CÔNG PHÁ TOÁN 3 FILE WORD PHẦN (12)

LOVEBOOK.VN|1 LOVEBOOK.VN|2 Chủ đề 6: Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón The best or nothing Chủ đề VI MẶT CẦU, MẶT TRỤ, MẶT NÓN Vấn đề cần nắm: I Mặt cầu, khối cầu Định nghĩa I Mặt cầu, khối cầu II Mặt nón, khối nón, hình nón III Mặt trụ, khối trụ, hình trụ IV Các ứng dụng thực tế Tập hợp điểm M không gian cách điểm O cố định khoảng không đổi r  r   gọi mặt cầu tâm O bán kính r Người ta thường kí hiệu mặt cầu tâm O bán kính r S  O; r  - Nếu hai điểm C; D nằm mặt cầu S  O; r  đoạn thẳng CD gọi dây cung mặt cầu - Dây cung AB qua tâm O gọi đường kính mặt cầu Khi độ dài đường kính 2r a) b) Một mặt cầu xác định biết tâm bán kính biết đường kính mặt cầu Điểm nằm nằm ngồi mặt cầu Khối cầu Cho mặt cầu S  O; R  điểm A khơng gian (hình 6.1) a Nếu OA  R điểm A nằm mặt cầu Khi đoạn thẳng OA bán kính mặt cầu b Nếu OA  R ta nói điểm A nằm mặt cầu c Nếu OA  R ta nói điểm A nằm ngồi mặt cầu Nếu OA; OB hai bán kính mặt cầu thỏa mãn O, A, B thẳng hàng AB đường kính mặt cầu d Tập hợp điểm thuộc mặt cầu  S  với điểm nằm mặt cầu gọi khối cầu  S  hình cầu  S  Vậy khối cầu  S  tập hợp điểm A thỏa mãn OA  R Biểu diễn mặt cầu Người ta thường dùng phép chiếu vng góc lên mặt phẳng để biểu diễn mặt cầu Khi hình biểu diễn mặt cầu hình trịn Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng LOVEBOOK.VN|251 Cơng Phá Tốn – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Cho mặt phẳng  P  mặt cầu S  O; R  Gọi H hình chiếu O lên mặt phẳng  P  d  OH a Trường hợp d = R - Với điểm M khác H thuộc mặt phẳng  P  ta ln có OM  OH  R nên OM  R - Khi mặt phẳng  P  mặt cầu có điểm chung H ta nói mặt phẳng  P  tiếp xúc với mặt cầu S  O; R  (hình 6.2) - Điểm H tiếp điểm mặt cầu S  O; R  mặt phẳng  P  , mặt phẳng  P  gọi tiếp diện mặt cầu Lúc ta có Điều kiện cần đủ để mặt phẳng  P  tiếp xúc với mặt cầu S  O; R  điểm H  p  vng góc với bán kính OH điểm H b Trường hợp d > R Nếu M điểm mặt phẳng  P OM  OH Từ suy OM  R Vậy với điểm M thuộc mặt phẳng  P  nằm ngồi mặt cầu Do mặt phẳng  P  khơng cắt mặt cầu (hình 6.3) c Trường hợp d < R Trường hợp mặt phẳng cắt mặt cầu theo đường trịn tâm H, bán kính r  R2  d Thật vậy, gọi M điểm thuộc giao tuyến mặt phẳng  P  với mặt cầu S  O; R  Xét tam giác OMH ta có MH  R  d , M thuộc đường trịn tâm H nằm mặt phẳng  P  có bán kính r  R  d Đặc biệt h  tâm O mặt cầu thuộc mặt phẳng  P  ta có giao tuyến mặt phẳng  P  mặt cầu S  O; R  đường tròn tâm O bán kính R Đường trịn gọi đường tròn lớn Mặt phẳng qua tâm O mặt cầu gọi mặt phẳng kính mặt cầu Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu Tiếp tuyến mặt cầu Cho mặt cầu S  O; R  đường thẳng Δ Gọi H hình chiếu vng góc tâm O lên  d  OH khoảng cách từ O tới Δ Tương tự trường hợp mặt cầu mặt phẳng, ta có ba trường hợp sau đây: LOVEBOOK.VN|252 Chủ đề 6: Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón The best or nothing a Nếu d > R Δ khơng cắt mặt cầu S  O; R  , với điểm M thuộc Δ ta có OM  R điểm M thuộc đường thẳng Δ nằm mặt cầu (hình 6.5) b Nếu d = R điểm H thuộc mặt cầu S  O; R  Khi với điểm M thuộc Δ khác H ta ln có OM  OH  R  OM  r Vậy H điểm chung mặt cầu S  O; R  đường thẳng Δ Khi ta nói đường thẳng Δ tiếp xúc với mặt cầu S  O; R  H Điểm H gọi điểm tiếp xúc (hoặc tiếp điểm) Δ mặt cầu Đường thẳng Δ gọi tiếp tuyến mặt cầu Vậy ta có Điều kiện cần đủ để đường thẳng Δ tiếp xúc với mặt cầu S  O; R  điểm H Δ vng góc với bán kính OH điểm H (hình 6.6) c Nếu d < R đường thẳng Δ cắt mặt cầu S  O; R  hai điểm A, B phân biệt Hai điểm giao điểm đường thẳng Δ với đường tròn giao tuyến mặt cầu S  O; R  mặt phẳng  O;   (hình 6.7) Đặc biệt, d  đường thẳng Δ qua tâm O cắt mặt cầu hai điểm M, N Khi MN đường kính mặt cầu Nhận xét: Người ta chứng minh rằng: * Qua điểm A nằm mặt cầu S  O; R  có vơ số tiếp tuyến mặt cầu Tất tiếp tuyến vng góc với bán kính OA mặt cầu A nằm mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu điểm A Chú ý a Diện tích S mặt cầu bán kính r bốn lần diện tích hình trịn lớn mặt cầu b Thể tích V khối cầu bán kính r thể tích khối chóp có diện tích đáy diện tích mặt cầu có chiều cao bán kính mặt cầu * Qua điểm A nằm mặt cầu S  O; R  có vơ số tiếp tuyến với mặt cầu cho Các tiếp tuyến tạo thành mặt nón đỉnh A Khi độ dài đoạn thẳng kẻ từ A đến tiếp điểm Chú ý: Người ta nói mặt cầu nội tiếp hình đa diện mặt cầu tiếp xúc với tất mặt hình đa diện, cịn nói mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện tất đỉnh hình đa diện nằm mặt cầu Cơng thức tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu Mặt cầu có bán kính r có diện tích là: S  4 r Khối cầu có bán kính r tích là: V   r LOVEBOOK.VN|253 Cơng Phá Tốn – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Bổ sung số vấn đề mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp hình đa diện Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện Mặt cầu qua đỉnh hình đa diện H gọi mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện H hình đa diện H gọi hình đa diện nội tiếp mặt cầu a Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Điều kiện cần đủ để hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp đáy đa giác nội tiếp đường trịn Từ ta có Hệ Mọi hình tứ diện có mặt cầu ngoại tiếp Mọi hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp Các phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp STUDY TIP Khi hình chóp hình chóp đều, hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy thay mặt phẳng trung trực đường trung trực Khi dựng mặt phẳng trung trực cạnh bên, nên chọn cạnh bên hình chóp đồng phẳng với Δ Bài tốn: Xác định tâm I bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S A1 A2 An Lời giải Phương pháp 1 Xác định tâm O tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy A1 A2 An Dựng trục Δ trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy A1 A2 An (Δ đường thẳng qua tâm O đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy vng góc với mặt phẳng đáy) Vẽ mặt phẳng trung trực  P  cạnh bên hình chóp Giao mặt phẳng trung trực  P  đường thẳng Δ tâm I mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S A1 A2 An Phương pháp Xác định tâm O tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy A1 A2 An Dựng trục Δ trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy A1 A2 An Vẽ trục đường tròn ngoại tiếp tam giác mặt bên  cho Δ  đồng phẳng Lấy giao hai đường thẳng ta tâm đường tròn ngoại tiếp hình chóp Phương pháp Chứng minh đỉnh hình chóp nhìn đoạn thẳng nối hai đỉnh cịn lại góc vng Khi trung điểm đoạn thẳng nối hai đỉnh tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, đoạn thẳng nối hai đỉnh đường kính mặt cầu LOVEBOOK.VN|254 Chủ đề 6: Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón The best or nothing Phương pháp Tìm điểm đặc biệt cách đỉnh hình chóp Phương pháp Ta tạo lăng trụ quen thuộc để dễ dàng việc xác định tâm hay tính tốn yếu tố mặt cầu ngoại tiếp đa diện Bằng việc mở rộng khối đa diện cho, thay xác định tâm bán kính khối đa diện cách trực tiếp, ta xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện quen thuộc b Một số toán bật Bài tốn 1: Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác có cạnh đáy a chiều cao h Lời giải tổng qt Gọi S.ABC hình chóp tam giác đều, có chiều cao SH  h ; cạnh đáy a Trong mặt phẳng  SAH  kẻ đường trung trực cạnh SA, gọi I giao điểm đường trung trực cạnh SA SH Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Ta có cảm giác ABC tam giác nên H trọng tâm tam giác ABC a a  AH   3 Tam giác SAH vuông H  SA  SH  AH  h  a2 Tam giác SDI tam giác SHA hai tam giác đồng dạng nên a2 SA h2  2 SI SD  3h  a  SA    SI  SA SH SH 2SH 2h 6h SA Đến ta có kết luận: bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác có cạnh đáy a chiều cao h R  3h  a 6h Bài tốn 2: Tính bán kính hình chóp tứ giác có độ dài cạnh đáy a chiều cao h Lời giải tổng quát Tương tự toán ta có bán kính hình chóp tứ giác có độ dài cạnh đáy a chiều cao h R  2h  a 4h Tổng qt: Cơng thức đọc thêm: Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp n giác có cạnh đáy a chiều cao h R  LOVEBOOK.VN|255 180  a2 n 180  8h.sin n 4h sin Cơng Phá Tốn – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Bài toán 3: Xác định tâm bán kính tứ diện SABC có SA  a, SB  b , SC  c ba cạnh SA, SB, SC đơi vng góc Lời giải tổng quát Cách 1: Gọi H trung điểm AB Dễ thấy H tâm đường tròn ngoại tiếp SAB Mặt phẳng trung trực SC cắt trục đường trịn  SAB  O Ta có O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC Dễ thấy OH  R  SO  SH  HO  R AB  HO  c SA2  SB  HO a2  b2  c2 Cách 2: Sử dụng phương pháp 5: Phương pháp tạo lăng trụ bao Mở rộng tứ diện SABC thành hình hộp chữ nhật SADB.CMPQ Khi tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC tâm hình hộp chữ nhật SADB.CMPQ Khi OS  R  a  b  c (Cơng thức độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật tơi giới thiệu) Bài tốn 4: Cho tứ diện ABCD có AB  CD  c , AC  BD  b , AD  BC  a Tìm bán kính R bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện ABCD Lời giải tổng quát Gọi I J trung điểm AB CD dễ thấy IJ  AB, IJ  CD , hay nói cách khác IJ cạnh vng góc chung hai cạnh AB, CD Gọi O trung điểm IJ OA  OB OC  OD (Do IJ đường trung trực AB, CD) STUDY TIP Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện gần Do AB  CD nên IB  JC , hai tam giác OIB OJC Suy OB  OC Từ suy O cách bốn đỉnh tứ diện ABCD Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD mặt cầu có tâm O, bán kính R  OA Ta có OA2  OI  IA2  IJ AB IJ  c   4 Vì CI trung tuyến tam giác ABC nên IC  2a  2b  c , suy 2a  2b  c c a  b  c   IJ  CI  CJ  4 2 2 Như R  OA2   a  b  c   R  a  b2  c2 Bài tốn 5*: Cho mặt cầu bán kính R cố định Tìm hình chóp tứ giác có LOVEBOOK.VN|256 Chủ đề 6: Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón The best or nothing thể tích lớn nội tiếp mặt cầu Đây toán mà kết hợp yếu tố hình khơng gian giải tích (tìm max hàm số khoảng (đoạn)) Lời giải tổng qt Giả sử S.ABCD hình chóp tứ giác nội tiếp mặt cầu bán kính R đường cao SH qua tâm mặt cầu Gọi a, h cạnh đáy, chiều cao hình chóp áp dụng tốn ta có R 2h  a với  h  R 4h  a  2h  R  h  2 Thể tích khối chóp V  a h  2h  R  h  3 Đến ta có hai cách STUDY TIP Hình chóp tứ giác tích lớn nội tiếp mặt cầu bán kính R cố định hình chóp tứ giác có cạnh , chiều cao thể tích Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức h h    2R  h  h h 2 64 R  Ta có V   R  h     2  81    Dấu xảy Khi a  h 4R  2R  h  h  4R Cách 2: Xét hàm 2 Xét hàm số f  h   h  R  h   0; 2R  2 4R Ta có f '  h   R.2h  3h  Rh  2h   h  Kết tương tự 3 3 Đến ta rút Study Tip để ghi nhớ c Mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ Một hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đứng với đáy đa giác nội tiếp đường trịn Hệ Hình hộp H có mặt cầu ngoại tiếp H hình hộp chữ nhật Tâm O mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật giao điểm đường chéo, độ dài đường chéo đường kính mặt cầu Khi R  a  b2  c2 Bài toán 6: Trong số hình hộp nội tiếp hình cầu bán kính R cho trước, hình hộp LOVEBOOK.VN|257 Cơng Phá Tốn – Lớp 12 Ngọc Huyền LB có tổng kích thước lớn Lời giải Ta có hình hộp nội tiếp mặt cầu bán kính R nên hình hộp chữ nhật kích thước a, b, c liên hệ với bán kính mặt cầu công thức a  b2  c2  4R2 Tổng kích thước hình hộp  a  b  c  Mặt khác, ta có  a  b  c   a  b  c   12 R  a  b  c  2R   a  b  c   8R Dấu xảy a  b  c  hình lập phương có cạnh 2R Khi hình hộp cần tìm 2R Bài toán 7: Trong hình nội tiếp mặt cầu tâm I bán kính R, hình hộp tích lớn bằng: A R B 3 R3 C R 3 D 8R Đáp án B Lời giải Hình vẽ bên minh họa hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' nội tiếp mặt cầu tâm I bán kính R STUDY TIP Cho hình hộp chữ nhật có kích thước a, b, c độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật tính cơng thức Vì tính đối xứng nên hình hộp nội tiếp khối cầu ln hình hộp nội tiếp khối cầu ln hình hộp chữ nhật Do đặt ba kích thước hình hộp chữ nhật a, b, c Khi thể tích hình hộp chữ nhật V  abc Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương ta có a  b  c  3 abc  V   abc  3   a  b  c 2   a  b  c    R   64 R           3 27          64 R R V   27 3 d Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp cụt (đọc thêm) Một hình chóp cụt có mặt cầu ngoại tiếp đáy hình chóp cụt nội tiếp đường trịn có cạnh bên Hệ LOVEBOOK.VN|258 Chủ đề 6: Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón The best or nothing Mọi hình chóp cụt ln có mặt cầu ngoại tiếp Cho hai đường tròn C  I ; r  , C '  I '; r '  nằm hai mặt phẳng  P   P ' mà  P  ||  P ' , II '   P  , II '  h Khi mặt cầu qua hai đường trịn cho Bài tốn 8: Cho hình chóp cụt ABCD A ' B ' C ' D ' có hai đáy ABCD A ' B ' C ' D ' hai tứ giác nội tiếp hai đường trịn có bán kính r , r ' Biết hình chóp cụt có chiều cao h Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp cụt ABCD A ' B ' C ' D ' Lời giải Gọi I , I ' tâm hai đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD; A ' B ' C ' D ' Theo giả thiết hình chóp cụt nội tiếp mặt cầu nên cạnh bên nhau, II ' trục hai đường trịn đáy Kí hiệu hình vẽ bên AA ' I ' I hình thang vng I , I ' Gọi O giao điểm đường trung trực cạnh AA ' với II ' Khi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp cụt cho mặt cầu tâm I bán kính R  OA Ta có R  OA '2  r '2  OI '2  r '2  x với x  OI ' STUDY TIP Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp cụt r, r’ hai bán kính đường trịn ngoại tiếp hai đáy hình chóp cụt h độ dài đường cao hình chóp cụt Mặt khác R  OA2  r   II ' x   r   h  x  Từ 2hx  r  h  r '2 hay x  Suy R h  r'  2  r  r '2  r  h  r '2 2h 4h 2 Mặt cầu nội tiếp hình chóp, hình đa diện Một mặt cầu dc gọi nội tiếp đa diện (hay đa diện ngoại tiếp mặt cầu) mặt cầu tiếp xúc với mặt đa diện Hệ Với mặt cầu tâm O, bán kính r nội tiếp hình đa diện cho trước a Hình chiếu điểm O mặt đa diện điểm tiếp xúc mặt cầu mặt đa diện, khoảng cách từ O đến mặt b Gọi V thể tích khối đa diện, Stp diện tích tồn phần hình đa diện V  Stp r (*) Hệ Mọi hình tứ diện ln có mặt cầu nội tiếp Hình chóp có mặt cầu nội tiếp Chứng minh cơng thức (*) ta có LOVEBOOK.VN|259 Cơng Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Nối O với đỉnh hình đa diện ta dc hình chóp đỉnh O, đáy mặt 1 1 hình đa diện Khi đó: V  S1.r  S r   Sn r  Stp r 3 3 Từ công thức (*) ta suy cơng thức tính bán kính mặt cầu nội tiếp khối đa diện sau: Bài toán 9: Mặt cầu nội tiếp hình tứ diện có cạnh a Lời giải Từ công thức (*) ta có r  3V Mặt khác ta có cơng thức tính thể tích tứ diện Stp phần thể tích khối đa diện mà tơi giới thiệu là: V  Từ ta có r  a3 ; 12 3a  a  a :   12    12 Bài tốn 10: Cho hình chóp tam giác S.ABC, đáy ABC tam giác cạnh a, mặt bên tạo với đáy góc    0    90  Tính theo a α bán kính r mặt cầu nội tiếp hình chóp đó? Lời giải Kẻ SH đường cao hình chóp S.ABC Do tam giác ABC nên H thuộc AM đường trung tuyến kẻ từ A tam giác ABC Gọi I tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp, I  SH Do I tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp SABC nên MI đường phân giác · góc SMA Khi ta có IH bán kính r mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABC Ta có IH  MH tan  a   tan Bài toán 11: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a ·ASB   Xác định tâm bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp Lời giải Gọi H giao điểm hai đường chéo tứ giác ABCD suy SH đường cao hình chóp S.ABCD Gọi M trung điểm AB · Ta có giao điểm phân giác góc SMH SH tâm I mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD Ta có SA   SH  a  2.sin a2 4.sin  ; SH  SA2  HA2  a2 a  a cos    2sin    2.sin 2.sin 2 LOVEBOOK.VN|260 Chủ đề 6: Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón Áp dụng tính chất phân giác ta có The best or nothing IH MH IH MH    IS MS IS  IH MS  MH a cos  a  2.sin r a cos  2 r   r   SH a  a cot   cot     cot  sin  cos  2 2 2 2  Bài tốn 12: Cho hình chóp S.ABCD cạnh đáy a Chiều cao h Tìm tâm, bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp Lời giải Gọi H giao điểm AC BD SH đường cao hình chóp S.ABCD Gọi H1 trung điểm BC, SH1  BC (do tam giác SBC cân S) · H cắt SH O Kẻ phân giác góc SH  SH1  BC  BC   SHH1    SBC    SHH1  Ta có   HH1  BC Kẻ OK vng góc với SH1 K  SBC    SHH1    SBC    SHH1   SH1  OK   SBC   d  O;  SBC    OK OK  SH  · H nên OH  OK Mặt khác H1O phân giác góc SH  d  O;  ABCD    d  O;  SBC   Chứng minh tương tự với mặt phẳng lại ta O tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD Theo tính chất đường phân giác tam giác ta có  HH1 OH   OH  r  SH SH1  HH1 a h 2 a a  h2  OH HH1  SO SH1 r ah 4h  a  a Chú ý: Ta có kết sau: Hình chóp có mặt cầu nội tiếp đáy hình chóp có điểm cách tất mặt bên hình chóp Đọc thêm: Xét hình chóp cụt hình chóp sinh hình chóp cụt Nếu tồn mặt cầu nội tiếp hình chóp mặt cầu nội tiếp hình chóp sinh hình chóp cụt Do việc xác định tâm tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp cụt xác định tâm bán kính mặt cầu hình chóp sinh hình LOVEBOOK.VN|261 Cơng Phá Tốn – Lớp 12 Ngọc Huyền LB chóp cụt với ý hình chóp cụt có mặt cầu nội tiếp với tâm I, bán kính r tâm I trung điểm OO’, O, O’ điểm tiếp xúc mặt cầu với hai đáy hình chóp cụt OO’ = 2r chiều cao hình chóp cụt LOVEBOOK.VN|262 ...  Stp r 3 3 Từ công thức (*) ta suy cơng thức tính bán kính mặt cầu nội tiếp khối đa diện sau: Bài toán 9: Mặt cầu nội tiếp hình tứ diện có cạnh a Lời giải Từ cơng thức (*) ta có r  3V Mặt... số dương ta có a  b  c  3 abc  V   abc  3   a  b  c 2   a  b  c    R   64 R           3 27          64 R R V   27 3 d Mặt cầu ngoại tiếp hình... hàm 2 Xét hàm số f  h   h  R  h   0; 2R  2 4R Ta có f '  h   R.2h  3h  Rh  2h   h  Kết tương tự 3 3 Đến ta rút Study Tip để ghi nhớ c Mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ Một hình