" Rèn luyện kỹ năng giải hệ bằng phương pháp hàm số" 1 Trang bị lại cho học sinh một số kiến thức Tính chất 1 Nếu hàm số liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên tập thì số nghiệm của p[.]
" Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" Trang bị lại cho học sinh số kiến thức : Tính chất 1: Nếu hàm số biến) tập liên tục đồng biến (hoặc ln nghịch số nghiệm phương trình đổi) khơng nhiều y thuộc Tính chất 2: Nếu hàm số hàm số ( số không với x, đồng biến (hoặc nghịch biến) nghịch biến (hoặc ln đồng biến) liên tục tập số nghiệm phương trình Tính chất 3: Cho hàm số khơng nhiều liên tục có nghiệm thuộc n nghiệm thuộc khoảng Chú ý : Nếu phương trình phương trình có nhiều Nếu hệ có hai phương trình ta dưa dạng : y thuộc ta khảo sát hàm số đặc trưng : với x, tập Nếu hàm số đơn điệu Trong phương pháp khó phải xác định tập giá trị x y, tập giá trị chúng khác em không dùng phương pháp mà phải chuyển chúng dạng tích : hợp , trường hợp hay Khi ta xét trường Kỹ giải hệ phương trình sử dụng phương pháp hàm số : Ví dụ 1: Giải hệ phương trình : Hướng dẫn giải: Xét hàm số Ta có Khi : R Suy hàm số f(t) đồng biến R vào phương trình (2), ta được: Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | " Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" Vậy hệ phương trình có nghiệm Ví dụ 2: Giải hệ phương trình : Hướng dẫn giải: Từ phương trình (2) suy điều kiện có nghiệm hệ phương trình : Xét hàm số : tập Suy hàm số nghịch biến khoảng Phương trình (1) tương đương với : (2), ta : vào phương trình Vậy nghiệm hệ phương trình : Nhận xét : Khi sử dụng phương pháp hàm số để giải hệ phương trình điều quan trọng hàm số xét tập Ví dụ : Giải hệ phương trình : Hướng dẫn giải: Điều kiện : Ta có : Xét hàm số tập f(t) hàm số đồng biến khoảng Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | " Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" Khi : với phương trình (2), ta : kết hợp Thế (1') vào (2'), ta : Vậy hệ có nghiệm : Ví dụ : Giải hệ phương trình : Hướng dẫn giải: Điều kiện : Xét hàm số : tập Hàm số f(t) đồng biến khoảng Khi : trình (2), ta : vào phương Khi (thỏa mãn điều kiện) Khi (thỏa mãn điều kiện) Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | " Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" Khi (thỏa mãn điều kiện) Khi (thỏa mãn điều kiện) Vậy tập nghiệm hệ phương trình : Ví dụ : Giải hệ phương trình : Hướng dẫn giải: Điều kiện : Ta có : Xét hàm số Hàm số f(t) đồng biến R Khi : vào phương trình (2), ta : (Do Xét hàm số Hàm số g(x) đồng biến - Khi -Khi không nghiệm (3) : (thỏa mãn điều kiện (*)) : (thỏa mãn điều kiện (*)) Vậy hệ phương trình có hai nghiệm : Giáo viên : Hồng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | " Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" Ví dụ 6: Giải hệ phương trình : Hướng dẫn giải: Xét hàm số : R Suy hàm số đồng biến R Ta có : phương trình (2), ta : Khi Khi vào , ta có : , ta có : Vậy nghiệm hệ phương trình : Ví dụ 7: Giải hệ phương trình : Hướng dẫn giải: Hệ phương trình cho tương đương với : Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy (A 2012) Trang | " Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" Từ phương trình (2) suy : Xét hàm số : đoạn Hàm số f(t) nghịch biến Khi : trình (2), ta : vào phương - Với , ta có : - Với , ta có : Vậy nghiệm hệ phương trình : Nhận xét : Phương trình (1) hệ có yếu tố ta đáng lưu tâm phần đẳng thức Ví dụ 8: Giải hệ phương trình : Hướng dẫn giải: Điều kiện : Ta có : (1) Giáo viên : Hồng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | " Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" Xét hàm số : Suy : Hàm số f(t) đồng biến D + Trên vào phương trình cịn lại hệ ta : (thỏa mãn) + Trên vào phương trình cịn lại hệ ta : (thỏa mãn) Vậy nghiệm hệ phương trình : Nhận xét : Có nhiều toán cho ta thấy hàm số cần xét có cần có số bước biến đổi có ta cần Ví dụ 9: Giải hệ phương trình : Hướng dẫn giải: Điều kiện : Ta có : Xét hàm số khoảng Hàm số f(t) đồng biến Khi : trình (2), ta : vào phương Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | " Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" Vì với nên -Khi (thỏa mãn điều kiện (*)) -Khi (thỏa mãn điều kiện (*)) Vậy nghiệm hệ phương trình : Ví dụ 10: Giải hệ phương trình : Hướng dẫn giải: Điều kiện : Ta có : Xét hàm số Hàm số f(t) đồng biến Khi : vào phương trình (2), ta : Giáo viên : Hồng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | " Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" Suy : (thỏa mãn điều kiện) Suy : (thỏa mãn điều kiện) Vậy nghiệm hệ phương trình : Ví dụ 11: Giải hệ phương trình : Hướng dẫn giải: Đặt phương trình (1) có dạng Xét hàm số hàm số nghịch biến R Phương trình (3) có dạng Khi phương trình (2) có dạng Xét hàm số Phương trình có dạng khoảng f(t) hàm số đồng biến khoảng Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | " Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" Suy : Hệ phương trình có cặp nghiệm (x;y) là: Ví dụ 12: Giải hệ phương trình : Hướng dẫn giải: Điều kiện : Ta thấy Khi , ta có : nghiệm hệ phương trình cho (*) Xét hàm số : Do : Hàm số f(t) đồng biến vào phương trình cịn lại hệ ta có : Đặt ta có : Phương trình trở thành : Với Với , ta có : , ta có : (loại) Vậy nghiệm hệ phương trình : Ví dụ 13: Giải hệ phương trình : Hướng dẫn giải: Điều kiện : Ta có : Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | 10 " Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" Xét hàm số Hàm số f(t) đồng biến Khi : vào phương trình (2), ta : Với (thỏa mãn điều kiện) Giải (3): Xét hàm số Hàm số g(y) đồng biến Lại có : (thỏa mãn điều kiện) Vậy nghiệm hệ phương trình : Ví dụ 14: Giải hệ phương trình : Hướng dẫn giải: Điều kiện : Xét hàm số tập Hàm số f(t) đồng biến Khi : trình (2), ta : vào phương (Điều kiện : Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy ) Trang | 11 " Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" (vì Với với thuộc TXĐ) (thỏa mãn hệ phương trình) Với (thỏa mãn hệ phương trình) Vậy nghiệm hệ phương trình : Ví dụ 15 : Giải hệ phương trình : Hướng dẫn giải: Trừ theo vế phương trình (1) cho phương trình (2), ta : Xét hàm số R Hàm số f(t) đồng biến R Khi : vào phương trình (2), ta : Xét hàm số R Hàm số g(x) đồng biến R , Khi : Vậy hệ phương trình có nghiệm : Ví dụ 16 : Giải hệ phương trình : Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | 12 " Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" Hướng dẫn giải: Điều kiện : Ta có : Với Ta có : : Từ phương trình (2), ta Xét hàm số Xét hàm số Ta có (loại) R Suy hàm số f(t) đồng biến R Khi : vào phương trình (2), ta : (thỏa mãn điều kiện) Vậy hệ phương trình có nghiệm : Ví dụ 17: Giải hệ phương trình: Hướng dẫn giải: Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | 13 " Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" Điều kiện: PT(1) Xét hàm số: với Xét hàm số: với Hàm số g(u) đồng biến Suy ra: Hàm số f(t) đồng biến Mà Thử lại ta thấy vào phương trình (2), ta : nghiệm phương trình Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là: Ví dụ 18: Giải hệ phương trình: Hướng dẫn giải: Điều kiện : Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | 14 " Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" Đặt , phương trình (1) trở thành: Ta có hàm số nghịch biến hàm số đồng biến mà t = thỏa mãn (3), nên t = nghiệm phương trình (3) Ta có Xét hàm số: với Ta có: BBT: t f’(t) -3 - ( ) + f(t) Với Từ Với ta có thỏa mãn hệ phương trình cho , ta có: Suy với ta ln có Vậy hệ cho có nghiệm Ví dụ 19: Giải hệ phương trình: Hướng dẫn giải: Điều kiện : Nếu vế cho lại không thỏa mãn (2) x khác Từ (1) chia hai Ta : Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | 15 " Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" Xét hàm số : hàm số f(t) đồng biến R với t thuộc R Chứng tỏ Khi : ta : Lại đặt vào phương trình (2), suy : Xét hàm số : Có : (Vì mà nên ) nghiệm : Vậy nghiệm hệ phương trình : Ví dụ 20: Giải hệ phương trình: Hướng dẫn giải: Điều kiện : Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | 16 " Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" Ta có : Xét hàm số : Suy f(u) đồng biến Thế vào (2), ta : với Ta thấy không nghiệm Mặt khác : nghiệm Vậy hệ phương trình có nghiệm : Bài tập tự luyện Bài Giải hệ phương trình : Bài Giải hệ phương trình : Bài Giải hệ phương trình : Bài Giải hệ phương trình : Bài Giải hệ phương trình : Giáo viên : Hồng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | 17 " Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" Bài Giải hệ phương trình : Giáo viên : Hồng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | 18 ... phương trình) Vậy nghiệm hệ phương trình : Ví dụ 15 : Giải hệ phương trình : Hướng dẫn giải: Trừ theo vế phương trình (1) cho phương trình (2), ta : Xét hàm số R Hàm số f(t) đồng biến R Khi : vào