Đang tải... (xem toàn văn)
Bài 6 Cung chứa góc A Lý thuyết 1 Quỹ tích cung chứa góc Với đoạn thẳng AB và góc α (0 < α < 180°) cho trước thì quỹ tích các điểm M thoả mãn AMB là hai cung chứa góc α dựng trên đoạn AB Lưu ý Hai[.]
Bài Cung chứa góc A Lý thuyết Quỹ tích cung chứa góc Với đoạn thẳng AB góc α (0 < α < 180°) cho trước quỹ tích điểm M thoả mãn AMB hai cung chứa góc α dựng đoạn AB Lưu ý: - Hai cung chứa góc α nói hai cung tròn đối xứng qua AB - Hai điểm A, B coi thuộc quỹ tích - Quỹ tích điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước góc vng đường trịn đường kính AB Cách vẽ cung chứa góc α – Vẽ đường trung trực d đoạn thẳng AB – Vẽ tia Ax cho BAx – Vẽ đường thẳng Ay vng góc với Ax Gọi O giao điểm Ay với d – Vẽ cung AmB, tâm O, bán kính OA cho cung nằm nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax - AmB vẽ cung chứa góc α Ta có hình vẽ: Cách giải tốn quỹ tích Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) điểm M thoả mãn tính chất T hình H đó, ta phải chứng minh hai phần: – Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T thuộc hình H – Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H có tính chất T – Kết luận: Quỹ tích điểm M có tính chất T hình H Ví dụ Cho góc xOy cố định điểm A cố định nằm tia Ox B điểm chuyển động tia Oy Tìm tập hợp trung điểm M AB Lời giải: - Phần thuận: + Xét tam giác vng OAB có OM = MA = MB Nên ∆OAM cân M Mà OA cố định suy M nằm đường trung trực đoạn thẳng OA - Phần đảo: Lấy M thuộc tia M1z, AM cắt Oy B Suy MO = MA MAO MOA Mặt khác OBM BOM (cùng phụ với góc MAO MOA ) MO = MB Suy MO = MA = MB Hay M trung điểm AB - Kết luận: Tập hợp trung điểm M AB đường trung trực đoạn OA B Bài tập tự luyện Bài Cho góc vng xOy, tia Ox lấy điểm A cố định, B điểm chuyển động tia Oy Tìm tập hợp điểm C cho ABC vuông cân C Lời giải: - Phần thuận: Vẽ CH Ox (H Ox) CK Oy (K Oy) Xét ∆CAH vuông H ∆CBK vng K có: CA = CB (vì ABC vng cân C) CAH CBK Do CAH = CBK (cạnh huyền – góc nhọn) Suy CH = CK (hai cạnh tương ứng) Mà xOy cố định Do C thuộc tia phân giác Oz góc vng xOy - Phần đảo: Lấy điểm C thuộc tia C’z Vẽ đường thẳng vng góc CA C cắt tia Oy B Vẽ CH Ox (H Ox) CK Oy (K Oy) Ta có CH = CK KHC 90o Xét ∆CAH vuông H ∆CBK vuông K có: CH = CK CAH CBK Nên CAH = CBK (cạnh góc vng – góc nhọn kề) Suy CA = CB (hai cạnh tương ứng) Do ABC vng cân C - Kết luận: Tập hợp điểm C tia C’z tia phân giác Oz góc xOy Bài Cho hình bình hành ABCD có cạnh AB cố định cạnh CD chuyển động đường thẳng d song song với AB Gọi I trung điểm CD Tia AI cắt BC N Tìm quỹ tích điểm N CD thay đổi đường thẳng d Lời giải: - Phần thuận: Gọi khoảng cánh đường thẳng AB đường thẳng d h khơng đổi Vì ABCD hình bình hành nên BC // AD hay CN // AD Suy IDA ICN (hai góc so le trong) Xét ∆IAD ∆INC có: AID CIN (đối đỉnh) ID = IC (vì I trung điểm CD) IDA ICN (cmt) Do IAD = INC (g.c.g) Suy CN = AD (hai cạnh tương ứng) Mà AD = BC (vì tứ giác ABCD hình bình hành) Do CN = AD = BC Kẻ NH AB , NH cắt đường thẳng d K ∆NBH có CB = CN CK // BH nên suy KH = KN Từ ta HN = 2KH = 2h không đổi Khi CD chuyển động đường thẳng d với vị trí CD, điểm N cách đường thẳng AB khoảng 2h không đổi Vậy điểm N thuộc đường thẳng d’ song song với đường thẳng AB cách đường thẳng AB khoảng 2h không đổi - Phần đảo: Lấy điểm N đường thẳng d’ Đường thẳng AN cắt đường thẳng d I, đường thẳng NB cắt đường thẳng d C Lấy điểm D đối xứng với C qua điểm I Ta cần chứng minh tứ giác ABCD hình bình hành I trung điểm CD Thật vậy, Kẻ NH AB , NH cắt đường thẳng d K Ta có K trung điểm HN Do ∆HNB C trung điểm NB Trong ∆NAB có C trung điểm BN IC // AB Nên IC đường trung bình Từ ta IC AB Vì D đối xứng với C qua I nên ta ID = IC AB Do AB = CD Mà AB // CD nên tứ giác ABCD hình bình hành I trung điểm CD - Kết luận: Vậy quỹ tích điểm N đường thẳng d’ song song với đường thẳng AB cách đường thẳng AB khoảng 2h không đổi Bài Cho đường tròn O; R cố định Lấy B, C hai điểm cố định đường tròn A điểm tuỳ ý đường tròn Gọi M điểm đối xứng điểm C qua trung điểm I AB Tìm quỹ tích điểm M Lời giải: - Phần thuận: Kẻ OO’// BC OO’ = BC (O’ B nửa mặt phẳng bờ AC) Do ta O’ cố định (vì O, B, C cố định BC không đổi) Xét tứ giác AMBC có: IA = IB (vì I trung điểm AB) IC = IM (vì điểm M đối xứng với B qua I) Do tứ giác AMBC hình bình hành Suy MA // BC MA = BC Mà OO’// BC OO’ = BC Do MA // OO’ MA = OO’ Từ ta tứ giác AMO’O hình bình hành Nên suy O’M = OA = R không đổi O’ cố định Do A di động M di động theo M ln cách O’ cố định khoảng không đổi O’M = OA = R Vậy M thuộc đường tròn tâm O’ bán kính OA = R - Phần đảo: Trên đường tròn O’; R lấy điểm M Nối MB Qua C kẻ đường thẳng song song với BM cắt đường tròn (O) điểm thứ hai A Ta dễ dàng chứng minh M đối xứng với C qua trung điểm I AB - Kết luận: Do A di động M di động theo M cách O’ cố định khoảng không đổi O’M = OA= R Vậy quỹ tích điểm M đường trịn tâm O’ bán kính OA = R ... đường thẳng vng góc CA C cắt tia Oy B Vẽ CH Ox (H Ox) CK Oy (K Oy) Ta có CH = CK KHC 90 o Xét ∆CAH vuông H ∆CBK vng K có: CH = CK CAH CBK Nên CAH = CBK (cạnh góc vng – góc nhọn