ Cn x = Cn + Cn x + + Cn x n k =0 n Với x=1 thì: = C + Cn + + Cn = 1024 ⇔ 2n = 210 ⇔ n = 10 n n Do hệ số a (của x12) là: C10 = 210 12 12 Ví dụ 4: (HVKTQS, 2000) Khai triển đa thức: P ( x ) = (1 + x) = a0 + a1 x + + a12 x Tìm max ( a0 , a1 , a2 , , a12 ) Giải: Gọi ak hệ số lớn khai triển suy ra: ak > ak −1 Từ ta có hệ phương trình: 2 k ≥ 12 − k + 2k C12k ≥ 2k −1 C12k −1 ⇔ k k k +1 k +1 ≥ C12 ≥ C12 12 − k k + ⇒ max ( a0 , a1 , a2 , , a12 ) = a8 = C128 218 = 126720 Ví dụ 5: (ĐH SPHN-2001) Cho khai triển nhị thức: 10 1 10 + x ÷ = a0 + a1 x + + a9 x + a10 x 3 Hãy tìm số hạng ak lớn Giải: 10 1 10 1 Ta có: + x ÷ = 10 ( + x ) = 10 3 3 n ∑ C ( 2x ) k =0 k 10 k ⇒ ak = k k C10 310 C10k 2k ≥ C10k +1 2k +1 ak ≥ ak +1 ⇒ ⇔ k k k −1 k −1 ak ≥ ak −1 C10 ≥ C10 2k10! 2k10! k ! 10 − k ! ≥ k + ! − k ! ≥ ( ) ( ) ( ) Ta có ak đạt max 22 10 − k k + 19 ⇔ ⇔ ⇔ ≤k≤ k k 3 10! 10! ≥ 2 ≥ k !( 10 − k ) ! ( k − 1) !( 11 − k ) ! k 11 − k ⇒ k = ( k ∈ ¥ , k ∈ [ 0,10] ) Vậy max ak = a7 = 27 C10 310 4.2 Áp dụng nhị thứ Newton để chứng minh hệ thức tính tổng tổ hợp Thuần nhị thức Newton: k n−k k Dấu hiệu nhận biết: Khi số hạng tổng có dạng Cn a b ta dùng trực tiếp nhị thức n k n−k k Newton: ( a + b ) = ∑ Cn a b Việc lại khéo léo chọn a,b n k =0 16 15 14 16 Ví dụ 6: Tính tổng C16 − C16 + C16 − + C16 Giải: Dễ dàng thấy tổng có dạng dấu hiệu nêu Ta chọn a=3, b=-1 Khi tổng (3-1)16=216 Ví dụ 7: ( ĐH Hàng Hải-2000) Chứng minh rằng: C20n + 32 C22n + 34 C24n + + 32 n C22nn = 22 n −1 ( 22 n + 1) Giải: ( + x ) = C20n + C21n x + C22n x + + C22nn−1 x 2n−1 + C22nn x n ( 1) 2n ( − x ) = C20n − C21n x + C22n x + − C22nn−1 x n−1 + C22nn x n ( ) 2n Lấy (1) + (2) ta được: ( 1+ x) 2n + ( 1− x) 2n = C20n + C22n x + + C22nn x n ( 4) 2n + ( −2 ) 2n = C20n + C22n 32 + + C22nn 32 n 24 n + 22 n = C20n + C22n 32 + + C22nn 32 n 2 n Chọn x=3 suy ra: ( 22 n + 1) ⇔ = C20n + C22n 32 + + C22nn 32 n ⇔ 22 n −1 (22 n + 1) = C20n + C22n 32 + + C22nn 32 n ⇔ ⇒ ĐPCM TÌM TỊI SÁNG TẠO 5.1 Giới thiệu Newton: Isaac Newton Jr nhà vật lý, nhà thiên văn học, nhà triết học, nhà toán học, nhà thần học nhà giả kim thuật người Anh, nhiều người cho nhà khoa học vĩ đại có tầm ảnh hưởng lớn Theo lịch Julius, ông sinh ngày 25 tháng 12 năm 1642 ngày 20 tháng năm 1727; theo lịch Gregory, ông sinh ngày tháng năm 1643 ngày 31 tháng năm 1727 Luận thuyết ông Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Các Nguyên lý Toán học Triết học Tự nhiên) xuất năm 1687, mô tả vạn vật hấp dẫn định luật Newton, coi tảng học cổ điển, thống trị quan niệm vật lý, khoa học suốt kỷ ông cho chuyển động vật thể mặt đất vật thể bầu trời bị chi phối định luật tự nhiên giống nhau; cách thống Định luật Kepler chuyển động hành tinh lý thuyết ông trọng lực, ơng loại bỏ hồn tồn Thuyết nhật tâm theo đuổi cách mạng khoa học Trong học, Newton đưa nguyên lý bảo toàn động lượng (bảo tồn qn tính) Trong quang học, ơng khám phá tán sắc ánh sáng, giải thích việc ánh sáng trắng qua lăng kính trở thành nhiều màu Trong toán học, Newton với Gottfried Leibniz phát triển phép tính vi phân tích phân Ơng đưa nhị thức Newton tổng quát Năm 2005, thăm dò ý kiến Hội Hồng gia nhân vật có ảnh hưởng lớn lịch sử khoa học, Newton người cho có nhiều ảnh hưởng Albert Einstein 5.2 Giới thiệu Pascal Blaise Pascal (tiếng Pháp: [blɛz paskal]; 19 tháng năm 1623 – 19 tháng năm 1662) nhà toán học, vật lý, nhà phát minh, tác gia, triết gia Cơ Đốc người Pháp Là cậu bé thần đồng, Pascal tiếp nhận giáo dục từ cha, quan chức thuế vụ Rouen Nghiên cứu đầu tay Pascal lĩnh vực tự nhiên khoa học ứng dụng, đóng góp quan trọng cho nghiên cứu chất lưu, làm sáng tỏ khái niệm áp suất chân không cách khái qt hóa cơng trình Evangelista Torricelli Pascal viết để bảo vệ phương pháp khoa học Năm 1642, thiếu niên, Pascal bắt tay vào số nghiên cứu tiên phong máy tính Sau ba năm nỗ lực với năm mươi mẫu, cậu phát minh máy tính học, chế tạo 20 máy tính loại (gọi máy tính Pascal, sau gọi Pascaline) vòng mười năm Pascal nhà toán học tài danh, giúp kiến tạo hai lĩnh vực nghiên cứu quan trọng: viết chuyên luận xuất sắc hình học xạ ảnh 16 tuổi, trao đổi với Pierre de Fermat lý thuyết xác suất, có ảnh hưởng sâu đậm tiến trình phát triển kinh tế học khoa học xã hội đương đại Tiếp bước Galileo Torricelli, năm 1646, ông phản bác người theo Aristotle chủ trương thiên nhiên không chấp nhận khoảng không Kết nghiên cứu Pascal gây nhiều tranh luận trước chấp nhận Năm 1646, Pascal em gái Jacqueline gia nhập phong trào tôn giáo phát triển bên Công giáo mà người gièm pha gọi thuyết Jansen.Cha ông năm 1651 Tiếp sau trải nghiệm tâm linh xảy cuối năm 1654, ông trải qua "sự qui đạo thứ nhì", từ bỏ nghiên cứu khoa học, hiến cho triết học thần học Hai tác phẩm tiếng Pascal đánh dấu giai đoạn này: Lettres provinciales (Những thư tỉnh lẻ) Pensées (Suy tưởng), tác phẩm đầu ấn hành bối cảnh tranh chấp nhóm Jansen với Dòng Tên Cũng năm này, ông viết luận văn quan trọng tam giác số học Pascal chất yếu đuối, từ sau 18 tuổi đến qua đời, hai tháng trước tròn 39 tuổi Trong suốt đời mình, Pascal ln có ảnh hưởng tốn học Năm 1653, ơng viết Traité du triangle arithmétique ("Chuyên luận Tam giác Số học") miêu tả biểu mẫu gọi Tam giác Pascal Tam giác trình bày sau: Tam giác Pascal Mỗi số tổng hai số bên Hàng số 1, hàng hai số Ở hàng tiếp theo: • • Con số số cuối 1; Mỗi số bên tổng hai số đứng hàng trên: 1+1=2, 1+2=3, 2+1=3, 1+3=4, 3+3=6, 3+1=4, v v ... kim thuật người Anh, nhi u người cho nhà khoa học vĩ đại có tầm ảnh hưởng lớn Theo lịch Julius, ông sinh ngày 25 tháng 12 năm 1642 ngày 20 tháng năm 1727; theo lịch Gregory, ông sinh ngày tháng... (hoạt động khởi động) 1.1 Mục tiêu: n Học sinh khai triển ( a + b ) với n=0, 1, 2, 3, 4, a + b ≠ 1.2 Phương thức: Nhóm 1.3 Cách tiến hành: - GV giao nhi m vụ Nhóm 1 - Khai triển ( a + b ) , (... thần đồng, Pascal tiếp nhận giáo dục từ cha, quan chức thuế vụ Rouen Nghiên cứu đầu tay Pascal lĩnh vực tự nhi n khoa học ứng dụng, đóng góp quan trọng cho nghiên cứu chất lưu, làm sáng tỏ khái