Thông tin tài liệu
LOVEBOOK.VN|1 LOVEBOOK.VN|2 Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm The best or nothing C Lý thuyết giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Định nghĩa Ở phần A, giới thiệu giá trị cực đai, giá trị cực tiểu hàm số Vậy khác giá trị cực đại giá trị lớn (hay giá trị cực tiểu giá trị nhỏ nhất) gì? Ta trả lời Cho hàm số y = f (x) xác định tập D a Số M gọi giá trị lớn hàm số y f x tập D f x M với x thuộc D tồn x0 D cho f x0 M f x Kí hiệu M max D b Số m gọi giá trị nhỏ hàm số y f x tập D f x m với x thuộc D tồn x0 D cho f x0 m f x Kí hiệu m D Đến đây, ta kết luận: Giá trị cực đại (cực tiểu) hàm số xét vùng lân cận với điểm cực trị, thường gọi "cực trị địa phương", giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số xét tồn miền Ví dụ cụ thể thể giá trị lớn (nhỏ nhất) điểm cực đại điểm cực tiểu đồ thị hàm số thể hình 1.13 Ta thấy giá trị cực đại giá trị lớn hàm số khác Điểm cực đại nằm khoảng đồng biến khoảng nghịch biến, giá trị lớn tung độ điểm "cao nhất" đồ thị hàm số a; b Chú ý rằng, hình 1.13, giá trị lớn hàm số nằm điểm đầu mút a; b , giá trị lớn giá trị nhỏ trùng với giá trị cực trị hàm số Ta thấy đồ thị hàm liên tục có giá trị lớn giá trị nhỏ nhất, nên ta có định lý Định lý Mọi hàm số liên tục a; b có giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn a; b Chú ý: Với hàm liên tục ln có giá trị lớn giá trị nhỏ giá trị lớn giá trị nhỏ đạt khơng điểm x a mà có LOVEBOOK.VN|97 Cơng Phá Tốn – Lớp 12 Ngọc Huyền LB thể nhiều Ví dụ hình 1.14 với đồ thị hàm số f x x Trên 3;3 , hàm số đạt giá trị nhỏ x x 3 Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số liên tục đoạn Để việc tìm GTLN, GTNN hàm số a; b nhanh hơn, ta áp dụng nhận xét Chú ý Hàm số liên tục khoảng khơng có giá trị lớn giá trị nhỏ khoảng Ví dụ hàm số khơng có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ khoảng sau: Tìm điểm x1 ; x2 ; ; xn khoảng a; b f ' x f ' x khơng xác định Tính f a ; f x1 ; f x2 ; ; f xn ; f b Tìm số lớn M số nhỏ m số Ta có M max f x ; m f x a ;b a ;b Dưới số ví dụ tiêu biểu, từ ví dụ này, ta đưa kết luận hàm số tiêu biểu kết luận đơn điệu đoạn a; b cho trước 5x Biết M giá trị lớn hàm số 0;1 , 2x m GTNN hàm số 0;1 , giá trị biểu thức M m Ví dụ 1: Cho hàm số y A 21 B C 11 D Đáp án A Lời giải 5x đơn điệu 0;1 nên hàm số đạt GTLN, GTNN 2x 0;1 điểm đầu mút, nên ta khơng cần tính y ' mà có ln Ta thấy hàm số y M m f f 1 5.1 21 2.1 Ví dụ 2: Cho hàm số y x x x Tìm GTLN, GTNN hàm số 1; 2 ? Lời giải Ta có y ' 25 x x , hàm số cho đồng biến ¡ f x Khi GTLN, GTNN hàm số f 1 12 Min 1;2 Max f x f 189 1;2 LOVEBOOK.VN|98 Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm The best or nothing Ví dụ 3: Tìm GTLN, GTNN hàm số y x 1;5 ? Lời giải 2 ' y ' x 2 x với x 1 Ta có 3 x 1 Vậy 1;5 hàm số ln đồng biến Từ ta có Min f x f 1 3 1;5 Max f x f 11 1;5 Ví dụ 4: Tìm GTLN, GTNN hàm số y x x 1;3 ? Lời giải Điều kiện: x x Ta có y ' x 3x 2 x5 x3 với x thỏa mãn điều kiện Vậy hàm số cho đồng biến 1;3 , từ suy Min f x f 1 3; Max f x f 3 271 1;3 1;3 Từ ví dụ ta rút kết luận sau: STUDY TIP Với hàm số tổng hàm đồng biến, nghịch biến đồng biến, nghịch biến, nên GTLN, GTNN đạt đầu mút STUDY TIP Ví dụ vận dụng kết luận phía để đưa cách giải bên cạnh Các hàm đa thức bao gồm hạng tử có bậc lẻ hệ số tự có hệ số số âm, dương ln đơn điệu tập xác định nên GTLN, GTNN xảy điểm đầu mút Các hàm có dạng ax b ; ax b ; ax b ; hay tổng quát có dạng ax b thường đồng biến a , nghịch biến a nên GTLN, GTNN xảy điểm đầu mút n ax b d đơn điệu a; b với a; b không chứa nên cx d c GTLN, GTNN xảy điểm đầu mút Hàm số y Ví dụ 5: Cho hàm số y xm y Mệnh đề (m tham số thực) thỏa mãn 2;4 x 1 đúng? A m 1 B m C m Đáp án C Lời giải Xét hàm số y 1 m xm đoạn 2; 4 Ta có y ' x 1 x 1 LOVEBOOK.VN|99 D m Cơng Phá Tốn – Lớp 12 Ngọc Huyền LB + Nếu m 1 y ' 0, x 2; Hàm số đồng biến 2; 4 y y m m (không thỏa mãn m 1 ) Khi 2;4 + Nếu m 1 y ' 0, x 2; Hàm số nghịch biến 2; 4 Khi y y 2;4 4m m (thỏa mãn) Vậy m 3 Các dạng toán Dạng toán 1: Dùng định nghĩa tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Phương pháp chung Giả sử hàm số f xác định miền D D ¡ f x M , x D f x * M max D x0 D : f x0 M f x m, x D f x * m D x0 D : f x0 m Ví dụ 1: Giá trị nhỏ P x x tập xác định Đáp án A Lời giải Tập xác định D 0; 1 1 Ta có P x x x x x 2 4 Do max P D 1 x x 4 Ví dụ 2: Giá trị nhỏ A A A 12 C A 18 x 3x x 1 tập xác định B A D A 13 11 36 Đáp án D Lời giải Tập xác định D ¡ \ 1 LOVEBOOK.VN|100 Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm Ta có A x 3x x 1 x x 1 x 1 x 1 1 The best or nothing x x 1 2 11 11 Đặt t Lúc A 5t 9t 3t x 1 36 36 Vậy A 11 5 13 x t 36 18 x 1 18 Đối với máy tính cầm tay fx-570VN PLUS máy tính VINACAL 570 ES PLUS II ta tìm GTLN; GTNN tam thức bậc hai cách sử dụng MODE EQN Sau nhập hệ số số hạng tam thức Ấn liên tiếp lần ta có kết giá trị lớn giá trị nhỏ Trong toán ta ấn MODE EQN Sau ấn Máy hình bên mx n Giá trị m, n cho giá trị lớn giá trị x2 nhỏ hàm số D ‒1 Ví dụ 3: Cho hàm số y A m; n 3; B m; n 4; 3 ; 4; 3 C m; n 3; 4 D m; n 4;3 ; 4;3 Đáp án D Lời giải STUDY TIP Với tốn tìm GTLN, GTNN ta cần đặc biệt ý dấu xảy Nếu dấu khơng xảy ta phải kiểm tra lại bước làm Tập xác định D ¡ Ta có mx n 4, x ¡ y 4, x ¡ x y4 * max ¡ x0 ¡ , y x0 x0 ¡ , mx20 n x0 4 x mx n 0, x ¡ x0 ¡ , x0 mx0 n 1 1 1 m 16 n * 1 * Tương tự ta có x mx n 1 0, x ¡ 2 y 1 2 ¡ x0 ¡ , x0 mx0 n 1 2 m n 1 ** LOVEBOOK.VN|101 Cơng Phá Tốn – Lớp 12 Ngọc Huyền LB m m 16 n n Từ (1) (2) ta có m 4 m n 1 n Dạng tốn 2: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số cách dựa vào miền giá trị hàm số Phương pháp chung Cho hàm số y f x xác định D y0 f D phương trình y0 f x có nghiệm f x y0 max f x D D Trong trường hợp biến số ta xét toán tổng quát sau: Cho số thực x; y thỏa mãn điều kiện F x, y Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức P G x; y Bước 1: Gọi T tập giá trị P Khi m T hệ phương trình F x; y 1 sau có nghiệm G x; y m Bước 2: Tìm giá trị m để hệ (1) có nghiệm (thường đưa điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai), suy tập giá trị T P Từ suy giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức P G x; y Ví dụ 1: Tổng giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số y x 1 x x 1 tập xác định A S B S C S D S Đáp án A Lời giải Tập xác định: D ¡ 1 Do x x x 0, x ¡ nên 2 y x 1 y x x 1 x yx y 1 x y * x x 1 * Nếu y * x x 1 * Nếu y (*) có nghiệm LOVEBOOK.VN|102 Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm The best or nothing y 1 y y 1 y 1 1 y y 1; y Kết hợp hai trường hợp ta tập giá trị hàm số y Do max y 1; y S 3 Ví dụ 2: Giá trị lớn giá trị nhỏ A x 10 x tập xác định 3x x A max A ; A B max A 7; A C max A 5; A D max A 17 17 ; A 4 Đáp án D Lời giải STUDY TIP Với tốn này, nhiều độc giả khơng xét trường hợp mà coi (*) phương trình bậc hai bị chọn sai kết B Tập xác định: D ¡ Ta có A x 10 x A x A x A * 3x x * 3A A x 26 * 3A A (*) phương trình bậc hai x Do phương trình (*) có nghiệm ' A 5 A A 3 A2 10 A 25 A2 11A 2 A2 A 19 Do max A 17 17 A 4 17 17 A 4 Dạng tốn 3: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số phương pháp hàm số Phương pháp chung Phương pháp 1: Sử dụng đạo hàm tính trực tiếp Cách 1: Thường dùng tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số khoảng Tính f ' x LOVEBOOK.VN|103 Cơng Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Xét dấu f ' x lập bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên kết luận min, max Cách 2: Thường dùng tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số liên tục đoạn a; b Tính f ' x Tìm điểm x1 ; x2 ; ; xn khoảng a; b , f ' x f ' x không xác định Tính f a ; f x1 ; f x2 ; ; f xn ; f b Tìm số lớn M số nhỏ m số Ta có M m f x ; m f x a ;b a ;b Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ m hàm số y x x 11x đoạn 0; 2 A m 11 B m C m 2 D m Đáp án C Lời giải Ta thấy tìm GTNN đoạn 0; 2 nên ta áp dụng cách để giải tốn nhanh chóng hiệu x Đạo hàm y ' 3x 14 x 11 x 1 3x 11 ; y ' x 11 Do x 0; 2 nên có x thỏa mãn y y 2 Ta có y 2; y 1 3; y nên m 0;2 Ví dụ 2: Giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số y x 0; 2 lần x lượt y ; không tồn 0;2 0;2 C max y ; y 1 0;2 0;2 A max y B max y ; y 0;2 0;2 D max y ; y 0;2 0;2 Đáp án A Lời giải Ta có y ' 0, x 0; x2 Ta có hàm số đồng biến liên tục 0; 2 LOVEBOOK.VN|104 Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm 60cm, người ta gị tơn thành mặt xung quanh hộp có dạng hình hộp chữ nhật cho chiều rộng tôn chiều cao hộp Hỏi thể tích lớn hộp bao nhiêu? A 4000cm3 B 9000cm3 hàng rào song song với bờ sơng chi phí ngun vật liệu 60 000 đồng mét, ba mặt hàng rào song song chi phí nguyên vật liệu 50 000 đồng mét Tìm diện tích lớn đất rào thu C 18000cm3 A V 36 B V 54 D 4500cm3 Câu 23: Một người có dải băng dài 130 cm, người cần bọc dải băng đỏ quanh hộp q hình trụ Khi bọc quà, người dùng 10 cm dải băng để thắt nơ nắp hộp (như hình vẽ minh họa) Hỏi dải băng bọc hộp q tích lớn bao nhiêu? A 4000 cm3 B 32000 cm3 C 1000 cm3 D 16000 cm3 Câu 24: Một người nơng dân có 15 000 000 đồng để làm hàng rào hình chữ E dọc theo sơng (như hình vẽ) để làm khu đất có hai phần chữ nhật để trồng rau Đối với mặt Nhà sản xuất tìm cách để cho vắt mì tơm tích lớn hộp với mục đích thu hút khách hàng Tìm thể tích lớn đó? C V 48 81 D V A 6250m B 1250m C 3125m D 50m Câu 25: Khi sản xuất hộp mì tơm, nhà sản xuất để khoảng trống đáy hộp để nước chảy xuống ngấm vào vắt mì, giúp mì chín Hình vẽ mơ tả cấu trúc hộp mì tơm (hình vẽ mang tính chất minh họa) Vắt mì tơm có hình khối trụ, hộp mì tơm có dạng hình nón cụt cắt hình nón có chiều cao cm bán kính đáy cm Câu 26: Cơng ty mĩ phẩm chuẩn bị mẫu sản phẩm dưỡng da mang tên Ngọc Trai với thiết kế khối cầu viên ngọc trai khổng lồ, bên khối trụ nằm nửa khối cầu để đựng kem dưỡng, hình vẽ (hình ảnh mang tính chất minh họa) Theo dự kiến, nhà sản xuất có dự định để khối cầu có bán kính R 3cm Tìm thể tích lớn khối trụ đựng kem để thể tích thực ghi bìa hộp lớn (với mục đích thu hút khách hàng) The best or nothing A 54 cm3 B 18 cm3 C 108 cm3 D 45 cm3 Câu 27: Có hồ hình chữ nhật rộng 50m, dài 200m Một vận động viên tập luyện chạy phối hợp với bơi sau: Xuất phát từ vị trí điểm A chạy theo chiều dài bể bơi đến vị trí điểm M bơi từ vị trí điểm M thẳng đến đích điểm B (đường nét đậm) hình vẽ Hỏi vận động viên nên chọn vị trí điểm M cách điểm A mét (kết làm tròn đến hàng đơn vị) để đến đích nhanh nhất, biết vận tốc bơi 1,6 m/s, vận tốc chạy 4,8 m/s Công Phá Toán – Lớp 12 A 178 m B 182 m C 180 m D 184 m Câu 28: Trên đoạn đường giao thơng có đường vng góc với O hình vẽ Một địa danh lịch sử có vị trí đặt M, vị trí M cách đường OE 125m cách đường Ox 1km Vì lý thực tiễn người ta muốn làm đoạn đường thẳng AB qua vị trí M, biết giá để làm 100m đường 150 triệu đồng Chọn vị trí A B để hồn thành đường với chi phí thấp Hỏi chi phí thấp để hoàn thành đường bao nhiêu? A 1,9063 tỷ đồng B 2,3965 tỷ đồng C 2,0963 tỷ đồng D tỷ đồng Câu 31: Nhà Văn hóa Thanh niên thành phố X muốn trang trí đèn dây led gần cổng để đón xuân Đinh Dậu 2017 nên nhờ bạn Na đến giúp Ban giám đốc Nhà Văn hóa Thanh niên cho bạn Na biết chỗ chuẩn bị trang trí có hai trụ đèn Ngọc Huyền LB cao áp mạ kẽm đặt cố định vị trí A B có độ cao 10 m 30 m, khoảng cách hai trụ đèn 24 m yêu cầu bạn Na chọn chốt vị trí M mặt đất nằm hai chân trụ đèn để giăng đèn dây led nối đến hai đỉnh C D trụ đèn (như hình vẽ) Hỏi bạn Na phải đặt chốt vị trí cách trụ đèn B mặt đất để tổng độ dài hai sợi dây đèn led ngắn nhất? A 20 m m C 18 m m B D 12 Câu 32: Một sợi dây kim loại dài 60cm cắt thành hai đoạn Đoạn dây thứ uốn thành hình vng, đoạn dây thứ hai uốn thành vịng trịn (như hình vẽ) Tính độ dài bán kính hình trịn cho tổng diện tích hình vng hình trịn nhỏ nhất? 30 (cm) 4 120 B (cm) 4 A 60 C (cm) 4 240 D (cm) 4 Câu 33: Một miếng bìa hình tam giác ABC, cạnh 16 Học sinh Trang cắt hình chữ nhật MNPQ từ miếng bìa để làm biển trơng xe cho lớp buổi ngoại khóa (với M, N thuộc cạnh BC, P Q tương ứng thuộc cạnh AC AB) Diện tích hình chữ nhật MNPQ lớn bao nhiêu? A 16 B C 32 D 34 Câu 34: Một chất điểm chuyển động theo phương trình S 2t 18t 2t , t tính giây (s) S tính mét (m) Thời gian vận tốc chất điểm đạt giá trị lớn là: A t 5s B t 6s C t 3s D t 1s Câu 35: Một nhà máy cần thiết kế bể đựng nước hình trụ tơn tích 64 m Tìm bán kính đáy r hình trụ cho hình trụ làm tốn nhiên liệu A r m B r 16 m C r 32 m D r m Câu 36: Một xưởng sản xuất thùng kẽm hình hộp chữ nhật khơng có nắp có kích thước x, y, z (dm) Biết tỉ số hai cạnh đáy x : y 1: , thể tích hộp 18 lít Để tốn vật liệu kích thước thùng là: A x 2; y 6; z B x 1; y 3; z C x ; y ;z 2 D x ; y ; z 24 2 Câu 37: Cho nhơm hình vng cạnh 1m hình vẽ Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm Người ta cắt phần tô đậm nhôm gập lại thành hình chóp tứ giác có cạnh đáy x (m) cho bốn đỉnh hình vng gập lại thành đỉnh hình chóp Giá trị x để khối chóp nhận tích lớn là: A x B x C x D x 2 2 The best or nothing Cơng Phá Tốn – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Hướng dẫn giải chi tiết Câu 1: Đáp án A Giả sử giữ lại x mét dài tường cũ phá 12 x mét dài để lấy gạch xây phần tường nhà kho (hình vẽ) Ta có chiều cao khối hộp tạo thành x với x , mặt đáy hình vng có cạnh 18 2x Khi thể tích khối hộp tính cơng thức V 18 x x 4.x x 18 x 81 x 72 x 324 x Xét hàm số f x x 72 x 324 x 0;9 Ta có f ' x 12 x 144 x 324 ; x f ' x x Loại 9, x Nếu a giá xây 1m dài tường với vật liệu ax giá sửa chữa x mét dài tường cũ Giá xây a 12 x 12 x mét tận dụng vật liệu cũ Câu 3: Đáp án B Số lượng cá thu đơn vị diện tích mặt hồ là: f n n.P n n 480 20n 20n 480n 2880 20n 480n 2880 2880 20 n 24n 144 2800 20 n 12 Để hoàn chỉnh việc xây cạnh y phải xây y 12 x mét dài tốn thêm a x y 12 Ta có 2880 20 n 12 2880 Giá xây hai tường lại a x y Tổng Dấu xảy n 12 cộng xây tường tốn ax a 12 x a x y 12 ax ay a 7x 8y 6a Biểu thức nhỏ x y nhỏ nhất, với xy 112 Theo bất đẳng thức Cauchy có x y 56 xy 112 Vậy x y nhỏ x y 2 Câu 4: Đáp án D Gọi số hộ bị bỏ trống x ( x 0;50 ) Số tiền tháng thu cho thuê nhà 2000000 50000 x 50 x Khảo sát hàm số với x 0;50 ta số tiền lớn công ty thu x hay số tiền cho thuê tháng 2.250.000 Câu 5: Đáp án C Bài toán tương tự ví dụ mà tơi giới thiệu Từ xy 112 x y , tìm Giả sử người đến điểm M bờ sông, tiếp tục từ M B x 128 11,3 Khi ta có hình vẽ minh họa sau: Vì tường cũ dài 12m, cần dỡ bỏ khoảng 0,7m dài Câu 2: Đáp án B Tương tự đề minh họa mơn Tốn năm 2017 lần mà đưa phần ứng dụng lý thuyết Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm The best or nothing xét hàm số để tìm giá trị nhỏ hàm số Lời giải Nếu đặt chiều rộng bể x, chiều sâu bể 1,5x 12 2 1,5x x Qng đường người thể hình vẽ Lúc chiều dài đáy bể là: Ta tính PQ sau: Vậy diện tích tồn phần bể là: PQ 6152 487 118 492 m Stp S xq 2S day x .1,5 x 2.x x x Khi đặt PM x MQ 492 x Vậy, quãng đường người để lấy nước tính cơng thức: S f x AM MB 1182 x 492 x 487 x 1182 x 492 x 492 x 487 2 24 16 20 20 3x2 x x x x Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương 20 20 3.20.20 ta có x x x Dấu xảy Ta có f ' x 3x 3x 0 Đến ta nhập vào máy tính sử dụng lệnh SHIFT SOLVE tìm X lẻ hình: 20 20 20 x3 x 1,88 m x 3 Lúc chiều dài bể là: 2, 26 m x2 Câu 7: Đáp án A Gọi độ dài chiều rộng bể bơi x (m) chiều dài bể bơi 2x (m) Lúc chiều cao 500 250 (m) bể bơi tính bằng: h 3.x.2 x 3x Lúc giá trị lưu vào X, nên ta nhập biểu thức f x vào máy, lúc máy giá trị f x X hình: Do chi phí th cơng nhân tính theo mét vng, nên để chi phí thấp ta tìm kích thước hồ cho có tổng diện tích xung quanh diện tích đáy nhỏ Ta có biểu thức tính tổng diện tích xung quanh diện tích đáy theo x sau: S f x x x 250 500 x.2 x 2x2 3x x 250 250 2x x x Câu 6: Đáp án C Phân tích: Một tốn tối ưu thực tế hay, ta có mối tương quan biến cho trước thể tích hình hộp chữ nhật Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: Do đề cho mối tương quan chiều rộng chiều sâu bể, nên ta quy hết ẩn, biểu diễn diện tích tồn phần bể theo ẩn đó, từ 250 250 x 3 250.250.2 x x Dấu xảy 250 250 2x2 x x Cơng Phá Tốn – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Câu 8: Đáp án D Khi ta có cơng thức tính thể tích khối trụ Phân tích: Đây tốn tổng qt, ta nên xét kĩ tốn này, đưa cơng thức tổng quát để từ ta áp dụng công thức V f x r ' h x Lời giải Gọi hai kích thước hình trụ r; h, r bán kính đường trịn đáy h chiều cao hình trụ V Ta có mối quan hệ: V r h h r Để tiết kiệm chi phí diện tích tồn phần hình trụ phải nhỏ Tức là: f r 2. r.h 2 r 2 r V 2V 2 r 2 r 2 r r V V 2 r 3 2 V r r r2 x h x h2 r2 2h Khi f ' x 2hx x x h x0 Đến ta chọn C Câu 11: Đáp án A Ta có hàm vận tốc đạo hàm hàm quãng đường, ta có v s ' 3t 12t 3 t 4t 12 12 t 12 Dấu xảy t Câu 12: Đáp án C V V Dấu xảy 2 r r r 2 Câu 9: Đáp án A Bài toán giống toán 8, thay đổi lon sữa Câu 10: Đáp án C Phân tích: Ta có hình vẽ sau: Ta có 200 v t t E v cv 200 Khi v 8 200 Do c số nên để v 8 200v lượng tiêu hao f v đạt giá trị v 8 nhỏ Xét hàm số f v 8; ta có f ' v 200 3v v v v 8 200 2v3 24v v 8 ; f ' v v 12 Câu 13: Đáp án B Đề u cầu tìm x để phần khơng gian nằm phía N phía ngồi T đạt giá trị nhỏ nhất, tương đương với tìm x để thể tích khối trụ T đạt giá trị lớn (bài toán tương tự tốn vắt mì tơm mà tơi giới thiệu câu 11 đề sách đề Tinh túy mơn tốn 2017) Nên tơi trình bày lời giải ln Lời giải Áp dụng định lí Thales ta có: x r' xr r' h r h Tương tự tốn tính thời gian tính giá tiền Giả sử S điểm mà đường dây điện nối đưới dất từ A đến S, sau từ S đến C đường dây điện đặt nước Lúc đặt SB x ( x ), SA x Khi SC BC SB 12 x x Vậy chi phí lắp đặt tính cơng thức f x 5000 x x 3000 (USD) Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm Ta có f ' x 5000 x x2 3000 x 0, 75 (Bấm máy sử dụng nút SHIFT SOLVE ta nghiệm x 0, 75 ) Lúc SA 0, 75 13 Câu 14: Đáp án C The best or nothing Dấu xảy 144 6a a 24 b 24 a Câu 16: Đáp án A Bài toán tương tự tốn tìm thời gian ngắn ví dụ 8, Cũng có hai cách di chuyển, có vận tốc Ở tốn ta có hình vẽ minh họa sau để dễ tưởng tượng Do độ dày kính khơng đáng kể nên Thể tích bể cá là: V abc 1, 296 Diện tích tổng miếng kính S ab 2ac 3bc (kể miếng giữa) Ta có: S 3 33 33 33 abc c 4b4 4a 4c 4b 3a abc 1, 296 Cauchy cho sè , , c b a a 1,8 1 Dấu “=” xảy c b a b 1, abc 1, 296 c 0, Câu 15: Đáp án A Phân tích: Tương tự câu 14, nhiên, câu 14 có ẩn, ta biểu diễn hàm theo hai ẩn, cịn câu này, có hai ẩn, nên ta sử dụng kiện đề để đưa hàm ẩn Lời giải Do thể tích bể cá 72dm3 nên ta có 72 3ab b 24 a Vậy tổng diện tích nguyên liệu để làm bể tính công thức: S f a 2.3.a 2.3b ab f a 6a Đặt vận tốc bơi chiến sĩ v, vận tốc chạy chiến sĩ 2v Kí hiệu hình vẽ, qng đường bơi chiến sĩ l1 x 1002 Quãng đường chạy chiến sĩ là: l2 10002 100 x 300 11 x Vậy thời gian mà chiến sĩ đến mục tiêu là: t x 1002 300 11 x v 2v x 1002 300 11 x 2v Do v không đổi nên t x 1002 300 11 x f x f ' x 2x x 1002 1 Bấm máy sử dụng SHIFT SOLVE ta được: 24 24 144 a 6a 24 a a a Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta được: 6a 144 144 6a 24 a a f a 24 24 Lúc máy tự động gán X Do đề u cầu tìm qng đường bơi sơng tức ta tìm l1 x 100 Ta tiếp tục bấm X 1002 , kết quả: Cơng Phá Tốn – Lớp 12 Ngọc Huyền LB R3 V f x r h x 4 x với 24 x 0; 2 Vậy l1 Ta có f ' x 200 Câu 17: Đáp án B Tìm liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất, tức tìm x cho H x đạt giá trị lớn Ta có H x 0,025 x 30 x 0, 0125 x 60 x 2 R x 8 x 24 4 x 2 Vì BT trắc nghiệm nên ta kết luận f ' x 8 3x x thể tích phễu lớn x Vì ta xét 0; 2 mà f ' x 0, 0125.x.x 60 x điểm ta làm nhanh mà không vẽ BBT Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được: Câu 21: Đáp án C x x 60 x x.x 60 x 20 Dấu xảy x 60 x x 20 Câu 18: Đáp án D Đặt NP x Khi PQ R x x Lúc diện tích hình chữ nhật cho tính DH BH ABC có DH || AC AC BC công thức: S 2.x x BH AC CH 0,5 AC BC AC BC BC BC Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: AC AC 2.x x x x Đến ta chọn C, mà không cần xét dấu xảy AB BC AC AB AC AC AC Câu 22: Đáp án D Ta có hình vẽ minh họa sau: Điều kiện: AC Sử dụng MTCT MODE ta y 5,5902 Câu 19: Đáp án A Áp dụng công thức tổng quát mà ta chứng minh câu ta có r V 2000 10 3 2 2 Câu 20: Đáp án B Với độc giả cần nhớ lại công thức tính độ dài cung trịn Độ dài cung trịn AB dùng làm phễu là: Nếu gọi chiều rộng đáy hình hộp chữ nhật x chiều dài đáy hình hộp 30 x (Với 30 nửa chu vi đáy) Lúc thể tích hình hộp tính cơng thức: V f x x 30 x 20 Áp dụng bất đẳng thức a b 4ab ta có 20.x 30 x x 30 x 20 Câu 23: Đáp án C 4500 cm3 Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm The best or nothing Phân tích: Một tốn thực tế hay ứng dụng việc tìm giá trị lớn hàm số Ta nhận thấy, dải băng tạo thành hai hình chữ nhật quanh hộp, chiều dài dải băng tổng chu vi hai hình chữ nhật Tất nhiên chiều dài băng phải trừ phần băng dùng để thắt nơ, có nghĩa là: Cách 1: Xét hàm số khoảng, vẽ BBT kết luận GTLN: 2.2 r h 120 h 30 r Ta có BBT: Xét hàm số f x f ' x 10 x 500 , f ' x x 50 x Khi thể tích hộp q tính cơng thức: f ' x V B.h r 30 2r 2r 30r f x 5 x 500 x 0;100 + 50 100 6250 Xét hàm số f r 2r 30r 0;15 r l f ' r 6r 60r ; f ' r r 10 f r f 10 Khi Khi vẽ BBT ta nhận Max 0;10 thể tích hộp q V B.h 102.10 1000 Cách 2: Nhẩm nhanh sau: Ta biết A g x A với x, nên ta nhẩm nhanh dc: f x 5 x 100 x x 2.50.x 2500 2500 2 Câu 24: Đáp án A 2500 x 50 6250 Phân tích: Ta đặt kích thước hàng rào hình vẽ: Hoặc bấm máy tính phần giải phương trình bậc hai ẩn nhiều lần máy sau: Từ đề ban đầu ta có mối quan hệ sau: Do bác nông dân trả 15 000 000 đồng để chi trả cho nguyên vật liệu biết giá thành mặt nên ta có mối quan hệ: x.50000 y.60 000 15 000 000 15 x 12 y 1500 y Vậy ta có kết tốn Câu 25: Đáp án C Phân tích: Đây thực chất tốn khối trụ nội tiếp khối nón, ta có kí hiệu kích thước sau: 1500 15 x 500 x 12 Diện tích khu vườn sau rào tính công thức: f x 2.x y x 500 x 5 x 500 x Đến ta có hai cách để tìm giá trị lớn diện tích: Ta tích vắt mì tơm tính V B.h r h Cơng Phá Tốn – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Đây ứng dụng tốn tìm GTLN, GTNN khoảng (đoạn) xác định: làm Tuy nhiên tơi vẽ để g iari thích rõ cho quý độc giả hiểu Ta đưa thể tích hàm số biến theo h r h Trước tiên ta cần tìm mối liên hệ h r Nhìn vào hình vẽ ta thấy mối quan hệ vng góc song song, dùng định lý Thales ta có: f ' h + f h 18 3r 3 r Khi V f r r 9 r 2 với r r f ' r r 18 r r Khi ta khơng cần phải vẽ BBT ta suy với r V đạt GTLN, V 48 Câu 26: Đáp án A Đây toán thực tế dựa ứng dụng: khối trụ nội tiếp nửa khối cầu Ta có mặt cắt nửa khối cầu đựng mĩ phẩm với kích thước thể hình vẽ sau: R f 3 h 6r 18 3r h 2 R R R f 3 54 Mà f 3 Vậy Vmax 54 Câu 27: Đáp án B Tương tự toán trên, ta thiết lập ln cơng thức tính thời gian: x t 4,8 200 x 502 1, Ta có t' 200 x x 182 m 4,8 1, 200 x 502 Giải phương trình cách bấm máy, sử dụng SHIFT CALC : Ý tưởng toán dựa kiến thức học tìm GTLN-GTNN hàm số biến khoảng (đoạn) Ở có hai biến r h Do ta tìm cách để đưa biến, đưa biến theo biến Ở đưa r theo h Câu 28: Đáp án C Ta có hình vẽ minh họa sau: Ta nhận thấy theo định lý Pytago r R h Khi Vtru B.h r h R h h h3 R h Để thể tích khối trụ lớn f h h R h có GTLN 0; R f ' h 3h R h R 3 Ta có BBT (dĩ nhiên làm thi trắc nghiệm, quý độc giả không thiết phải vẽ BBT Kí hiệu hình vẽ Đặt AM a Lúc để viết MB theo a, ta để ý thấy hai tam giác APM MQB đồng dạng Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm The best or nothing Lúc AP AM AM MQ a.1000 MB MQ MB AP a 1252 Câu 32: Đáp án A Lúc để hoàn thành đường với chi phí thấp nhất, tức AB có độ dài ngắn Từ x 1000a Tức f a a Ta có a 125 a đạt giá trị nhỏ Tổng diện tích hình vng hình tròn a2 a 1252 a 1252 1252 30 30 r , r S r x2 r a 1252 f ' a 1000 1000 Gọi x độ dài cạnh hình vng r bán kính hình trịn Ta có x 2 r 60 1252 a 1252 a 279,5 Sử dụng nút SHIFT Solve ta kết trên: Lúc chi phí thấp để hồn thành đường là: 150 000 000 f a0 2, 0963 tỷ đồng 100 Do máy tính gán giá trị nghiệm tìm vào X nên ta không cần dùng lệnh SHIFT STO mà nhập X vào biểu thức để có kết quả: 30 r 2 f r Xét hàm số r 15 r 225 2 30 f ' r Ta có r 15 r 4 Câu 33: Đáp án C Đặt nửa chiều dài hình chữ nhật x x 8 Lúc suy NC x Áp dụng định lý Thales ta có CP x 16 NC CP AC x Áp dụng định lý Pytago ta có 2 x Bài toán quen thuộc, đặt AM x ; BM 24 x Lúc ta có độ dài đoạn dây đèn led tính cơng thức: f x CM DM x 102 x x 102 x NP NP x Vậy S MNPQ x x Câu 31: Đáp án C f ' x 24 x 24 x 24 x Lúc MB 24 18 (m) 302 302 0 x6 Áp dụng bất đẳng thức 4ab a b ta có: 4.x x 32 Câu 34: Đáp án C 2 Ta có v 2t 18t 2t 1 ' 6t 36t v ' 12t 36 t 3s Câu 35: Đáp án C Cơng Phá Tốn – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Gọi chiều cao bể h, lúc ta có V r h 64 r h 64 h 64 r2 Vậy ta có diện tích tồn phần bể là: Stp S xq Sday 2 r 64 64 2 r 2 r r r 32 32 2 r r r Vậy áp dụng định lý pytago cho tam giác vuông SHM ta có: x x 2 SH SM HM 2 2 2x 1 2 Vậy V SH x 2 x x 3 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được: 2 32 32 2 r 3 32.32 r r Điều kiện x 32 r r 32 Dấu xảy r Ta có y ' 2 2 x Câu 36: Đáp án A 2 2x x x Ta có y 3x , lúc theo đề ta có xyz 18 x z 18 z x2 Lúc Stp S xq Sday x 3x x.3x x2 24 24 x 24.24.3 x x Dấu xảy Suy y 6; z 24 x x3 x x Câu 37: Đáp án D Ta có hình vẽ Kí hiệu hình vẽ Do hình vng có cạnh 1m nên độ dài đường chéo hình vng m Lúc ta có MS 2x m x 2 2x 0 2 Book Cover ... x? ?3 x 1 Câu 18: Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f x x x 12 x 10 đoạn ? ?3; 3 là: f x 1; f x ? ?35 A max ? ?3; 3 ? ?3; 3 f x 17; f x 10 C max ? ?3; 3 ? ?3; 3... Xét hàm số y x x2 liên tục D ? ?3; 3 , có: y ' 2 x 9 x 2 3x x2 y ' x 3x x x 13x 36 x x 36 13 36 ? ?3; 3 13 Giá trị nhỏ hàm số LOVEBOOK.VN|122 Chủ... f ? ?3? ?? ? ?35 1 17 10 3? ?? Xét hàm số y x3 3x liên tục 2;1 , ta max f x 17 ? ?3; 3 Vậy f x ? ?35 max ? ?3; 3 có: Câu 19: Đáp án A y ' ? ?3 x x
Ngày đăng: 01/11/2022, 10:10
Xem thêm:
