CÔNG PHÁ TOÁN 3 FILE WORD PHẦN (13)

Cơng Phá Tốn – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Bài tập rèn luyện kỹ Câu 1: Tỉ số thể tích khối lập phương khối cầu ngoại tiếp khối lập phương là: A C 3 B D   3 3 Câu 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB  a, AD  2a, AA '  2a Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB’C’ Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy, SA  a Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD A V  32 a B V   a C V  4 a D V  a Câu 7: Cho hình chóp S.ABC, đáy tam giác cạnh 1, SA vng góc với đáy, góc mặt bên SBC đáy 60 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bao nhiêu? A R  3a 3a B R  A V  4 a 16 B V  43 36 3a D R  2a C V  43 D V  43 12 C R  Câu 3: Cho mặt cầu  S  ngoại tiếp khối lập phương tích Thể tích khối cầu  S  là: A C  6 B  D   Câu 4: Cho hình chóp S.ABC, đáy tam giác vng A, AB  3, AC  , SA vng góc với đáy, SA  14 Thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC A V  169 B V  729 C V  2197 D V  13 Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vuông B, AB  a , góc BAC 60 , chiều cao SA  a Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp B V  a C V  a 3 D V  a A V  a 3 Câu 8: Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy a, góc tạo cạnh bên đáy 60 Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC A R  a B R  2a C R  a 3 D R  4a Câu 9: Cho hình lăng trụ tam giác có cạnh Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ là: A 7 B 7 C 7 D 7 Câu 10: Mệnh đề sai? A Có mặt cầu qua đỉnh hình tứ diện B Có mặt cầu qua đỉnh hình lăng trụ có đáy tứ giác lồi C Có mặt cầu qua đỉnh hình hộp chữ nhật D Có mặt cầu qua đỉnh hình chóp Câu 11: Cho hình lập phương có cạnh Diện tích mặt cầu qua đỉnh hình lập phương là: A 6 B 3 C  D 2 LOVEBOOK.VN|21 Chủ đề 6: Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón Câu 12: Cho tứ diện ABCD có cạnh a Một mặt cầu tiếp xúc với mặt tứ diện có bán kính là: a A 12 C a B a D a Câu 13: Người ta bỏ vào hộp hình trụ ba bóng tennis hình cầu, biết đáy hình trụ hình trịn lớn bóng chiều cao hình trụ ba lần đường kính bóng Gọi S1 tổng diện tích ba bóng, S diện tích xung quanh hình trụ Tỉ số diện tích A B C S1 S2 D Câu 14: Một hình trụ có chiều cao nội tiếp hình cầu có bán kính Tính thể tích khối trụ A 96 B 36 C 192 D 48 Câu 15: Cho hình chữ nhật ABCD nửa đường trịn đường kính AB hình vẽ Gọi I, J trung điểm AB, CD Biết AB  4; AD  Thể tích V vật thể trịn xoay quay mơ hình quanh trục IJ A V  56  40 C V   LOVEBOOK.VN|22 B V  104  88 D V   The best or nothing Câu 16: Cho mặt cầu có diện tích 72  cm  Bán kính R khối cầu A R   cm  B R   cm  C R   cm  D R   cm  Câu 17: Trong hộp hình trụ người ta bỏ vào 2016 banh tennis, biết đáy hình trụ hình lớn banh chiều cao hình trụ 2016 lần đường kính banh Gọi V1 tổng thể tích 2016 banh V2 thể tích khối trụ Tính tỉ số A Một kết khác C V1  V2 B V1  V2 D V1  V2 V1 V2 Câu 18: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vng B, cạnh AB  3, BC  , cạnh bên SA vng góc với đáy SA  12 Thể tích V khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC A V  169 B V  2197 C V  2197 D V  13 Câu 19: Một hình nón đỉnh O có diện tích xung quanh 60  cm  , độ dài đường cao  cm  Khối cầu  S  có tâm đỉnh hình nón, bán kính độ dài đường sinh hình nón Thể tích khối cầu  S  A 2000cm B 4000cm C 288 cm D 4000 cm3 Câu 20: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh 3a, cạnh bên SC  2a , SC vng góc với mặt phẳng đáy Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC A R  2a B R  3a C R  a 13 D R  2a Cơng Phá Tốn – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Câu 21: Cho mặt cầu  S  có bán kính 4, hình trụ  H  có chiều cao hai đường trịn đáy nằm  S  Gọi V1 thể tích khối trụ  H  V2 thể tích mặt cầu  S  Tính tỉ số A V1  V2 16 B V1  V2 C V1  V2 16 D V1  V2 V1 V2 Câu 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật với AB  3a, BC  4a, SA  12a SA vng góc với đáy Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD A R  5a B R  17 a C R  13a D R  6a Câu 22: Cho mặt cầu  S  tâm O, bán kính R  Mặt phẳng  P  cách O khoảng cắt  S theo giao tuyến đường tròn  C  có tâm H Gọi T giao điểm tia HO với  S  , tính thể tích V khối nón có đỉnh T có đáy hình trịn  C A V  32 B V  16 C V  16 D V  32 LOVEBOOK.VN|23 Chủ đề 6: Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón The best or nothing Hướng dẫn giải chi tiết Câu 1: Đáp án D Câu 3: Đáp án D Đặt cạnh khối lập phương Thể tích khối lập phương là: Vtp  Thể tích khối lập phương là: Vtp   Độ dài cạnh khối lập phương  (đơn vị độ dài) 12  12  12  2 Bán kính khối cầu: RcÇu   3   Thể tích khối cầu: VcÇu         Vtp VcÇu  2  Bán kính khối cầu RcÇu     2  3   Thể tích khối cầu là: VcÇu        2 3 Câu 4: Đáp án B Câu 2: Đáp án C Gọi M trung điểm BC Cách 1: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB’C’ mặt cầu ngoại tiếp ABCD.A’B’C’D’ AB  AD  AA ' a  4a  4a 3a   2 Cách 2: Gọi O trung điểm BC’ r 2 2  O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BB ' C ' Lấy N trung điểm AD’  M tâm đường ngoại tiếp ABC Trên nửa mặt phẳng chứa S, bờ  ABC  , MN / / SA cho MN  SA Gọi O trung điểm MN Vì SA   ABC   MN   ABC   OA  OB  OC (1) Ta có: NO // AB AB   BC 'B'  · Ta có: MN / / SA SA  MN ; SAM  90  NO   BC ' B '  Tứ giác SNMA hình chữ nhật Gọi I trung điểm ON, dễ dàng chứng minh IA  IB Lại có: IB  IC '  IB'  I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB’C’  a   2a  Ta có: IA2  IN  AN       2     IA  3a LOVEBOOK.VN|24 kẻ  OS  OA (2) Từ (1) (2)  O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC Ta có: 2  SA   BC  OA  OM  AM          2  14   2           Cơng Phá Tốn – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Kẻ MN / / SA nửa mặt phẳng bờ  OA   ABCD  Vậy thể tích khối cầu là: chứa S cho SA  MN Gọi O trung điểm MN  OS  OA  OB  OC   729 243 V       2  O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Câu 5: Đáp án C Ta có:  SA   AC  OA  ON  NA2          2 a 2 a 2         a     Thể tích khối cầu là: V   a Câu 7: Đáp án D Gọi M, O trung điểm AC, SC  MO / / SA  MO   ABC   MO trục đường tròn ngoại tiếp ABC  OA  OB  OC Lại có: OS  OA  SC  O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC Ta AB a  cos 60  AC   2a có: AC cos 60  AO  1 SC  2  2a    a Vậy thể tích khối cầu là: V    a 4 AO  a 3 Câu 6: Đáp án B Gọi M trung điểm BC  AM  BC Lại có: SA  BC   SAM   BC hay  SAM    SBC  ·  SMA  60 Ta có: SA  AM tan 60  3 3 2 Gọi G trọng tâm ABC Trên nửa mặt phẳng bờ  ABC  chứa S, kẻ NH / / SA cho NG  SA Lấy O trung điểm NG  NG   ABC   OA  OB  OC Lại có OS  OA (tứ giác SNGA hình chữ nhật)  O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC Gọi N tâm hình vng ABCD SA Ta có: OA  OG  AG      AM    3  LOVEBOOK.VN|25 Chủ đề 6: Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón 2     = 129      12 4  3 Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 43 S.ABCD bằng: S  4 OA  12 The best or nothing Ta có: R  12  12  12   S  3 2 Câu 12: Đáp án A Từ công thức phần lý thuyết ta chọn đáp án A Câu 13: Đáp án D Đặt bán kính bóng tennis R  S1  3.4 R  12 R S   3.2.R   2 R   12 R Câu 8: Đáp án B Vậy S1  S2 Câu 14: Đáp án A Bài toán tương tự tốn mà tơi giới thiệu phần toán thực tế max ứng dụng h Ở ta có R     r 2  r  52  32   V   42.6  96 Gọi G trọng tâm ABC Câu 15: Đáp án D  SG trục đường trịn ngoại tiếp ABC Thể tích khối trụ là: Lấy O nằm S G cho SO  OA Vtrô  IJ   AI   6. 22  24 · · Ta có: SAG  60  ·ASG  30  OAG Thể tích nửa mặt cầu là: Có OA  AG a a   a cos 30 3 Câu 9: Đáp án C 2 16   AI   23   cÇu 3 V1 Vậy V  2 1  3 21  Ta có: R        S         Câu 10: Đáp án B Với A: Đúng hình tứ diện ln có mặt cầu ngoại tiếp Với B: B sai chưa đáy hình lăng trụ nội tiếp đường tròn, nên chưa có mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ có đáy tứ giác lồi Với C: Đúng, mặt cầu có tâm tâm hình hộp đường kính đường chéo hình hộp Với D: Đúng hình chóp ln có đáy nội tiếp đường trịn Câu 11: Đáp án B LOVEBOOK.VN|26 88 Câu 16: Đáp án B S  4 R  72  4 R  R   cm  Câu 17: Đáp án D Đặt bán kính bóng tennis R 3 Ta có: V1  2016 . R  2688 R 3 Và V2   2016.2.R    R   4032 R Vậy Câu V1  V2 18: Đáp án B Công Phá Tốn – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Khi IC bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp Ta có IDCG hình chữ nhật, nên SC 4CM  IC  CD  CG  Gọi M trung điểm AC O trung điểm SC Dễ dàng chứng minh O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC 1  R  OA  SC  SA2  AC 2   2a   3a        2a Câu 21: Đáp án A 13  122   32  42   2 Vậy V  2197 Câu 19: Đáp án D Bán kính mặt cầu  S  R  , chiều cao hình trụ  H h  , bán kính đáy hình trụ h r  R     42  2  2 Thể tích khối trụ:   S xq   rnãn.OM  60  IM OM V1   r h    48 (đvtt)  60  OM  82 OM  OM  10 Thể tích khối cầu: 4 4000 3 cm3  Vậy VS   R   10   3 4 256 V2   R   43  (đvtt) 3 Câu 20: Đáp án D Vậy Kẻ trục đường tròn tam giác ABC, lấy giao điểm I đường trung trực cạnh SC trục đường trịn, I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC Kí hiệu hình vẽ: V1 256  48 :  V2 16 Câu 22: Đáp án A LOVEBOOK.VN|27 Chủ đề 6: Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón Từ giả thiết, ta có OT  R  3, OH   bán kính đường tròn  C  là: r  R  OH  32  12  2 Chiều cao hình nón h  TH  OT  OH    Vậy thể tích khối nón là: 1 32 V   r h   2  (đvtt) 3   Câu 23: Đáp án C Ta có BC  AB, BC  SA  BC   SAB   BC  SB  SDC vng B Lại có CD  AD, CD  SA  CD   SAD   CD  SD  SDC vuông D Mặt khác SAC vuông A  SA  AC  Gọi I trung điểm SC, suy IA  IB  IC  IS  SC Như I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SC S ABCD Bán kính mặt cầu R  Có AC  AB  BC   SC  SA2  AC   3a    a   5a  12a    5a   13a 2 Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SC 13a  S.ABCD R  2 LOVEBOOK.VN|28 The best or nothing Cơng Phá Tốn – Lớp 12 Ngọc Huyền LB II Mặt nón, hình nón, khối nón Khái niệm mặt trịn xoay Trong khơng gian, cho hình H đường thẳng d Hình gồm tất đường trịn  S M  với M thuộc H gọi hình trịn xoay sinh H quay quanh d Đường thẳng d gọi trục hình trịn xoay Khi hình H đường hình trịn xoay sinh cịn gọi mặt trịn xoay Mặt nón trịn xoay Trong mặt phẳng  P  cho hai đường thẳng d Δ cắt điểm O tạo thành góc  ,  0    90  Khi quay mặt phẳng  P  xung quanh Δ đường thẳng d sinh mặt tròn xoay gọi mặt nón trịn xoay đỉnh O Người ta thường gọi tắt mặt nón trịn xoay mặt nón Đường thẳng Δ gọi trục, đường thẳng d gọi đường sinh góc 2 gọi góc đỉnh mặt nón 2.1 Hình nón trịn xoay khối nón trịn xoay Cho tam giác OIM vng I Khi quay tam giác quanh cạnh góc vng OI đường gấp khúc OMI tạo thành hình gọi hình nón trịn xoay, gọi tắt hình nón Hình trịn tâm I sinh điểm thuộc cạnh IM quay IM quanh trục OI gọi mặt đáy hình nón, điểm O gọi đỉnh hình nón OI  d I ; đáy c gi l chiu cao hình nón OM đường sinh hình nón Phần mặt tròn xoay sinh điểm cạnh OM quay quanh trục OI gọi mặt xung quanh hình nón Hình nón với phần khơng gian giới hạn hình nón gọi khối nón 2.2 Diện tích xung quanh hình nón trịn xoay thể tích khối nón trịn xoay STUDY TIP Diện tích xung quanh hình nón: Thể tích khối nón: a Định nghĩa Diện tích xung quanh hình nón trịn xoay giới hạn diện tích xung quanh hình chóp nội tiếp hình nón số cạnh tăng lên vơ hạn Thể tích khối nón giới hạn thể tích hình chóp nội tiếp hình nón số cạnh đáy tăng lên vô hạn b Công thức tính diện tích xung quanh hình nón thể tích khối nón Diện tích xung quanh hình nón trịn xoay nửa tích độ dài đường tròn đáy đường sinh S xq   rl Thể tích khối nón trịn xoay phần ba tích diện tích hình trịn đáy chiều cao hình nón 1 V  B.h   r h 3 Một số công thức liên quan đến hình nón Cho hình nón có bán kính đáy r, chiều cao h, nội tiếp mặt cầu có bán kính R Khi Mặt cầu ngoại tiếp hình nón có bán kính R  Mặt cầu nội tiếp hình nón có bán kính r '  r  h2 2h r.h r  r  h2 Diện tích xung quanh hình nón S xq   h R  R  h  2.3 Khối nón cụt Định nghĩa Nếu cắt khối nón mặt phẳng song song với mặt phẳng đáy khối nón chia làm hai phần: phần chứa đỉnh S khối nón, khối nón trịn xoay, phần cịn lại gọi khối nón cụt Thể tích khối nón cụt Giả sử khối nón cụt có đường cao OO '  h , đường sinh AB  l , hai bán kính đáy OB  R O ' A  R ' Khi thể tích V khối nón cụt tính cơng thức V h  R  R '2  R.R ' (Chứng minh công thức cách lấy hiệu khối nón trừ phần khối nón bỏ V  V1  V2 ) Diện tích xung quanh hình nón cụt tính cơng thứ: S xq    R  r  l 2.4 Một số tốn liên quan đến hình nón, khối nón Chú ý: a Một hình nón gọi nội tiếp mặt cầu (cũng cịn nói mặt cầu ngoại tiếp hình nón) đỉnh đường trịn đáy hình nón nằm mặt cầu b Mọi hình nón có mặt cầu ngoại tiếp c Hình chóp có mặt bên tạo với mặt đáy góc chân đường cao hình chóp nằm đáy ln có mặt cầu nội tiếp Bài tốn 1: Trong hình nón nội tiếp mặt cầu bán kính R cho trước, tìm hình nón tích lớn Lời giải Kí hiệu bán kính đáy hình nón x, chiều cao hình nón y   x  R,0  y  2R  Gọi x2  y  2R  y  SS ' đường kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón ta có Cơng Phá Tốn – Lớp 12 Ngọc Huyền LB 3 Gọi V1 thể tích khối nón V1   x y   y y  R  y     R  y  y  y  32 R   R  y  y y     6 81  32 R Vậy thể tích V1 đạt giá trị lớn R  y  y 81  y 4R  4R  8R 4R 2R 2 , từ x   R    hay x    3 Bài toán 2: Tìm hình nón tích nhỏ ngoại tiếp mặt cầu bán kính r cho trước Lời giải Xét mặt phẳng chứa trục hình nón, mặt phẳng cắt hình nón theo tam giác cân SAB cắt mặt cầu nội tiếp hình nón theo đường trịn bán kính r hình trịn nội tiếp tam giác cân SAB Kí hiệu bán kính đáy hình nón x, chiều cao hình nón y  x  0, y  2r   AH  SA r    r2 y AB.SH  x  x  y r  xy  x  y  2r Vậy thể tích hình nón ngoại tiếp mặt cầu bán kính r 1 y2 V2   x y   r 3 y  2r Ta có y2 y  4r  4r 4r   y  2r  y  2r y  2r y  2r  y  2r  4r  4r  y  2r  y  2r  4r  r  8r y  2r Suy V2   8r , tức V2 đạt GTNN y  2r  4r  y  4r , từ y  2r x  r 2.5 Một số toán ứng dụng thực tế hình nón Lấy miếng bìa, cắt thành hình quạt giới hạn cung tròn AB hai bán kính OA, OB Ta uốn cong hình quạt trịn để dán hai bán kính OA, OB với Sau dán, cung tròn AB trở thành đường khép kín Nếu ta làm cho đường khép kín trở thành đường trịn ta phần mặt nón trịn xoay Bài tốn 3: Huyền có bìa hình trịn hình vẽ, Huyền muốn biến hình trịn thành hình phễu hình nón Khi Huyền phải cắt bỏ hình quạt trịn AOB dán hai bán kính OA OB lại với Gọi x góc tâm hình quạt trịn dùng làm phễu Tìm x để thể tích phễu lớn nhất?  A B  C  D  Đáp án A Lời giải Với độc giả cần nhớ lại cơng thức tính độ dài cung trịn Độ dài cung tròn AB dùng làm phễu là: Rx  2 r  r  h  R2  r  R2  R2 x2 R  4 2 Rx ; 2 4  x Thể tích phễu là: V  f  x    r h  Ta có f '  x   R3 x 4  x với x   0;2  24 2 R x  8  x  24 4  x f '  x    8  3x   x   Vì BT trắc nghiệm nên ta kết luận ln rằng, thể tích phễu lớn x   Vì ta xét  0;   mà f '  x   điểm ta làm nhanh mà khơng vẽ BBT Bài tốn 4: Từ kim loại dẻo hình quạt hình vẽ có kích thước bán kính R  chu vi hình quạt P  8  10 , người ta gò kim loại thành phễu theo hai cách: Gò kim loại ban đầu thành mặt xung quanh phễu Chia đôi kim loại thành hai phần gò thành mặt xung quanh hai phễu Gọi V1 thể tích phễu thứ nhất, V2 tổng thể tích hai phễu cách Tính A V1 ? V2 V1 21  V2 B V1 21  V2 C V1  V2 Đáp án B Phân tích: Do chu vi hình quạt trịn P đ ộ dài cung R Do độ dài cung trịn l  8 D V1  V2 Cơng Phá Tốn – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Lời giải Theo cách thứ nhất: 8 chu vi đường trịn đáy phễu Tức 2 r  8  r  2 2 Khi h  R  r     V1  3. Theo cách thứ hai: Thì tổng chu vi hai đường trịn đáy hai phễu 8  chu vi đường tròn đáy 4  4  2 r  r  2 2 2 Khi h  R  r    21  V2  21.2  V1 42 21   Khi V2 21 Bài toán 5: Một cốc dạng hình nón, chứa đầy rượu hình vẽ Do cụ Bá có tửu lượng nên cụ uống lượng rượu nên “chiều cao” rượu lại nửa chiều cao ban đầu Hỏi cụ uống phần cốc? A B C D Đáp án C Lời giải Ta thấy hình vẽ lượng rượu cịn lại cốc cụ Bá là: h R V2       h.R 2 24 Mặt khác thể tích cốc ban đầu V   hR Khi lượng rượu lại so với V 1 :   V1  V ( V1 lượng rượu uống) lượng ban đầu là:  V 24 8 ... R  12  12  12   S  3? ?? 2 Câu 12: Đáp án A Từ công thức phần lý thuyết ta chọn đáp án A Câu 13: Đáp án D Đặt bán kính bóng tennis R  S1  3. 4 R  12 R S   3. 2.R   2 R   12 R... · · Ta có: SAG  60  ·ASG  30   OAG Thể tích nửa mặt cầu là: Có OA  AG a a   a cos 30  3 Câu 9: Đáp án C 2 16   AI   23   cÇu 3 V1 Vậy V  2 1  3? ?? 21  Ta có: R      ... (đvtt)  60  OM  82 OM  OM  10 Thể tích khối cầu: 4 4000 3 cm3  Vậy VS   R   10   3 4 256 V2   R   43  (đvtt) 3 Câu 20: Đáp án D Vậy Kẻ trục đường tròn tam giác ABC, lấy giao