Chuyên đề Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số Toán 9 A Lý thuyết 1 Quy tắc cộng đại số Định nghĩa Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đươ[.]
Chuyên đề Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số - Toán A Lý thuyết Quy tắc cộng đại số Định nghĩa: Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương Các bước cộng đại số: Bước 1: Cộng hay trừ vế hai phương trình cho để phương trình Bước 2: Dùng phương trình thay cho hai phương trình hệ (và giữ nguyên phương trình kia) Ví dụ 1: Xét hệ phương trình 2x-y=53x+y=10(I) Áp dụng quy tắc cộng đại số để biến đổi hệ phương trình Ta có: 2x-y=5 13x+y=10 Cộng vế với vế phương trình (1) với phương trình (2) ta hệ mới: 2x-y+3x+y=5+102x-y=5⇔2x-y+3x+y=152x-y=5⇔5x=152x-y=5 Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số a) Trường hợp thứ nhất: Các hệ số ẩn hệ phương trình đối Bước 1: Cộng (trừ) vế với với hai phương trình ban đầu với đề phương trình Bước 2: Viết lại hệ phương trình với phương trình phương trình sau cộng (trừ) đại số phương trình phương trình ban đầu hệ Giải hệ phương trình Ví dụ 2: Xét hệ phương trình: x+3y=54x+3y=11 Ta có: x+3y=5 14x+3y=11 Trừ vế với vế phương trình (1) cho phương trình (2) ta hệ phương trình mới: x+3y-4x+3y=5-11x+3y=5⇔x+3y-4x-3y=-6x+3y=5⇔-3x=-6x+3y=5⇔x=-6:3x+3y=5⇔x=22+3y=5⇔x=23y=5-2⇔x=23y=3⇔x=2y=1 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) (2; 1) b) Trường hợp thứ 2: Các hệ số ẩn phương trình khơng không đối Bước 1: Nhân hai vế phương trình với số thích hợp cho với ẩn hệ số đối Bước 2: Cộng (trừ) vế với với hai phương trình ban đầu với đề phương trình Bước 3: Viết lại hệ phương trình với phương trình phương trình sau cộng (trừ) đại số phương trình phương trình ban đầu hệ Giải hệ phương trình Ví dụ 3: Xét hệ phương trình 2x+3y=5 13x+2y=7 Nhân hai vế phương trình (1) với hai vế phương trình (2) với ta hệ 3.2x+3y=3.52.3x+2y=2.7⇔6x+9y=156x+4y=14 B Bài tập I Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Cho hệ phương trình Lời giải: Chọn đáp án A Nghiệm hệ phương trình Câu 2: Cho hệ phương trình Nghiệm hệ phương trình (x, y), tính x - y A x - y = -1 B x - y = C x - y = D x - y = Lời giải: Chọn đáp án B Câu 3: Cho hệ phương trình (x; y), tính Biết nghiệm hệ phương trình Lời giải: Chọn đáp án D Câu 4: Cho hệ phương trình Biết nghiệm hệ phương trình (x; y) , tính x.y A B C -2 D Lời giải: Chọn đáp án B Câu 5: Cho hệ phương trình y), tính x/y Biết nghiệm hệ phương trình (x; A B -2 C -1/2 D 1/2 Lời giải: Chọn đáp án C Câu 6: Giải hệ phương trình: A (2; 1) B (3; -1) C ( -2; 1) D (0; 2) Lời giải: Vậy nghiệm hệ phương trình cho là: (2; 1) Chọn đáp án A Câu 7: Xác định hệ số a b để đồ thị hàm số y = ax + b qua điểm A(2; 0) B (1; 3) ? A a = 1; b = -2 B a = -1; b = C a = 1; b = D a = -1; b = -2 Lời giải: Do đồ thị hàm số cho qua hai điểm A B nên ta có: Chọn đáp án B Câu 8: Giải hệ phương trình: A (3 ; 2) B (1; -3) C ( -2; 1) D (1; 3) Lời giải: Vậy nghiệm hệ phương trình cho (-2; 1) Chọn đáp án C Câu 9: Cho hệ phương trình A B C 10 D 17 Lời giải: Tính x2 + y2 Chọn đáp án A Câu 10: Giải hệ phương trình: A.( 3; 2) B.(3; 3) C ( 0; 6) D ( 0; 3) Lời giải: Vậy nghiệm phương trình cho (0; 3) Chọn đáp án D II Bài tập tự luận có lời giải Câu 1: Số nghiệm hệ phương trình Lời giải: là? Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) = (4;7) Câu 2: Số nghiệm hệ phương trình Lời giải: Vậy hệ phương trình vơ nghiệm là? Câu 3: Chứng minh nghiệm x > 0; y < nghiệm hệ phương trình Lời giải: Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (31; −3) ⇒ x > 0; y < Câu 4: Giải hệ phương trình sau Lời giải: Cộng vế hai phương trình hệ (I) ta được: 4x = Do ta có hệ: Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (1; -1) Câu 5: Giải hệ phương trình sau: Lời giải: Nhân hai vế phương trình thứ với 2, ta hệ tương đương: Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = (2; 1) Câu 6: Giải hệ phương trình sau: 2x+5y=82x-3y=0 Lời giải: 2x+5y=82x-3y=0 ⇔2x+5y-2x-2y=8-02x-3y=0 (trừ vế với vế phương trình thứ cho phương trình thứ hai) 2x+5y-2x+3y=82x-3y=0⇔8y=82x-3y=0⇔y=8:82x-3y=0⇔2x-3.1=0y=1⇔2x3=0y=1⇔2x=3y=1⇔x=32y=1 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = 32; Câu 7: Giải hệ phương trình sau: 2x+3y=-23x-2y=-3 Lời giải: 2x+3y=-23x-2y=-3⇔6x+9y=-66x-4y=-6 (Ta nhân hai vế phương trình với phương trình hai với 2) ⇔6x+9y=-66x+9y-6x-4y=-6 (trừ vế với vế phương thứ cho phương trình thứ hai) ⇔6x+9y=-66x+9y-6x+4y=0⇔6x+9y=-613y=0⇔6x+9y=-6y=0⇔6x+9.0=6y=0⇔6x=-6y=0⇔x=-1y=0 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = (-1; 0) Câu 8: Giải hệ phương trình sau: 3x-1+2y=132x-1-y=4 Lời giải: 3x-1+2y=132x-1-y=4 Điều kiện: x≥1; y≥0 Đặt x-1=a a≥0y=b b≥0 Khi hệ phương trình trở thành 3a+2b=13 12a-b=4 Nhân hai vế phương trình (2) với ta có hệ 3a+2b=13 14a-2b=8 Lấy (1) + (3) ta hệ 3a+2b+4a2b=13+83a+2b=13⇔7a=213a+2b=13⇔a=21:73a+2b=13⇔a=33.3+2b=13⇔a=32b=1 3-9⇔a=32b=4⇔a=3b=2⇒x-1=3y=2⇔x-1=9y=4⇔x=10y=4 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) (10; 4) Câu 9: Giải hệ phương trình sau phương pháp cộng đại số: a)2x−11y=−710x+11y=31 b)4x+7y=164x−3y=−24 c)0,35x+4y=−2,60,75x−6y=9 d)2x+23y=532x−3y=92 e)10x−9y=815x+21y=0,5 f)3,3x+4,2y=19x+14y=4 Lời giải: a)2x−11y=−710x+11y=31⇔2x−11y+10x+11y=−7+312x−11y=−7 ⇔12x=242x−11y=−7⇔x=22.2−11y=−7 ⇔x=24−11y=−7⇔x=2−11y=−11⇔x=2y=1 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = (2; 1) b)4x+7y=164x−3y=−24⇔4x+7y=164x+7y−4x−3y=16−−24 ⇔4x+7y=1610y=40⇔4x+7y=16y=4 ⇔4.x+7.4=16y=4⇔4x+28=16y=4 ⇔4x=−12y=4⇔x=−3y=4 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = (-3; 4) c)0,35x+4y=−2,60,75x−6y=9⇔3.0,35x+4y=3.−2,62.0,75x−6y=2.9 ⇔1,05x+12y=−7,81,5x−12y=18⇔2,55x=10,21,5x−12y=18 ⇔x=41,5.4−12y=18⇔x=46−12y=18 ⇔x=4−12y=12⇔x=4y=−1 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = (4; -1) d)2x+23y=532x−3y=92⇔32x+23y=5.332x−3y=92 ⇔32x+63y=1532x−3y=92⇔2x+23y=532x+63y−32x−3y=15−92 ⇔2x+23y=573y=10,5⇔2x=5−23yy=32 ⇔2x=5−23.32y=32⇔2x=2y=32⇔x=2y=32Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x;y=2;32 e)10x−9y=815x+21y=0,5 ⇔30x−27y=2430x+42y=1⇔30x−27y=2430x+42y−30x−27y=1−24 ⇔30x−27y=24y=−23:69⇔30x−27y=24y=−23:69 ⇔30x−27.−13=24y=−13⇔30x=24−9y=−13 ⇔30x=15y=−13⇔x=12y=−13 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = 12;−13 f)3,3x+4,2y=19x+14y=4⇔30113,3x+4,2y=30119x+14y=4 ⇔9x+12611y=30119x+14y=4⇔9x+14y=49x+14y−9x+12611y=4−3011 ⇔9x+14y=42811y=1411⇔9x+14y=4y=12 ⇔9x+14.12=4y=12⇔9x+7=4y=12 ⇔9x=−3y=12⇔x=−13y=12 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = −13;12 Câu 10: Giải hệ phương trình: a) 8x−7y=512x+13y=−8 b) 35x−4y=15−27−25x+87y=18 Lời giải: a) 8x−7y=512x+13y=−8⇔3.8x−7y=5.3212x+13y=−8.2 ⇔24x−21y=1524x+26y=−16⇔24x−21y=1524x−21y−24x+26y=15−−16 ⇔24x−21y=15−47y=31⇔24x−21y=15y=−3147 ⇔24.x−21.−3147=15y=−3147⇔24x+65147=15y=−3147 ⇔24x=5447y=−3147⇔x=9188y=−3147 31 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = ; 188 47 2 x y 15 3 x y 15 b) 2 x y 18 3 2 x y 18.3 6 x 8y 30 6 x 24 y 54 6 x 8y 30 x 8y 6 x 24 y 30 54 6 x 8y 30 24 y 84 6 x 8y 30 6 x 8y 30 84 7 y y 24 30 6 x y 6 x 30 y 6 x 30 x 7 y y 2 7 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = 5; III Bài tập vận dụng Câu 1: Giải hệ phương trình sau phương pháp cộng đại số Câu 2: Giải hệ phương trình Câu 3: Hệ phương trình: Câu 4: Hệ phương trình sau: Câu 5: Giải hệ phương trình sau: Câu 6: Cho hệ phương trình sau: có nghiệm (x;y) = ? Tổng x + y =? So sánh xy với kết x + y – = ? Câu 7: Tìm hai số a b cho 5a – 4b = -5 đường thẳng: ax + by = -1 qua điểm A(-7; 4) Câu 8: Tìm giá trị a b để đường thẳng ax – by = qua hai điểm A(4; 3), B(6; -7) Câu 9: Giải hệ phương trình theo hai cách (Cách thứ nhất: đưa hệ phương trình ax by c ; Cách thứ hai: Đặt ẩn phụ, chẳng hạn 3x – = s; 3y + = t); dạng: a ' x b ' y c ' 2 x 3y a) 4 x 3y 2 ... với hai phương trình ban đầu với đề phương trình Bước 3: Viết lại hệ phương trình với phương trình phương trình sau cộng (trừ) đại số phương trình phương trình ban đầu hệ Giải hệ phương trình Ví... hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = 5; III Bài tập vận dụng Câu 1: Giải hệ phương trình sau phương pháp cộng đại số Câu 2: Giải hệ phương trình Câu 3: Hệ phương trình: Câu 4: Hệ. .. nghiệm hệ phương trình Lời giải: Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (31; −3) ⇒ x > 0; y < Câu 4: Giải hệ phương trình sau Lời giải: Cộng vế hai phương trình hệ (I) ta được: 4x = Do ta có hệ: