II Nội dung sỏng kiến kinh nghiệm
2. Thực trạng của vấn đề.
Học sinh trong nhà trường phần lớn là học sinh cú học lực trung bỡnh, tỉ lệ học sinh cú học lực khỏ giỏi là khụng nhiều. Nhiệm vụ của tổ nhúm chuyờn mụn phải tổ chức đỏnh giỏ xếp loại năng lực học sinh ,nhúm chuyờn mụn phải xõy dựng kế hoạch bồi dưỡng phụ đạo theo nhúm học sinh cú học lực khỏc nhau. Trong cỏc buổi thảo luận về chuyờn mụn xõy dựng phương phỏp dạy học cho nhúm đối tượng học sinh khỏ giỏi, đó cú nhiều ý kiến trao đổi giảng dạy cho học sinh phần chứng minh đẳng thức trong khai triển nhị thức Niutơn, đõy là nội dung khú đối với học sinh trong nhà trường và cũng khụng đơn giản đối với giỏo viờn.
Là một nội dung khú và thời lượng trong chương trỡnh khụng nhiều, học sinh và giỏo viờn ớt va chạm, giỏo viờn khụng biết cỏch tổng hợp, khỏi quỏt bản chất của cỏc dạng toỏn sẽ khú định hướng được phương phỏp giải toỏn cho học sinh. Tuy nhiờn nếu giỏo viờn nắm bắt chắc cụng thức nhị thức Niu tơn, phương ỏn triển khai nhị thức Niu tơn thỡ việc giải quyết cỏc bài toỏn chứng minh đẳng thức trong khai triển nhị thức Niutơn sẽ đơn giản và dễ hiểu đối với học sinh.
* Năm học : 2015- 2016 tụi thử nghiệm trờn 2 đơn vị lớp 11C1 và 11C2. Kết quả kiểm tra kiến thức khi chưa triển khai đề tài:
Năm học Lớp/ Sĩ số GiỏiSL TL% SL KhỏTL% Trung bỡnhSL TL% YếuSL TL%
2015-2016 C1= 37 1 2,7% 4 10,8% 25 67,6% 7 18,9%
C2= 41 2 4,9% 6 14,6% 28 68,3% 5 12,2%
Kết quả kiểm tra kiến thức khi triển khai đề tài đến cả hai đơn vị lớp 11C1, 11C2:
Năm học Lớp/ Sĩ số GiỏiSL TL% KhỏSL TL% Trung bỡnhSL TL% YếuSL TL%
2015-2016 C1= 37 5 13,5% 14 37,8% 15 40,5% 3 8,2%
C2= 41 8 19,5% 16 39,0% 14 34,1% 3 7,4%
So sỏnh hai bảng tổng hợp kết quả kiểm tra , ta thấy khi triển khai đề tài thỡ kết quả học tập của học sinh cú tiến bộ .
*Năm học : 2016- 2017 tụi thử nghiệm trờn 2 đơn vị lớp 11A1 và 11A2. Kết quả kiểm tra kiến thức khi chưa triển khai đề tài:
Năm học Lớp/ Sĩ số Giỏ i Khỏ Trung bỡnh Yếu S L TL % SL TL% SL TL% SL TL% 2016-2017 11A1=38 0 0% 7 18,4% 24 63,2% 7 18,4% 11A2=40 0 0% 6 15,0% 29 72,5% 5 12,5% 25 download by : skknchat@gmail.com
Kết quả kiểm tra kiến thức khi triển khai đề tài đến cả hai đơn vị lớp 11A1, 11A2:
Năm học Lớp/ Sĩ số
Giỏi Khỏ Trung bỡnh Yếu S L TL% SL TL% SL TL% SL TL % 2016-2017 11A1=38 8 21,1% 20 53,9% 10 25,0% 0% 11A2=40 7 17,5% 20 50,0% 13 32,5% 0%
So sỏnh hai bảng tổng hợp kết quả kiểm tra , ta thấy khi triển khai đề tài thỡ kết quả học tập của học sinh cú tiến bộ .
Năm học : 2017- 2018 tụi thử nghiệm trờn 2 đơn vị lớp 11B1, 11B2.
Khi chưa triển khai đề tài, kiểm tra kiến thức chứng minh cỏc đẳng thức cú vận dụng cụng thức nhị thức Niutơn vào giải toỏn ,kết quả như sau:
Năm học Lớp/ Sĩ số GiỏiSL TL% SL KhỏTL% Trung bỡnhSL TL% YếuSL TL%
2017-2018 B1= 33 0 0% 5 13,2% 24 71,0% 4 15,8%
B2= 42 0 0% 7 16,6% 29 69,1% 6 14,3%
Từ thực trạng đú, trờn cơ sở sử dụng cụng thức nhị thức Niutơn SGK đại số & giải tớch 11 đó trỡnh bày và thực hiện một số phộp toỏn mà “khai triển” nờn hệ thống cỏc bài tập, Từ đú giỳp người dạy định hướng được phương phỏp giải cụ thể lụ gic, giỳp người học phỏt triển tư duy sỏng tạo, rễ tiếp thu khắc sõu được kiến thức trọng tõm .Hiệu quả hơn trong kết quả học tập và giảng dạy.
3.Giải phỏp và tổ chức thực hiện .
3.1Dạng 1: Sử dụng trực tiếp khai triển nhị thức Niu tơn:
(1)
Nhận xột:
-Số hạng tổng quỏt (SHTQ) theo cụng thức (CT) (1) là:
Bài toỏn 1.Chứng minh: với (*)
Giải:
*)Theo cụng thức nhị thức Niutơn :
(1) +SHTQ theo khai triển (1):
*) với (*)
+SHTQ theo khai triển (*):
Suy ra : a = 1, b = 1, thay vào CT(1): Vậy(*) được chứng minh.
26 download by : skknchat@gmail.com
Kết luận:
-Giỏo viờn khụng phụ thuộc vào việc tỡm bài tập tương tự trong cỏc tài
liệu,mà chủ động xõy dựng hệ thống bài tập tương tự bài toỏn 1, bằng cỏch từ cụng thức (1) cho a, b cỏc giỏ trị cụ thể .
Chẳng hạn từ cụng thức (1) cho a, b cỏc giỏ trị cụ thể ta cú lớp cỏc bài toỏn sau: + Với a=1, b=1 ta cú: Bài toỏn1. CMR : , + Với a=1, b=-1 ta cú : Bài toỏn 2. CMR : , . + Với a=1, b= ta cú: Bài toỏn 3. CMR : , . +Với a=1, b= ta cú: Bài toỏn 4. CMR : , . +Với a=2, b= ta cú : Bài toỏn 5. CMR : , .
+Với a=2, b=1 ,ta cú: Vỡ (a+b)n =(2+1)n = (1+2)n = 3n
. => Bài toỏn 6. CMR : ,
(hoặc CMR: , ).
-Đề xuất phương phỏp giải hệ thống cỏc bài tập núi trờn.
Căn cứ vào dạng bài tập, cú tổng cỏc số hạng mà cú số hạng tổng quỏt (SHTQ) thỡ ta ỏp dụng khai triển nhị thức Niutơn để giải
toỏn ,cụ thể như sau: Bước 1. Tỡm SHTQ của khai triển cần chứng minh( Cỏc thụng số thay đổi ta viết theo bk.)
Bước 2. So sỏnh SHTQ của khai triển cần chứng minh với SHTQ theo CT(1) là: Ta tỡm được a là: số hạng cú mũ là (n-k) , (Lưu ý:Khả năng ngụy trang khi a=1) và tỡm được b là:số hạng cú mũ là (k) .
Giải bài toỏn 4. CMR : , (**)
27 download by : skknchat@gmail.com
*)Theo cụng thức nhị thức Niutơn :
(1) +SHTQ theo khai triển (1):
*) với (**)
+SHTQ theo khai triển (**):
So sỏnh SHTQ suy ra : a = 1, b = , thay vào CT(1):
Vậy(**) được chứng minh.
Lưu ý: Cỏc bài toỏn 2,3,5,6 giải tương tự.
3.2Dạng 2: Xuất phỏt từ khai triển nhị thức Niu tơn với a = a, b = x.
, (2)
3.2.1.Hớng 1:
Lấy đạo hàm 2 vế của (2) (một hoặc nhiều lần) rồi cho a, x các giá trị cụ thể.
+Lấy đạo hàm cấp 1 cụng thức (2) ta cú kết quả là cụng thức:
,
(2/)
+ Lấy đạo hàm cấp 2 cụng thức (2) ta cú kết quản là cụng thức:
, (2//)
Bài toỏn 7.Chứng minh: với (*)
Giải:
*)Cụng thức nhị thức Niu tơn với a = a, b = x
, (2)
Lấy đạo hàm cấp 1 cụng thức (2) ta cú kết quả là cụng thức:
, (2/) +SHTQ theo CT(2/) *) với (*) +SHTQ theo CT(*): 28 download by : skknchat@gmail.com
So sỏnh SHTQ suy ra : a = 1, x = -1, thay vào CT(2/) :
= . Vậy (*) được chứng minh.
Kết luận:
-Giỏo viờn khụng phụ thuộc vào việc tỡm bài tập tương tự trong cỏc tài liệu,mà chủ động xõy dựng hệ thống bài tập tương tự bài toỏn 7, bằng cỏch từ cụng thức (2/) ,(2//) cho a, x cỏc giỏ trị cụ thể .
Chẳng hạn từ cụng thức (2/) ,(2//) cho a, x cỏc giỏ trị cụ thể ta cú lớp cỏc bài toỏn sau:
+ Với a = 1, x=-1 thay vào (2’), (2’’) lần lượt ta cú bài toỏn:
Bài toỏn 7.CMR: ,
Bài toỏn 8.CMR: ,
+ Với a= 1,x=2 thay vào (2’) (2’’) lần lượt ta cú bài toỏn:
Bài toỏn 9.CMR: ,
Bài toỏn 10.CMR: ,
-Đề xuất phương phỏp giải hệ thống cỏc bài tập núi trờn.
Căn cứ vào dạng bài tập, cú tổng cỏc số hạng mà cú số hạng tổng quỏt
(SHTQ) là hoặc ( hệ số của tổ hợp là
tớch của cỏc số tự nhiờn,..)thỡ ta tớnh đạo hàm cấp 1, hoặc cấp 2 cụng thức nhị thức Niu tơn với a= a, b= x ỏp dụng SHTQ trong CT (2/) ,CT(2//) để giải
toỏn ,cụ thể như sau: Bước 1. Tỡm SHTQ của khai triển cần chứng minh( Cỏc thụng số thay đổi ta viết theo bk.)
Bước 2. So sỏnh SHTQ của khai triển với SHTQ theo CT(2/) hoặc(2//).
+Nếu SHTQ ( trong SHTQ cú k ) thỡ lấy đạo hàm cấp 1 CT(2) Ta tỡm được a là số hạng cú số mũ ( n- k) và x là số hạng cú số mũ là ( k-1) +Nếu SHTQ ( trong SHTQ cú k(k-1) ) thỡ lấy đạo hàm cấp 2 CT(2)
Ta tỡm được a là số hạng cú số mũ ( n- k) và x là số hạng cú số mũ là ( k-2)
Giải bài toỏn 10: CMR: ,
(*) *)Cụng thức nhị thức Niu tơn với a = a, b = x là: :
(2)
29 download by : skknchat@gmail.com
Lấy đạo hàm cấp 2 cụng thức (2) ta cú kết quả là cụng thức: , (2//) +SHTQ theo CT(2//) *) , (*) +SHTQ:
So sỏnh SHTQ suy ra : a = 1, x = 2, thay vào CT(2//) chớnh là đẳng thức(*) Vậy (*) được chứng minh.
Lưu ý: Cỏc bài toỏn 7,8,9 giải tương tự.
3.2.2.Hướng 2: Lấy tớch phõn 2 vế của CT(2) cận từ 0 đến x:
, (2) (3) Bài toỏn 11: CMR : (*) Giải: *)Lấy tớch phõn 2 vế của CT(2) cận từ 0 đến x, ta cú CT(3) +SHTQ theo CT(3) *) : (*) +SHTQ theo CT(*)
So sỏnh SHTQ suy ra : a = 1, x = 1, thay vào CT(3) chớnh là đẳng thức(*) Vậy (*) được chứng minh.
Kết luận:
-Giỏo viờn khụng phụ thuộc vào việc tỡm bài tập tương tự trong cỏc tài
liệu,mà chủ động xõy dựng hệ thống bài tập tương tự bài toỏn 11, bằng cỏch từ cụng thức (3) cho a, x cỏc giỏ trị cụ thể .
Chẳng hạn từ cụng thức (3) cho a, x cỏc giỏ trị cụ thể ta cú lớp cỏc bài toỏn sau: + Với a =1, x= 1 ta cú:
30 download by : skknchat@gmail.com
Bài toỏn 11: CMR : (*) + Với a =1, x= -1 ta cú: Bài toỏn 12: CMR : = + Với a =2, x= 1 ta cú: Bài toỏn 13: CMR :
Lưu ý: Cỏc bài toỏn 12,13 giải tương tự.
-Đề xuất phương phỏp giải hệ thống cỏc bài tập núi trờn.
Căn cứ vào dạng bài tập, cú tổng cỏc số hạng mà cú số hạng tổng quỏt (SHTQ) theo CT(3) là , ( trong SHTQ thường cú chứa )thỡ ta lấy tớch phõn cụng thức ( 2) với cận từ 0 đến x, ỏp dụng SHTQ trong CT (3) để giải toỏn ,cụ thể như sau: Bước 1. Tỡm SHTQ của tổng cần chứng minh
Bước 2. So sỏnh SHTQ của khai triển với SHTQ theo CT(3) ta tỡm được a và x.
3.3.Một số bài tập tham khảo. Bài toỏn 14: CMR , Bài toỏn 15: CMR : , . Bài toỏn16. CMR : , . Bài toỏn17. CMR : , Bài toỏn18. CMR : , Bài toỏn19. CMR : , 31 download by : skknchat@gmail.com