Đang tải... (xem toàn văn)
BÀI TẬP CUNG CHỨA GÓC I Phương pháp giải 1 Bài toán quỹ tích cung chứa góc a)Theo đoạn thẳng AB và góc (0 180 ) Tìm quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn AMB Những điểm M thỏa mãn điều ki[.]
BÀI TẬP CUNG CHỨA GÓC I Phương pháp giải Bài tốn quỹ tích cung chứa góc a)Theo đoạn thẳng AB góc ( 0 180 ) Tìm quỹ tích (tập hợp) điểm M thỏa mãn AMB Những điểm M thỏa mãn điều kiện hai cung chứa góc đối xứng qua đoạn thẳng AB Chú ý: * Hai cung chứa góc hai cung trịn đối xứng qua AB * Hai điểm A B coi thuộc quỹ tích b) Cách vẽ cung chứa góc - Vẽ đường trung trực đoạn thẳng AB - Vẽ tia Ax tạo AB góc - Vẽ đường thẳng Ay vng góc với Ax A Ay cắt trung trực AB O, O tâm cung chứa Cách giải tốn quỹ tích Muốn giải tốn quỹ tích ta phải giải qua hai phần: Phần thuận phần đảo * Phần thuận: Mọi điểm thỏa mãn yêu cầu đề thuộc hình H * Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H thỏa mãn điều kiện đề * Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) điểm thỏa mãn điều kiện đề hình H II Bài tập Bài 1: (44 /86 /SGK T2) Cho ABC vng A Có cạnh BC cố định Gọi I giao điểm ba đường phân giác Tìm quỹ tích điểm I A thay đổi Giải ABC vuông A (giả thiết) nên ABC ACB 90 (Theo định lí: Trong tam giác vng hai góc nhọn phụ nhau) Mà B1 C1 ABC (vì BI phân giác ABC ) ACB (vì CI tia phân giác ACB ) B1 C1 ABC ACB 90 45 2 BIC có IBC BIC ICB 180 (Theo định lí: Tổng ba góc tam giác 180 ) BIC 180 IBC ICB 180 45 135 Theo giả thiết cạnh BC cố định nên I nằm cung chứa góc 135 dựng đoạn BC cố định Bài 2: (45 /86 /SGK T2) Cho hình thoi ABCD có cạnh AB cố định Tìm quỹ tích giao điểm O hai đường chéo hình thoi Giải ABCD hình thoi (giả thiết) nên AC BD (hình thoi có hai đường chéo vng góc với nhau) AOB 90 Theo giả thiết AB cố định AOB 90 không đổi O ln ln nhìn AB cố định góc AOB 90 khơng đổi I nằm đường trịn đường kính AB cố định Do O chuyển động phía hình thoi nên I nằm nửa đường trịn đường kính AB Bài 3: (46/86/SGK T2) Dựng cung chứa góc 55 đoạn thẳng AB 3cm Giải - Dựng đoạn thẳng AB có độ dài 3cm - Dựng tia Ax tạo với AB góc có số đo 55 - Dựng đường thẳng m đường trung trực đoạn thẳng AB - Đường thẳng m cắt Ay O - Dựng cung trịn AnB có tâm O bán kính OA Cung trịn AnB chứa góc 55 dựng đoạn AB có độ dài 3cm cung phải dựng Bài 4: (47/86/SGK T2) Gọi cung chứa góc 55 146(46/86/SGK) cung AnB AnB Lấy điểm M1 nằm bên điểm M nằm bên ngồi đường trịn chứa cung cho M , M AnB nằm phía đường thẳng AB a) Chứng minh AM1B 55 b) Chứng minh AM B 55 Giải a) Trường hợp điểm M nằm (O) Gọi giao điểm AM1 (O) C AM1B có BM1C có góc ngồi đỉnh M nên: BM1 A M1CB M1BC (Theo định lí: Mỗi góc ngồi tam giác tổng hai góc khoảng kề với nó) Mà M1CB 55 (vì C nằm cung chứa góc 55 dựng đoạn AB) nên AM1B 55 M1BC hay AM1B 55 b) Trường hợp M nằm đường tròn (O) Gọi giao điểm BM (O) D ADM có ADB góc ngồi đỉnh D nên: ADB AM D OAM (Theo định lí: Mỗi góc ngồi tam giác tổng hai góc khơng kề với nó) Mà AOB 55 (vì D nằm cung chứa góc 55 dựng đoạn AB) 55 AM B DAM Hay 55 M Bài 5: (48/87/SGKT2) Có hai điểm A B cố định, từ A vẽ tiếp tuyến với đường tròn tâm B có bán kính khơng lớn AB Tìm quỹ tích tiếp điểm Giải Ta có AI tiếp tuyến đường tròn (B) nên IA BI AIB vuông I ( AIB 90 ) AB cố định (Do hai điểm A B cố định) Quỹ tích điểm I đường trịn đường kính AB khơng đổi Bài 6: (49/87/SGKT2) Dựng ABC , biết BC 6cm ; BAC 40 đường cao AH 4cm Giải Làm để dựng ABC có cạnh BC 6cm , góc BAC 40 đường cao AH 4cm ? Qua đề ta thấy ABC có đỉnh A nằm cung 40 dựng đoạn BC có độ dài 6cm A nằm cung chứa góc 40 dựng đoạn BC 6cm , A phải thỏa mãn yêu cầu thứ hai là: A cách BC khoảng 4cm A giao điểm đường thẳng mn song song với BC đường tròn (O) Từ suy cách dựng: - Dựng đoạn thẳng BC 6cm - Dựng tia Bx hợp với BC góc 40 - Dựng đường trung trực đoạn BC - Dựng tia By Bx , By trung trực BC O - Dựng đường tròn (O; OB) - Dựng đường thẳng mn / / BC cách BC khoảng 4cm - mn cắt (O; OB) A D ABC tam giác phải dựng Bài 7: (50/87/SGKT2) Cho đường trịn đường kính AB cố định, M điểm chạy đường tròn Trên tia đối tia MA lấy điểm I cho MI 2MB a) Chứng minh AIB không đổi b) Tìm tập hợp điểm I nói Giải Đường trịn (O) đường kính AB cố định GT M O MI 2MB * AIB không đổi KL * Tìm tập hợp điểm I Chứng minh a) Sử dụng kiến thức vào để chứng minh AIK có số đo khơng đổi M di động đường trịn (O) Theo đề MI ln lớn MB hai lần tỷ số cạnh đối cạnh kề MB MI AMB 90 (Theo hệ quả: Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng) BMI 90 BMI vuông M nên: tg AIB MB AIB 2634 Do MB MI có tỷ số khơng đổi nên số đo AIB MI có số đo khơng đổi b) Vì AB cố định, AIB khơng đổi 2634 nên ln ln nhìn AB cố định góc khơng đổi 2634 I nằm cung chứa góc 2634 dựng đoạn AB cố định Bài 8: (51/87/SGKT2) Cho I O tâm đường tròn nội tiếp ngoại tiếp ABC với BAC 60 Gọi H giao điểm đường cao BB CC Chứng minh điểm B, C, O, H, I thuộc đường tròn Giải (O) ngoại tiếp ABC GT (I) nội tiếp ABC ABC có BAC 60 BB AC; CC AB BB CC H KL B, O, I, H, C nằm đường tròn Chứng minh Muốn chứng minh năm điểm B, O, I, H, C nằm đường tròn ta vận dụng kiến thức nào? Có nhiều kiến thức để chứng minh năm điểm nằm đường tròn Trong phương pháp có phương pháp sử dụng nhiều để chứng minh nhiều điểm nằm đường tròn là: Muốn chứng minh năm điểm nằm đường tròn ta chứng minh năm điểm nhìn đoạn thẳng với hai điểm cịn lại góc (Áp dụng quỹ tích cung chứa góc) Ta thấy: BOC 2BAC (Theo định lí: Góc nội tiếp có số đo nửa góc tâm chắn cung BOC 2.60 120 O nhìn BC góc 120 (1) Tứ giác AB'HO' có A B H C 360 (Theo định lí: Tổng góc tứ giác 360 ) BHC 360 C AB ABH HC A 360 60 90 90 360 240 120 BHC 120 mà BHC BHC (hai góc đối đỉnh) nên BHC 120 H nhìn BC góc 120 (2) ABC có BAC ABC ACB 180 (Theo định lí: Tổng góc tam giác 180 ) ABC ACB 180 BAC 180 60 120 Biết tâm đường tròn nội tiếp tam giác giao điểm ba đường phân giác tam giác IBC ICB ABC IBC ICB ABC ACB ACB 120o 60o IBC có BIC ICB IBC 180 BIC 180 ICB IBC 180 60 120 I nhìn BC góc 120 (3) Từ (1), (2) (3) ta có O, H, I nhìn BC góc 120 nên O, H, I nằm cung chứa góc 120 dựng đoạn BC Vậy điểm B, O, I, H, C nằm đường tròn ... Ay O - Dựng cung trịn AnB có tâm O bán kính OA Cung trịn AnB chứa góc 55 dựng đoạn AB có độ dài 3cm cung phải dựng Bài 4: (47/86/SGK T2) Gọi cung chứa góc 55 146(46/86/SGK) cung AnB AnB... (hình thoi có hai đường chéo vng góc với nhau) AOB 90 Theo giả thiết AB cố định AOB 90 khơng đổi O ln ln nhìn AB cố định góc AOB 90 khơng đổi I nằm đường trịn đường kính AB cố định... ACB 90 45 2 BIC có IBC BIC ICB 180 (Theo định lí: Tổng ba góc tam giác 180 ) BIC 180 IBC ICB 180 45 135 Theo giả thiết cạnh BC cố định nên I nằm cung chứa