Sáng kiến kinh nghiệm THPT một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

Qua thực tế giảng dạy chương trình toán lớp 11 những năm qua, cũng như việc nghiên cứu nội dung thi học sinh giỏi các cấp, tôi nhận thấy một dạng toán khá cơ bản về dãy số là bài toán tìm số hạng tổng quát. Lý thuyết đại số và các bài toán về dãy số đã được đề cập hầu hết trong các giáo trình cơ bản của giải tích toán học.Các phương pháp tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi gần như là bài toán được đề cập tới đầu tiên.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO AN GIANG TRƯỜNG THPT VĨNH TRẠCH BÁO CÁO KẾT QUẢ THỰC HIỆN SÁNG KIẾN CẢI TIẾN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ Người viết: Lê Hồ Ngọc Toản Tổ: Tốn Lĩnh vực: Chun mơn Tốn Đơn vị công tác: Trường THPT Vĩnh Trạch An Giang – 2/2019 Sáng kiến cải tiến SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO AN GIANG TRƯỜNG:THPT VĨNH TRẠCH Trường THPT Vĩnh Trạch CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc An Giang, ngày 11 tháng năm 2019 BÁO CÁO Kết thực sáng kiến, cải tiến, giải pháp kỹ thuật, quản lý, tác nghiệp, ứng dụng tiến kỹ thuật nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng I- Sơ lược lý lịch tác giả: - Họ tên: LÊ HỒ NGỌC TOẢN Nam, nữ: Nam - Ngày tháng năm sinh: 10/02/1981 - Nơi thường trú: Vĩnh Thành, Châu Thành, An Giang - Đơn vị công tác: THPT Vĩnh Trạch - Chức vụ nay: - Lĩnh vực công tác: giáo viên giảng dạy mơn tốn II.- Sơ lược đặc điểm tình hình đơn vị: Nêu tóm tắt tình hình đơn vị, thuận lợi, khó khăn đơn vị việc thực nhiệm vụ Thuận lợi: - Được quan tâm đạo sâu sát Ban Giám Hiệu nhà trường công tác ôn tập học sinh giỏi Đặc biệt giai đoạn nay, việc tự nghiên cứu, tìm tịi học hỏi giáo viên ngày dễ dàng nhờ vào internet, sách báo, tư liệu - Đa số học sinh có ý thức tự học cao, tự nghiên cứu tìm tịi tài liệu - Nội dung “Một số phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số đề thi học sinh giỏi” quen thuộc, thú vị, đa dạng, khơi gợi hứng thú học sinh tham gia kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh, quốc gia Khó khăn: Đối với giáo viên: Đây lĩnh vực tương đối khó, địi hỏi giáo viện phải nghiên cứu kĩ, chuyên sâu GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019 Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch Đối với học sinh: Đây chun đề khó học sinh, địi hỏi phải hiểu kĩ nắm vững kiến thức; phải tự học nghiên cứu nhiều - Tên sáng kiến/đề tài giải pháp: “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ” - Lĩnh vực: môn toán Sáng kiến kinh nghiệm “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ ” quen thuộc, thú vị, gợi hứng thú học sinh tham gia kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh, quốc gia III- Mục đích yêu cầu đề tài, sáng kiến Thực trạng ban đầu trước áp dụng sáng kiến Các vấn đề liên quan tới dãy số phần quan trọng Đại số Giải tích tốn học Song khái niệm dãy số học sinh làm quen chương trình tốn lớp 11 phần mở đầu Giải tích tốn học Các dạng tốn liên quan tới nội dung sách giáo khoa mức độ mở đầu, Trong câu hỏi đề thi học sinh giỏi thường khó với em Qua thực tế giảng dạy chương trình toán lớp 11 năm qua, việc nghiên cứu nội dung thi học sinh giỏi cấp, nhận thấy dạng toán dãy số tốn tìm số hạng tổng qt Lý thuyết đại số toán dãy số đề cập hầu hết giáo trình giải tích tốn học.Các phương pháp tìm số hạng tổng quát dãy số cho hệ thức truy hồi gần toán đề cập tới Tuy nhiên với nhiều phương pháp khác tốn thực khơng phải dễ với học sinh Sự cần thiết phải áp dụng sáng kiến Dãy số lĩnh vực khó rộng, đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, quốc gia thường xuất toán dãy số Để giải toán dãy số địi hỏi người làm tốn phải có kiến thức tổng hợp số học, đại số, giải tích Các vấn đề liên quan đến dãy số đa dạng có nhiều tài liệu viết vấn đề này, tài liệu thường viết rộng vấn đề dãy số, vấn đề quan tâm nhiều tính chất số học tính chất giải tích dãy số Tính chất số học dãy số thể tính chia hết, tính nguyên, tính phương… , tính chất giải tích có nhiều dạng quan trọng biết cách xác định công thức dãy số Các toán dãy số thường tốn hay khó, thân sưu tầm, chọn lọc phân loại theo chủ đề GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019 Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch Nội dung sáng kiến 3.1 Tiến trình thực Đối với giáo viên: Bước 1: Nghiên cứu tài liệu, chọn lọc tài liệu Bước 2: Hệ thống dạng Bước 3: Hướng dẫn học sinh học dạng Bước 4: Hướng dẫn học sinh phân tích, mở rộng nhiều tốn khác từ dạng Đối với học sinh: Bước 1: Nghiên cứu tài liệu, nghe giáo viên hướng dẫn dạng Bước 2: Giải thành thạo dạng Bước 3: Phân tích, mở rộng sang tốn khác Bước 4: Tự rèn luyện qua đề thi 3.2 Thời gian thực Sáng kiến thực từ 8/2018 – 3/2019 3.3 Biện pháp tổ chức 3.3.1 Kiến thức 3.3.1.1 Phương pháp quy nạp toán học 3.3.1.2 Dãy số tăng, dãy số giảm dãy số bị chặn * Dãy số (un ) gọi dãy số tăng un un+1 , n * Dãy số (un ) gọi dãy số giảm un un+1 , n Vậy: Nếu un +1 − un 0, n * * * suy (un ) dãy số tăng Nếu un +1 − un 0, n * suy (un ) dãy số giảm * * Nếu tồn số M choun M , n (un ) bị chặn * * Nếu tồn số m cho un m , n (un ) bị chặn * Nếu dãy số (u n ) bị chặn bị chặn gọi dãy số bị chặn 3) Cấp số cộng * = u n + d với n , d số không đổi * Dãy số (un ) cấp số cộngu n +1 n gọi công sai cấp số cộng ( ) * Nếu dãy số u cấp số cộng u = u + ( n −1)d (1) * Nếu dãy số (un ) cấp số cộng tổng S = u1 + u + + u n = n (u1 + u n ) = n 2u1 + ( n −1)d n (2) n 2 4) Cấp số nhân * , q số khơng đổi gọi * Dãy số (un ) cấp số nhânun +1 = u n q với n công bội cấp số nhân n−1 (3) * Nếu dãy số (un ) cấp số nhân un = u1 q * Nếu dãy số (un ) cấp số nhân với q 1, q tổng GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019 Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch 1−q S n = u1 + u + + u n = u1 5) Một số đinh lí giới hạn - Nếu q lim q n = - Nếu q lim n =+ q - Nếu dãy số an bn cn , n n −q (4) lim an = lim cn = limbn = L L - Nếu dãy số (un ) tăng bị chặn (un ) có giới hạn Nếu dãy số (un * ) giảm bị chặn (un ) có giới hạn 3.3.2 Phương pháp xác định công thức số hạng tổng quát dãy số 3.3.2.1 Áp dụng cấp số cộng – cấp số nhân để xác định công thức tổng quát (CTTQ) số dãy đặc biệt Ví dụ 1.1 Xác định số hạng tổng quát dãy số (un ) xác định bởi: n u1 = 1, u n = u n−1 −2 Giải Ta thấy dãy số (un ) cấp số cộng (CSC) có công sai d = −2 Áp dụng công thức (1) Ta có: u n = − 2(n − 1) = −2n + Ví dụ 1.2 Xác định số hạng tổng quát dãy số (un ) xác định bởi: u = 3, u n = 2u n n −1 Giải Ta thấy dãy (u ) cấp số nhân (CSN) có cơng bội q = Ta có: u = 3.2n−1 n n Ví dụ 1.3 Xác định số hạng tởng qt dãy số (un ) xác định bởi: n u1 = −2, un = 3u n−1 − Giải Trong tốn gặp khó khăn dãy (un ) khơng phải CSC hay CSN! Ta thấy dãy (un ) khơng phải CSN xuất số −1 vế trái Ta tìm cách làm −1 chuyển dãy số CSN Ta có −1 = − un − + nên ta viết công thức truy hồi dãy sau: = 3un −1 − 2 =3 u n−1 − (1) − v = − v = 3v n Dãy ( v ) dãy CSN công bội q = n −1 n n n n−1 2 = v qn −1 = − 3n−1 Vậy u = + = − 3n + n = 1, 2, n v n 2 2 Đặt v = u v n GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019 Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch Nhận xét: Mấu chốt cách làm ta phân tích −1 = − + để chuyển công thức truy 2 hồi dãy (1), từ ta đặt dãy phụ để chuyển dãy ( ) CSN Tuy nhiên khơng tự nhiên Làm để phân tích −1 = − + ? Ta làm sau: 2 Ta phân tích −1 = k − 3kk = Với cách làm ta xác định CTTQ dãy u =x ( n): u n = au n−1 + u b n Thật vậy: * Nếu a = dãy ( n ) CSC có cơng sai d = b nên un = u1 + ( n −1)b u ab − b Khi cơng thức truy hồi dãy viết sau: * Nếu a viết a − a −1 b= n−1 b b b b = a u n−1 + =a un + , suy ra: u n + u1 + a−1 a−1 a −1 a −1 Hay u n = u1a n −1 +b a ( n−1 ) −1 a −1 Từ ta suy dạng sau Dạng 1: Dãy số (un ) : u1 = x0 ,u n = au n−1 + b n ( a , b u+(n− 1)b un = u a ) có CTTQ a = 1 un = * n −1 + b (a n −1 −1 ) a a −1 Ví dụ 1.4 Xác định CTTQ dãy (un ) xác định: u1= 2;un = 2u n−1 + 3n −1 Giải Để tìm CTTQ dãy số ta tìm cách làm 3n −1 để chuyển dãy số CSN Ta có 3n − = −3n − + 23( n − 1) + (2) Khi cơng thức truy hồi dãy: u + 3n + = u n + 3( n − 1) + n Đặt v = u n n + 3n + , ta có: v = 10 v = 2v n n−1 n n = v 2n v n −1 Vậy CTTQ dãy ( n ) : un − 3n − n =1, 2, = − 3n − = 5.2 u Chú ý: 1/ Để phân tích đẳng thức (2) ta sau: 3n − = an + b − a ( n − 1) + b Cho n = 1; n = ta có đa xá sau thức c bậc địn u1 = au n−1 + k h 2/ Trong trường hợp tổng quát dãy (un ) : theo CT u n , TQ n ta nh =10.2n−1 a − b −b = =2 n a = −3 b = −5 f (n ) f ( n) GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019 Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch Phân tích f ( n) = g ( n) − ag ( n −1) (3) với g ( n) đa thức theo n Khi ta có u − g ( n ) = a u − g ( n − 1) = = a n−1 u − g(1) n n−1 Vây ta có u n = u1 − g (1) n−1 + g ( n) a Vấn đề lại ta xác định g ( n) nào? Ta thấy: * Nếu a =1 g ( n) − ag ( n −1) đa thức có bậc nhỏ bậc g ( n) bậc không phụ thuộc vào hệ số tự g ( n) , mà f ( n) đa thức bậc k nên để có (3) ta chọn g ( n) đa thức bậc k +1 , có hệ số tự khơng để xác định g ( n) đẳng thức (3) ta cho k +1 giá trị n ta hệ k +1 phương trình, giải hệ ta tìm hệ số g ( n) * Nếu a g ( n) − ag ( n −1) đa thức bậc với g ( n) nên ta chọn g n) đa thức bậc k đẳng thức (3) ta cho k +1 giá trị n ta ( xác định g ( n) Vậy ta có kết sau Dạng 2: Để xác định CTTQ sãy (un ) u = x0 , u n = a.u n−1 + f (n) xác định đó f ( n) đa thức bậc k theo n ; a số Ta làm sau: Phân tích: f ( n) = g ( n) − a.g ( n −1) với g ( n) đa thức theo = u n − g ( n) ta có: u n = u1 − g (1) a n−1 + g ( n) n Khi đó, ta đặt Lưu ý: a =1, ta chọn g ( n) đa thức bậc k +1 có hệ số tự , cịn a ta chọn g ( n) đa thức bậc k u =2 Ví dụ 1.5 Cho dãy số (un ) : un = u n−1 + 2n +1 Tìm CTTQ dãy (un ) Giải Ta có n + = g ( n ) − g ( n − 1) = a n − ( n − 1) + b n − ( n −1) (trong g ( n ) = an + bn ) Cho n = 0, n = ta có hệ: − a + b = a+ b = = n u a = g (n ) = n + 2n b =2 + 2n −1 n Ví dụ 1.6 Cho dãy số (un ) : u u n =1 Tìm CTTQ dãy (un ) = 3u n−1 + n ; n = 2, 3, Giải n−1 Tương tự ví dụ trên, ta có: 2n = a.2n −3a.2 Cho n =1, ta có: a = −2 Nên 2n = −2.2n + 3.2.2n−1 + 2.2 n −1 ) = = 3n−1 (u1 + 4) n ta có u n + 2.2 = (u n−1 Vậy un = 5.3n −1 − 2n+1 Chú ý: Trong trường hợp tổng quát dãy (un ) : un = a.un−1 + b n , GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019 ... tài giải pháp: “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ” - Lĩnh vực: môn toán Sáng kiến kinh nghiệm “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ ” quen thuộc,... hạn Nếu dãy số (un * ) giảm bị chặn (un ) có giới hạn 3.3.2 Phương pháp xác định công thức số hạng tổng quát dãy số 3.3.2.1 Áp dụng cấp số cộng – cấp số nhân để xác định công thức tổng quát (CTTQ)... thực Sáng kiến thực từ 8/2018 – 3/2019 3.3 Biện pháp tổ chức 3.3.1 Kiến thức 3.3.1.1 Phương pháp quy nạp toán học 3.3.1.2 Dãy số tăng, dãy số giảm dãy số bị chặn * Dãy số (un ) gọi dãy số tăng