(SKKN mới NHẤT) SKKN vận DỤNG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NIUTƠN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC và PHÁT TRIỂN hệ THỐNG bài tập

1 download by : skknchat@gmail.com download by : skknchat@gmail.com download by : skknchat@gmail.com download by : skknchat@gmail.com download by : skknchat@gmail.com download by : skknchat@gmail.com download by : skknchat@gmail.com download by : skknchat@gmail.com download by : skknchat@gmail.com 10 download by : skknchat@gmail.com 20 download by : skknchat@gmail.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: VẬN DỤNG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NIUTƠN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VÀ PHÁT TRIỂN HỆ THỐNG BÀI TẬP Người thực hiện: Trần Công Tuấn Chức vụ: Giáo viên Tốn SKKN thuộc lĩnh mực (mơn): Tốn 21 download by : skknchat@gmail.com THANH HÓA, NĂM 2018 MỤC LỤC Mục Nội dung Trang Bìa Mục lục I Mở đầu Lí chọn đề tài Mục đích 3 Đối tượng nghiên cứu 4 Phương pháp nghiên cứu II Nội dung sáng kiến kinh nghiệm Cơ sở lý luận Thực trạng vấn đề 4-5 Giải pháp tổ chức thực 5-11 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 11-12 III Kết luận kiến nghị 12 Kết luận 12-13 Kiến nghị 13 Phụ lục 14 22 download by : skknchat@gmail.com I.MỞ ĐẦU 1.Lí chọn đề tài Tốn học môn khoa học mở rộng vốn tri thức học sinh, phát huy tính tích cực tự giác chủ động sáng tạo học tập học sinh Đó đường để thực đổi phương pháp dạy học Trong thực tế học tập giảng dạy học sinh giáo viên nhà trường đứng trước toán chứng minh đẳng thức xuất phát từ khai triển nhị thức Niutơn ,việc đưa phương hướng giải tốn cịn lúng túng , có ảnh hưởng đến chất lượng dạy học nói riêng tổ chun mơn ảnh hưởng đến phần chất lượng giáo dục chung nhà trường Mục tiêu tổ chuyên môn xây dựng chuyên đề giảng dạy bồi dưỡng thêm kiến thức chứng minh đẳng thức dựa khai triển nhị thức Niutơn cho học sinh giáo viên Từ tơi ln đặt vấn đề tốn từ đâu ra, dựa vào sở để định hướng phương hướng giải tốn ? Có xây dựng lớp tốn tương tự khơng? Vì vấn đề nêu với thực tế giảng dạy nhà trường yêu cầu cần thiết, với kiến thức tích luỹ thân tơi chọn đề tài “Vận dụng khai triển nhị thức Niutơn chứng minh đẳng thức phát triển hệ thống tập” thú vị Qua giúp người dạy định hướng phương pháp giải cụ thể lô gic, giúp người học rễ tiếp thu có hội sáng tạo thân xây dựng bổ sung lớp toán sở phương phải giải tốn 2.Mục đích Trao đổi với đồng nghiệp kinh nghiệm giảng dạy toán chứng minh đẳng thức xuất phát từ khai thác khai triển nhị thức Niutơn , chủ động xây dựng hệ thống thành dạng tập giảng dạy cho học sinh Hướng dẫn học sinh định hướng giải tập chứng minh dựa sở suy luận số hạng tổng quát tổng khai triển nhị thức Niutơn, tư lô gic chủ động phát triển thành chuỗi tập dạng, sở lí luận, tự tin học tập mơn tốn Qua thực tế giảng dạy tập công thức nhị thức Niutơn Đề tài giúp giáo viên học sinh tự tin đứng trước toán chứng minh đẳng thức tổng chứa tổ hợp ,có số hạng tổng quát Người dạy người học định hướng phương pháp giải toán, biết khai thác kiến thức cách chủ động làm tăng cường hứng thú học tập cho học sinh giáo viên mơn tốn 23 download by : skknchat@gmail.com Đối tượng nghiên cứu Vận dụng khai triển cơng thức nhị thức Niutơn, tính đạo hàm,lấy tích phân khai triển nhị thức Niu tơn, qua định hướng xây dựng phương pháp giải toán xây dựng hệ thống tập Phương pháp nghiên cứu Xây dựng sở lý luận, ghi nhận kiến thức bản, chuẩn bị hệ thống tập tổ chức triển khai thực hiện: *Năm học : 2015- 2016 thử nghiệm đơn vị lớp 11C1 11C2 *Năm học : 2016- 2017 thử nghiệm đơn vị lớp 11A1 11A2 *Năm học : 2017- 2018 thử nghiệm lớp 11B1 Kiểm tra, đánh giá ,rút kinh nghiệm thu từ thực tiễn giảng dạy học tập, báo cáo kết chun mơn tổ, tranh thủ ý kiến đóng góp tổ viên để hồn thiện đề tài tổ chức thực II-NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cơ sở lý luận Trên sở sử dụng công thức nhị thức Niutơn : (n ) SGK đại số & giải tích 11 trình bày thực số phép tốn tính đạo hàm, lấy tích phân mà “khai triển” nên hệ thống tập, từ giúp học sinh định hướng phương pháp giải tốn Bằng kinh nghiệm hệ thơng câu hỏi thích hợp giáo viên dẫn dắt học sinh phát triển hệ thống tập với sở lí luận phương pháp giải tốn Giáo dục phải lấy người học làm trung tâm, phải khơi dậy lòng đam mê, hứng thú khát vọng học sinh Giáo dục toàn diện học sinh phải đào tạo người lao động tự chủ, tư sáng tạo, có lực giải vấn đề thường gặp Thay đổi phương pháp giảng dạy, khắc phục lối truyền thụ chiều Rèn luyện học sinh phát triển lực tự tư duy, sáng tạo nhiệm vụ quan trọng giáo viên mơn , nội dung đổi phương pháp giảng dạy Để làm mục tiêu trách nhiệm người giáo viên vô quan trọng Vì thầy phải khơng ngừng học tập ,nâng cao trình độ chun mơn ,u nghề thực tận tụy tâm huyết với nghề ,với học trị khơng ngừng đổi phương pháp tìm tịi phương pháp mới, cách tiếp 24 download by : skknchat@gmail.com cận cho đơn giản hiệu tạo tinh thần phấn khởi hứng thú người học Thực trạng vấn đề Học sinh nhà trường phần lớn học sinh có học lực trung bình, tỉ lệ học sinh có học lực giỏi không nhiều Nhiệm vụ tổ nhóm chun mơn phải tổ chức đánh giá xếp loại lực học sinh ,nhóm chun mơn phải xây dựng kế hoạch bồi dưỡng phụ đạo theo nhóm học sinh có học lực khác Trong buổi thảo luận chuyên môn xây dựng phương pháp dạy học cho nhóm đối tượng học sinh giỏi, có nhiều ý kiến trao đổi giảng dạy cho học sinh phần chứng minh đẳng thức khai triển nhị thức Niutơn, nội dung khó học sinh nhà trường không đơn giản giáo viên Là nội dung khó thời lượng chương trình khơng nhiều, học sinh giáo viên va chạm, giáo viên cách tổng hợp, khái qt chất dạng tốn khó định hướng phương pháp giải toán cho học sinh Tuy nhiên giáo viên nắm bắt công thức nhị thức Niu tơn, phương án triển khai nhị thức Niu tơn việc giải tốn chứng minh đẳng thức khai triển nhị thức Niutơn đơn giản dễ hiểu học sinh * Năm học : 2015- 2016 thử nghiệm đơn vị lớp 11C1 11C2 Kết kiểm tra kiến thức chưa triển khai đề tài: Giỏi Khá Trung bình Yếu Lớp/ Năm học Sĩ số SL TL% SL TL% SL TL% SL TL% 2015-2016 C1= 37 2,7% 10,8% 25 67,6% 18,9% C2= 41 4,9% 14,6% 28 68,3% 12,2% Kết kiểm tra kiến thức triển khai đề tài đến hai đơn vị lớp 11C1, 11C2: Giỏi Khá Trung bình Yếu Lớp/ Năm học Sĩ số SL TL% SL TL% SL TL% SL TL% 2015-2016 C1= 37 13,5% 14 37,8% 15 40,5% 8,2% C2= 41 19,5% 16 39,0% 14 34,1% 7,4% So sánh hai bảng tổng hợp kết kiểm tra , ta thấy triển khai đề tài kết học tập học sinh có tiến *Năm học : 2016- 2017 tơi thử nghiệm đơn vị lớp 11A1 11A2 Kết kiểm tra kiến thức chưa triển khai đề tài: Giỏ Khá Trung bình Yếu i Lớp/ Năm học Sĩ số S TL SL TL% SL TL% SL TL% L % 2016-2017 11A1=38 0% 18,4% 24 63,2% 18,4% 11A2=40 0% 15,0% 29 72,5% 12,5% 25 download by : skknchat@gmail.com Kết kiểm tra kiến thức triển khai đề tài đến hai đơn vị lớp 11A1, 11A2: Giỏi Khá Trung bình Yếu Lớp/ Năm học S TL% SL TL% SL TL% SL TL Sĩ số L % 2016-2017 11A1=38 21,1% 20 53,9% 10 25,0% 0% 11A2=40 17,5% 20 50,0% 13 32,5% 0% So sánh hai bảng tổng hợp kết kiểm tra , ta thấy triển khai đề tài kết học tập học sinh có tiến Năm học : 2017- 2018 thử nghiệm đơn vị lớp 11B1, 11B2 Khi chưa triển khai đề tài, kiểm tra kiến thức chứng minh đẳng thức có vận dụng cơng thức nhị thức Niutơn vào giải toán ,kết sau: Giỏi Khá Trung bình Yếu Lớp/ Năm học Sĩ số SL TL% SL TL% SL TL% SL TL% 2017-2018 B1= 33 0% 13,2% 24 71,0% 15,8% B2= 42 0% 16,6% 29 69,1% 14,3% Từ thực trạng đó, sở sử dụng cơng thức nhị thức Niutơn SGK đại số & giải tích 11 trình bày thực số phép toán mà “khai triển” nên hệ thống tập, Từ giúp người dạy định hướng phương pháp giải cụ thể lô gic, giúp người học phát triển tư sáng tạo, rễ tiếp thu khắc sâu kiến thức trọng tâm Hiệu kết học tập giảng dạy 3.Giải pháp tổ chức thực 3.1Dạng 1: Sử dụng trực tiếp khai triển nhị thức Niu tơn: (1) Nhận xét: -Số hạng tổng quát (SHTQ) theo cơng thức (CT) (1) là: Bài tốn 1.Chứng minh: Giải: *)Theo công thức nhị thức Niutơn : với (*) (1) +SHTQ theo khai triển (1): *) với (*) +SHTQ theo khai triển (*): Suy : a = 1, b = 1, thay vào CT(1): Vậy(*) chứng minh 26 download by : skknchat@gmail.com Kết luận: -Giáo viên không phụ thuộc vào việc tìm tập tương tự tài liệu,mà chủ động xây dựng hệ thống tập tương tự tốn 1, cách từ cơng thức (1) cho a, b giá trị cụ thể Chẳng hạn từ công thức (1) cho a, b giá trị cụ thể ta có lớp tốn sau: + Với a=1, b=1 ta có: Bài tốn1 CMR : + Với a=1, b=-1 ta có : Bài toán CMR : + Với a=1, b= , , ta có: , Bài tốn CMR : +Với a=1, b= ta có: Bài tốn CMR : +Với a=2, b= , ta có : Bài tốn CMR : , +Với a=2, b=1 ,ta có: Vì (a+b)n =(2+1)n = (1+2)n = 3n => Bài toán CMR : , (hoặc CMR: , ) -Đề xuất phương pháp giải hệ thống tập nói Căn vào dạng tập, có tổng số hạng mà có số hạng tổng qt (SHTQ) ta áp dụng khai triển nhị thức Niutơn để giải tốn ,cụ thể sau: Bước Tìm SHTQ khai triển cần chứng minh( Các thông số thay đổi ta viết theo bk.) Bước So sánh SHTQ khai triển cần chứng minh với SHTQ theo CT(1) là: Ta tìm a là: số hạng có mũ (n-k) , (Lưu ý:Khả ngụy trang a=1) tìm b là:số hạng có mũ (k) Giải toán CMR : , (**) 27 download by : skknchat@gmail.com *)Theo công thức nhị thức Niutơn : (1) +SHTQ theo khai triển (1): *) với (**) +SHTQ theo khai triển (**): So sánh SHTQ suy : a = 1, b = , thay vào CT(1): Vậy(**) chứng minh Lưu ý: Các toán 2,3,5,6 giải tương tự 3.2Dạng 2: Xuất phát từ khai triển nhị thức Niu tơn với a = a, b = x , (2) 3.2.1.Hớng 1: Lấy đạo hàm vế (2) (một nhiều lần) cho a, x giá trị cụ thể +Ly o hm cp cụng thức (2) ta có kết cơng thức: , / (2 ) + Lấy đạo hàm cấp công thức (2) ta có kết quản cơng thức: , // (2 ) Bài tốn 7.Chứng minh: Giải: *)Cơng thức nhị thức Niu tơn với a = a, b = x với (*) , (2) Lấy đạo hàm cấp cơng thức (2) ta có kết cơng thức: , / (2 ) +SHTQ theo CT(2/) *) +SHTQ theo CT(*): với (*) 28 download by : skknchat@gmail.com So sánh SHTQ suy : a = 1, x = -1, thay vào CT(2/) : = Vậy (*) chứng minh Kết luận: -Giáo viên không phụ thuộc vào việc tìm tập tương tự tài liệu,mà chủ động xây dựng hệ thống tập tương tự tốn 7, cách từ cơng thức (2/) ,(2//) cho a, x giá trị cụ thể Chẳng hạn từ công thức (2/) ,(2//) cho a, x giá trị cụ thể ta có lớp tốn sau: + Với a = 1, x=-1 thay vào (2’), (2’’) ta có tốn: Bài tốn 7.CMR: , Bài toán 8.CMR: , + Với a= 1,x=2 thay vào (2’) (2’’) ta có tốn: Bài tốn 9.CMR: , Bài toán 10.CMR: , -Đề xuất phương pháp giải hệ thống tập nói Căn vào dạng tập, có tổng số hạng mà có số hạng tổng quát (SHTQ) ( hệ số tổ hợp tích số tự nhiên, )thì ta tính đạo hàm cấp 1, cấp công thức nhị thức Niu tơn với a= a, b= x áp dụng SHTQ CT (2/) ,CT(2//) để giải tốn ,cụ thể sau: Bước Tìm SHTQ khai triển cần chứng minh( Các thông số thay đổi ta viết theo bk.) Bước So sánh SHTQ khai triển với SHTQ theo CT(2/) hoặc(2//) +Nếu SHTQ ( SHTQ có k ) lấy đạo hàm cấp CT(2) Ta tìm a số hạng có số mũ ( n- k) x số hạng có số mũ ( k-1) +Nếu SHTQ ( SHTQ có k(k-1) ) lấy đạo hàm cấp CT(2) Ta tìm a số hạng có số mũ ( n- k) x số hạng có số mũ ( k-2) Giải tốn 10: CMR: , (*) *)Công thức nhị thức Niu tơn với a = a, b = x là: : (2) 29 download by : skknchat@gmail.com Lấy đạo hàm cấp công thức (2) ta có kết cơng thức: , // (2 ) +SHTQ theo CT(2//) *) , +SHTQ: So sánh SHTQ suy : a = 1, x = 2, thay vào CT(2//) đẳng thức(*) Vậy (*) chứng minh (*) Lưu ý: Các toán 7,8,9 giải tương tự 3.2.2.Hướng 2: Lấy tích phân vế CT(2) cận từ đến x: , (2) (3) Bài tốn 11: CMR : (*) Giải: *) Lấy tích phân vế CT(2) cận từ đến x, ta có CT(3) +SHTQ theo CT(3) *) : (*) +SHTQ theo CT(*) So sánh SHTQ suy : a = 1, x = 1, thay vào CT(3) đẳng thức(*) Vậy (*) chứng minh Kết luận: -Giáo viên khơng phụ thuộc vào việc tìm tập tương tự tài liệu,mà chủ động xây dựng hệ thống tập tương tự toán 11, cách từ công thức (3) cho a, x giá trị cụ thể Chẳng hạn từ công thức (3) cho a, x giá trị cụ thể ta có lớp toán sau: + Với a =1, x= ta có: 30 download by : skknchat@gmail.com Bài tốn 11: CMR : (*) + Với a =1, x= -1 ta có: Bài toán 12: CMR : = + Với a =2, x= ta có: Bài tốn 13: CMR : Lưu ý: Các toán 12,13 giải tương tự -Đề xuất phương pháp giải hệ thống tập nói Căn vào dạng tập, có tổng số hạng mà có số hạng tổng quát (SHTQ) theo CT(3) , ( SHTQ thường có chứa )thì ta lấy tích phân cơng thức ( 2) với cận từ đến x, áp dụng SHTQ CT (3) để giải tốn ,cụ thể sau: Bước Tìm SHTQ tổng cần chứng minh Bước So sánh SHTQ khai triển với SHTQ theo CT(3) ta tìm a x 3.3.Một số tập tham khảo Bài toán 14: CMR Bài toán 15: CMR : , , Bài toán16 CMR : , Bài toán17 CMR : , Bài toán18 CMR : , Bài toán19 CMR : , 31 download by : skknchat@gmail.com Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Trong năm học 2017 -2018 áp dụng đề tài giảng dạy bồi dưỡng đơn vị lớp 11B1 trường THPT Triệu Sơn 6, nhận thấy học lớp 11B1 học sôi ,hứng thú học đơn vị lớp 11B2 ( lớp 11B2 chữa tập SGK11, SBT 11) Trong học lớp 11B1 chủ động làm tập, nắm bắt cơng thức, định hướng lời giải ,có tư sáng tạo, biết đề xuất xây dựng hệ thống tập tương tự , hiệu học nâng lên Kết kiểm tra học kì thi tập trung theo số báo danh, kết tổng hợp đa số học sinh lớp 11B1 làm câu 2) tốn chứng minh đẳng thức có vận dụng công thức nhị thức Niutơn đề thi, số lượng học sinh lớp 11B1 làm câu 2) nhiều hẳn so với số học sinh 11B2 làm câu 2) Năm học : 2017- 2018 khảo sát đơn vị lớp 11B1, 11B2,( lớp 11B1 triển khai đề tài; Lớp 11B2 không triển khai đề tài).Kết khảo sát làm kiểm tra đơn vị lớp 11B1 ,11B2 với thời lượng 90 phút, số liệu tổng hợp sau: Giỏi Khá Trung bình Yếu Lớp/ Sĩ số SL TL% SL TL% SL TL% SL TL% 2017-2018 B1= 33 10 0% 13 39,4% 10 30,3% 0% B2= 42 0% 9,5% 27 64,3% 11 26.2% So sánh kết hai lần khảo sát ,kết phản ánh việc triển khai đề tài đến lớp học kết học tập tốt hơn, học sinh chủ động nghiêm túc làm tập hơn, làm trình bày rõ ràng khoa học Đó kết bước đầu khả quan SKKN Năm học Sáng kiến kinh nghiệm xây dựng dạng chuyên đề ,nên sinh hoạt chuyên mơn tổ nhiều thầy giáo góp ý đánh giá cao tính hiệu đề tài Qua đề tài giúp thân giáo viên tổ chuyên môn chủ động việc dạy học sinh tiếp cận, giúp giáo viên phán đoán định hướng phương pháp giải dựa sở khoa học, dễ nhận biết cụ thể hơn, bên cạnh giúp giáo viên xây dựng hệ thống tập từ mức độ khó đến dễ tuỳ vào lực học sinh mà khơng cần dùng đến tài liệu tham khảo III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Đề tài vào thực tiễn dạy học nhà trường, kết khảo sát phản ánh đạt hiệu tốt việc áp dụng đề tài, góp phần nâng chun mơn nghiệp vụ cho cán giáo viên , đồng thời nâng cao chất lượng giáo dục nhà trường Đề tài nội dung đổi phương pháp dạy học tích cực 32 download by : skknchat@gmail.com tổ chuyên môn hội đồng khoa học nhà trường đánh giá cao thực tiễn dạy học thầy trò Nội dung đề tài, q trình chứng minh ln thơng qua việc phân tích so sánh số hạng tổng quát khai triển để giải toán Đây vấn đề thú vị xin bạn đọc nghiên cứu, so sánh nhận dạng chìa khóa để giải tốn dạng Trong khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm triển khai hết vấn đề liên quan đến công thức nhị thức Niutơn Vì tơi xin đề xuất hướng phát triển thêm đề tài, thay giá trị a, b,x khai triển cộng trừ khai triển với ta có lớp tập sinh động khó Trong mục 3.2.2, ta thay cận a,b ta có lớp tốn trơng phức tạp song phương án giải đơn giản Đó lí đề tài mà không nêu thêm lớp tập, hy vọng bạn tự nêu tập theo phương án đề xuất Trên kinh nghiệm thực tế mà thân giảng dạy nhiều năm rút cho thân bước đầu áp dụng có kết khả quan Tri thức tập hợp vô hạn, truyền thụ kiến thức lĩnh hội tri thức việc không đơn giản Điều quan trọng người thầy phải ln trăn trở làm để kích thích tư tính sáng tạo tinh thần tự học, tự nghiên cứu, tìm tịi để nâng cao kiến thức cho học sinh qua nâng cao nghiệp vụ chun mơn cho thân Do kinh nghiệm chưa nhiều nên đề tài không tránh hạn chế, tiếp tục bổ sung hoàn thiện dần Rất mong nhận đóng góp ý kiến quý vị bạn đồng nghiệp để đề tài vào thực tiễn áp dụng nhiều đạt hiệu cao giảng dạy Kiến nghị 2.1) Đối với sở GD&ĐT Thanh Hóa Tổng hợp sáng kiến có chất lượng, hiệu thực tiễn, Đánh giá xây dựng thành chuyên đề triển khai đến tổ chuyên môn nhà trường học tập , nghiên cứu ,rút kinh nghiệm thành tài liệu chung công tác giảng dạy học tập 2.2) Đối với trường phổ thông Ban giám hiệu nhà trường cần thành lập hội đồng khoa học nhà trường ,có hội thảo khoa học ,đánh giá xếp loại đề tài xác ,khách quan ,động viên khen thưởng kịp thời Tạo điều kiện để thầy có điều kiện tự học, tự bồi dưỡng để nâng cao lực chuyên môn nghiệp vụ, kiên trì, tích cực đổi 33 download by : skknchat@gmail.com phương pháp giảng dạy nhằm phát huy tốt lực tự học trò lực dạy học người thầy Thanh Hóa, ngày 25 tháng năm 2018 XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Hiệu trưởng Tơi xin cam đoan SKKN viết không chép nội dung người khác Người viết ĐỒN NGỌC THANH TRẦN CƠNG TUẤN TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa Đại số giải tích lớp 11 chuẩn nâng cao Bộ giáo dục đào tạo Đề thi đại học, cao đẳng mơn Tốn Bộ giáo dục đào tạo Đề thi thử đại học số trường THPT Triệu Sơn 1- Triệu Sơn 4Triệu Sơn 5- Triệu Sơn số trường toàn quốc năm năm 2014 - 2015 , 2015 – 2016, 2016-2017,2017-2018 Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi số trường tỉnh, tỉnh năm 2015 - 2016.,2016-2017,2017-2018 Tạp chí tốn học tuổi trẻ 34 download by : skknchat@gmail.com ... : skknchat@gmail.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: VẬN DỤNG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NIUTƠN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VÀ PHÁT TRIỂN HỆ THỐNG BÀI TẬP... nhà trường yêu cầu cần thiết, với kiến thức tích luỹ thân tơi chọn đề tài ? ?Vận dụng khai triển nhị thức Niutơn chứng minh đẳng thức phát triển hệ thống tập? ?? thú vị Qua giúp người dạy định hướng... toán chứng minh đẳng thức xuất phát từ khai thác khai triển nhị thức Niutơn , chủ động xây dựng hệ thống thành dạng tập giảng dạy cho học sinh Hướng dẫn học sinh định hướng giải tập chứng minh