BÀI TẬP CUNG CHỨA GÓC I Phương pháp giải 1 Bài toán quỹ tích cung chứa góc a)Theo đoạn thẳng AB và góc (0 180 ) Tìm quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn AMB Những điểm M thỏa mãn điều ki[.]
Trang 1BÀI TẬP CUNG CHỨA GÓC I Phương pháp giải
1 Bài tốn quỹ tích cung chứa góc
a)Theo đoạn thẳng AB và góc (0 180) Tìm quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn AMB
Những điểm M thỏa mãn điều kiện trên là hai cung chứa góc đối xứng nhau qua đoạn thẳng AB
Chú ý:
* Hai cung chứa góc là hai cung trịn đối xứng qua AB * Hai điểm A và B được coi là thuộc quỹ tích
b) Cách vẽ cung chứa góc
- Vẽ đường trung trực của đoạn thẳng AB - Vẽ tia Ax tạo AB một góc
- Vẽ đường thẳng Ay vng góc với Ax tại A Ay cắt trung trực của AB tại O, O là tâm của cung chứa
2 Cách giải bài tốn quỹ tích
Muốn giải bài tốn quỹ tích ta phải giải qua hai phần: Phần thuận và phần đảo
* Phần thuận: Mọi điểm thỏa mãn yêu cầu đề bài thuộc hình H * Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều thỏa mãn điều kiện đề bài
* Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) các điểm thỏa mãn điều kiện đề bài là hình H
II Bài tập
Bài 1: (44 /86 /SGK T2)
Cho ABC vng ở A Có cạnh BC cố định Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác trong Tìm quỹ tích điểm I khi A thay đổi
Giải
ABC
vuông tại A (giả thiết) nên ABCACB 90 (Theo định lí: Trong tam giác vng hai góc nhọn phụ nhau)
Mà 1
2
ABC
B (vì BI là phân giác của ABC)
1
2
ACB
Trang 211904522ABCACBBC BIC
có IBCBICICB180 (Theo định lí: Tổng ba góc trong của một tam giác bằng 180)
18018045135
BICIBCICB
Theo giả thiết cạnh BC cố định nên I nằm trên cung chứa góc 135 dựng trên đoạn BC cố định
Bài 2: (45 /86 /SGK T2)
Cho các hình thoi ABCD có cạnh AB cố định Tìm quỹ tích giao điểm O của hai đường chéo trong các hình thoi đó
Giải
ABCD là hình thoi (giả thiết) nên ACBD (hình thoi có hai đường chéo vng góc với nhau) AOB 90
Theo giả thiết AB cố định và AOB 90 không đổi O luôn luôn nhìn AB cố định dưới góc AOB bằng 90 khơng đổi
I
nằm trên đường trịn đường kính AB cố định Do O chỉ chuyển động phía trong hình thoi nên I chỉ nằm trên nửa đường tròn đường kính AB
Bài 3: (46/86/SGK T2)
Dựng một cung chứa góc 55 trên đoạn thẳng AB3cm
Giải
- Dựng đoạn thẳng AB có độ dài 3cm
- Dựng tia Ax tạo với AB một góc có số đo là 55
- Dựng đường thẳng m là đường trung trực của đoạn thẳng AB - Đường thẳng m cắt Ay tại O
- Dựng cung trịn AnB có tâm là O bán kính là OA
Cung trịn AnB chứa góc 55 dựng trên đoạn AB có độ dài 3cm là cung phải dựng
Bài 4: (47/86/SGK T2)
Gọi cung chứa góc 55 ở bài 146(46/86/SGK) là cung AnB AnB Lấy điểm M1 nằm bên trong và điểm M2 nằm bên ngồi đường trịn chứa cung này sao cho M1, M2 và AnB
Trang 3a) Chứng minh AM B1 55 b) Chứng minh AM B2 55
Giải
a) Trường hợp điểm M1 nằm trong (O) Gọi giao điểm của AM1 và (O) là C
1
AM B
có BM C1 có góc ngoài đỉnh M1 nên:
111
BM AM CBM BC
(Theo định lí: Mỗi góc ngồi của một tam giác bằng tổng hai góc trong khoảng kề với nó) Mà M CB1 55 (vì C nằm trên cung chứa góc 55 dựng trên đoạn AB) nên
1551
AM B M BC hay AM B1 55
b) Trường hợp M2 nằm ngồi đường trịn (O) Gọi giao điểm của BM2 và (O) là D
2
ADM
có ADB là góc ngồi đỉnh D nên:
22
ADB AM D OAM (Theo định lí: Mỗi góc ngồi của một tam giác bằng tổng hai góc trong khơng kề với nó)
Mà AOB 55 (vì D nằm trên cung chứa góc 55 dựng trên đoạn AB)
22
55 AM BDAM
Hay 55 M2
Bài 5: (48/87/SGKT2)
Có hai điểm A và B cố định, từ A vẽ các tiếp tuyến với đường tròn tâm B có bán kính khơng lớn hơn AB Tìm quỹ tích các tiếp điểm
Giải
Ta có AI là tiếp tuyến của đường trịn (B) nên
IABI AIB vng tại I (AIB 90 )
AB cố định (Do hai điểm A và B cố định) Quỹ tích những điểm I là đường trịn đường kính AB khơng đổi
Bài 6: (49/87/SGKT2)
Dựng ABC, biết BC6cm; BAC 40 và đường cao AH 4cm
Trang 4Làm thế nào để dựng được ABC có cạnh BC6cm, góc BAC 40 và đường cao 4
AH cm?
Qua đề bài ta thấy ABC có đỉnh A nằm trên cung 40 dựng trên đoạn BC có độ dài 6cm A nằm trên cung chứa góc 40dựng trên đoạn BC6cm, nhưng A phải thỏa mãn yêu cầu thứ hai là:
A cách BC một khoảng bằng 4cmA là giao điểm của đường thẳng mn song song với BC và đường trịn (O) Từ đó suy ra cách dựng:
- Dựng đoạn thẳng BC6cm
- Dựng tia Bx hợp với BC góc 40 - Dựng đường trung trực của đoạn BC
- Dựng tia ByBx, By trung trực của BC tại O - Dựng đường tròn (O; OB)
- Dựng đường thẳng mn/ /BC và cách BC một khoảng 4cm - mn cắt (O; OB) tại A và D ABC là tam giác phải dựng
Bài 7: (50/87/SGKT2)
Cho đường trịn đường kính AB cố định, M là một điểm chạy trên đường tròn Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho MI 2MB
a) Chứng minh AIB khơng đổi b) Tìm tập hợp các điểm I nói trên
Giải
Đường trịn (O) đường kính AB cố định GT M O
2
MI MB
* AIB khơng đổi
KL * Tìm tập hợp các điểm I
Chứng minh
a) Sử dụng kiến thức cơ bản vào để chứng minh
AIK có số đo khơng đổi khi M di động trên đường tròn (O)
Trang 5đối và cạnh kề là 1
2
MBMI 90
AMB (Theo hệ quả: Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn là góc vng) BMI 90
BMI vuông ở M nên: 126 342MBtg AIBAIBMI
Do MB và MI có tỷ số khơng đổi nên số đo của AIB cũng có số đo khơng đổi
b) Vì AB cố định, AIB khơng đổi bằng 26 34 nên ln ln nhìn AB cố định dưới góc khơng đổi bằng 26 34 thì I nằm trên cung chứa góc 26 34 dựng trên đoạn AB cố định
Bài 8: (51/87/SGKT2)
Cho I và O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp ABC với BAC 60 Gọi H là giao điểm các đường cao BB và CC Chứng minh các điểm B, C, O, H, I cùng thuộc một đường tròn
Giải
(O) ngoại tiếp ABC
GT (I) nội tiếp ABCABC có BAC 60;BBAC CCABBBCCH KL B, O, I, H, C cùng nằm trên một đường tròn Chứng minh
Muốn chứng minh năm điểm B, O, I, H, C cùng nằm trên một đường tròn ta vận dụng kiến thức cơ bản nào?
Có nhiều kiến thức cơ bản để chứng minh năm điểm cùng nằm trên một đường tròn Trong các phương pháp đó có một phương pháp được sử dụng khá nhiều để chứng minh nhiều điểm nằm trên một đường tròn là: Muốn chứng minh năm điểm cùng nằm trên một đường tròn ta chứng minh 3 trong năm điểm cùng nhìn đoạn thẳng với hai điểm cịn lại dưới những góc bằng nhau (Áp dụng quỹ tích cung chứa góc)
Ta thấy:
2
BOC BAC (Theo định lí: Góc nội tiếp có số đo bằng nửa góc ở tâm cùng chắn một cung BOC2.60 120 O nhìn BC dưới góc 120 (1)
Trang 6
360360609090360240120120
B HC C AB AB H HC A B HC
mà BHCB HC (hai góc đối đỉnh) nên BHC 120 H nhìn BC dưới góc 120 (2)
ABC
có BACABCACB180 (Theo định lí: Tổng các góc trong của một tam giác bằng 180)
18018060120
ABCACBBAC
Biết tâm của đường tròn nội tiếp một tam giác là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác đó 120260222ooABCIBCABCACBIBCICBACBICBIBC
có BICICBIBC180
18018060120
BIC ICBIBC
I
nhìn BC dưới góc 120 (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có O, H, I cùng nhìn BC dưới góc 120 nên O, H, I nằm trên cung chứa góc 120 dựng trên đoạn BC