Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 78 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
LOVEBOOK.VN|1 LOVEBOOK.VN|2 LỜI MỞ ĐẦU N gay từ bước chân vào ngưỡng cửa đai học (tháng 8/2016), suy nghĩ nhiều sách giúp cho em học sinh tự tin với môn Tốn u thích Hơn nữa, kể từ năm nay, em học sinh phải làm thi mơn Tốn hình thức Trắc nghiệm với áp lực thời gian lớn (riêng kì thi THPT quốc gia, em phải làm 50 câu/90 phút) Bởi mà tài liệu giúp em tối ưu thời gian ôn luyện trở nên cần thiết hết Chính thế, sau tham khảo ý kiến thầy cô bạn bè, định bắt tay vào viết sách (1/11/2016) Sau gần tháng miệt mài làm việc, với giúp đỡ thầy cơ, bạn bè, tơi hồn thành xong đứa tinh thần Sách phát hành lần vào 6/4/2017 Chỉ tháng phát hành, 4000 bán ra, phá bỏ kỉ lục nhà sách Lovebook từ năm 2012 đến Khơng có thế, sách cịn nhận nhiều phản hồi tích cực em học sinh, quý thầy cô nước Dưới đây, xin phép chia sẻ số phản hồi thầy cô em học sinh đọc Cơng Phá Tốn lần phát hành đầu tiên: “Cảm nhận ban đầu thầy sách đẹp chất Đầy đủ dạng toán, tập thời nóng tuyển chọn từ trường nước Hơn lại có lời giải chi tiết dễ hiểu, điều giúp học sinh có điều kiện so sánh đối chiếu kết sau làm Thầy nghĩ thực có ích cho em học sinh kì thi tới.” Thầy Nguyễn Thư, giáo viên Tốn, THPT Phương Xá, Phú Thọ “Cơng Phá Tốn có giải thích cách sử dụng máy tính tích hợp rõ ràng mạch lạc Cuốn sách phù hợp với bạn cần tổng ôn lại tất dạng tốn qua tư liệu giải thích rõ ràng rành mạch dạng toán từ 7,0-8,8 điểm Cuốn sách phù hợp đặc biệt với bạn khủng hoảng mơn tốn, cày tập trung tháng hết sách điểm em lẹt đẹt mức 6,0-7,0 em tăng mạnh 1,0-2,0 điểm sau học hết sách này.” Thầy Đồn Trí Dũng, giáo viên Tốn, TTLT Thành Công, Hà Nội “Cô đọc nửa CPT em rồi! Cơ chi tiết đẹp Đây sách hay sách tham khảo cô đọc!” Cô Trần Cẩm Huyền, giáo viên Toán, THPT Cẩm Phả, Quảng Ninh “Cuốn sách thực khiến chị ngỡ ngàng bị hút Cơng phá tốn sách chun nghiệp giống tài liệu nước thực thụ Thực sự, chị thích cách mà em trình bày, khoa học, bắt mắt.” LOVEBOOK.VN|3 Cô Đỗ Bảo Thoa, giáo viên Tốn xã Đơng n, huyện Quốc Oai, Hà Nội “Sáng nay, thầy mua sách Cơng Phá Tốn em viết, thầy ấn tượng Qua sách, thầy thấy khả em, niềm đam mê tận tâm với công việc.” Thầy Mạc Đăng Nghi, phó Hiệu Trưởng THPT chun Nguyễn Trãi, Hải Dương “Cơng Phá Toán (tập 3) đầy đủ nội dung phù hợp cho em học sinh giai đoạn tổng ơn luyện! Cuốn sách trình bày màu đẹp với chủ đề trọng tâm phần cuối tổng ôn luyện đề Sách dày 400 trang mà ngỡ ngàn trang, nội dung phủ khắp mảng Toán 12, với câu hỏi lời giải chi tiết có kết hợp kỹ sử dụng máy tính bỏ túi làm trắc nghiệm nhanh” Thầy Lưu Cơng Hồn, THPT Nguyễn Trãi, Hịa Bình “Ở Cơng Phá Tốn, lý thuyết bản, cách giải dạng tập, công thức giải nhanh, cách tính casio… giáo tương lai trình bày đầy đủ, chi tiết dễ hiểu Cùng với cách trình bày cột đơi bên phải nội dung sách, bên trái Study Tip Ngồi cịn trình bày nhiều cách giải lúc, bao gồm cách giải truyền thống, giải công thức giải nhanh, giải casio Có tập tự luyện đề thi tự luyện cho em học sinh Tất nội dung phối hợp với cách sáng tạo, logic mang phong cách riêng!” Thầy Nguyễn Văn Lực, giáo viên Toán TP Cần Thơ “Đọc xong Cơng Phá Tốn Bộ đề chuyên, nhận thấy cô đầu tư nhiều tâm huyết với Sách viết chi tiết, cập nhật kiến thức dễ hiểu, mong Huyền cố gắng tác phẩm hay hơn, mang tính chất chuyên nghiệp viết sách.” Thầy Mai Tiến Linh, giáo viên Toán, THPT Tĩnh Gia 4, Thanh Hóa “Nhờ có sách Cơng Phá Tốn mà em xử lí tập nhanh hơn, câu đồ thị cần nhẩm vài giây mà không cần bấm chị ạ.” Em Nguyễn Phụng Yến, THPT chun Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp “Phải nói Cơng Phá Toán tuyệt, từ ngữ dễ hiểu, tập giải rõ ràng, tháng cuối em làm người yêu với sách chị Em thắc mắc phần hàm số khơng có tương giao đồ thị Tuyệt vời Hình học khơng gian túy, em ngu phần có tiếng, đọc sách chị rồi” Em Phan Thị Thùy Giang, THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Quảng Nam “Cuốn Cơng Phá Tốn thay đổi điểm số em nhiều, em chăm học hỏi ghi chép mảng kiến thức ghi vào đầu sách Em cảm ơn chị nhiều viết nên sách tuyệt vời vậy.” Em Lê Nhựt Hào, THPT TP Cao Lãnh, Đồng Tháp LOVEBOOK.VN|4 “Em từ đứa khơng nắm kiến thức tốn Suốt ngày qua, em tập trung đọc Cơng Phá Tốn chị, em cịn chương thơi, CPT chị có tất tần tật, nhờ mà em nắm lý thuyết, câu lí thuyết em tự tin mà làm Những cơng thức giải nhanh cho mà giải thường làm chị truyền đạt cho chúng em.” Em Nguyễn Thị Ngân, THPT Giá Rai, Bạc Liêu “Cơng Phá Tốn chị wonderful q Đọc mãi, tìm hiểu mà khơng biết chán Từ hôm em bắt đầu lên kế hoạch cày chuyên đề một, cày tới nát bét thơi Mẹ em bảo nhìn sách biết imnfh học hành mà, giữ sách không tốt chị nhỉ.” Em Nguyễn Thị Thu Thủy, THPT Ninh Giang, Hải Dương Còn nhiều tin nhắn facebook, email chia sẻ sách mà kể hết Thực sự, tình cảm quan tâm người danh cho CPT vượt q kì vọng tơi Sau kì THPT Quốc gia 2017 kết thúc, niềm vui lại tiếp tục đến với người em ngày đêm nghiền ngẫm sách đạt kết cao liên tục báo tin vui cho tơi, ví dụ em Nguyễn Đức Giang (10 điểm), em Mai Thùy Dương (10 điểm), em Lê Viết Thắng (9,8 điểm), em Phạm Trung Hiếu (9,6 điểm), em Thái An Phú (9,2 điểm),… Mặc dù vậy, lần phát hành đầu tiên, sách tránh khỏi mặt hạn chế, thiếu sót Tuy nhiên, thật may mắn tơi liên tục thầy em góp ý để sách hoàn thiện Trong suốt tháng quá, liên tục cập nhật mảnh ghép thiếu ý tưởng mẻ để trở lại năm học sách trở nên hoàn thiện tối ưu Ngoài ra, lần tái thứ này, cập nhật toàn tập đề thi THPT Quốc gia 2017 vừa theo dạng sách Có thể cịn chỗ chưa hồn hảo 100% tin chắn Công Phá Toán lần tái thứ hồn thiện hơn, tối ưu nhiều Cơng phá tốn giúp em gì? Thứ nhất, sách giúp em hệ thống lại toàn phương pháp, tư giải tốn cần thiết chương trình lớp 12 Đặc biệt, trọng tới vấn đề mà học sinh thường hay nhầm lẫn Thứ hai, sách giúp em nắm toàn vấn đề hay nhất, cần thiết 200 đề thi thử trưởng, Sở Giáo dục Đào tạo tồn quốc Hàng ngày có nhiều đề thi không đảm bảo chất lượng, câu hỏi không bám sát cấu trúc đề thi Bộ Giáo dục Đào tạo Cuốn sách giúp em sàng lọc vấn đề quan trọng CẦN phải học để tiết kiệm thời gian sưu tầm, in ấn đề Ngồi ra, tập chất lượng cịn giúp em khắc sâu thêm tư giải toán trắc nghiệm lớp 12 LOVEBOOK.VN|5 Thứ ba, sách giúp em nắm kĩ xử lý casio cần thiết việc học toán lớp 12 Tuy nhiên Cơng phá tốn này, tất kĩ MTCT gắn chặt với tư giải Tốn, khơng đơn thao tác bấm máy thông thường Thứ tư, sách tích hợp hệ thống gửi tài liệu qua Mail, để học sinh khai thác triệt để sách Ngoài gửi qua Mail đáp án chi tiết 10 đề tự luyện theo trình tự thời gian, tơi cịn gửi thêm số tài liệu hay, liên quan tới nội dung sách sưu tầm để em thêm lần khai thác triệt để giá trị sách Đây cách để đảm bảo quyền lợi cho em, quý độc giả sử dụng sách hãng Chính đặc điểm trên, mong em học sinh, quý độc giả thường xuyên trao đổi, liên hệ với tơi để tơi có hội phục vụ quý vị tốt Trước đọc kĩ vào nội dung sách, mong em, quý độc giả nắm tổng thể nội dung sách Cuốn sách viết chia thành phần sau: - Phần thứ nhất: ° Hệ thống tư duy, phương pháp giải dạng tốn theo chun đề ° Hệ thống ví dụ, tập minh họa điển hình kèm phân tích, đánh giá, mở rộng ° Hệ thống tập rèn luyện kèm lời giải chi tiết chọn lọc kĩ từ 250 đề thi thử trường toàn quốc - Phần thứ hai: 11 kiểm tra tổng ôn luyện sau chủ đề Đáp án lời giải chi tiết nhà sách Lovebook gửi đặn qua Mail (Quý độc giả vui lòng khai báo hãng tại: congphatoan.com để nhận Mail) Cách học cho hiệu quả? Để sử dụng sách hiệu quả, em nên có kế hoạch cụ thể Khi có kế hoạch cụ thể đo lường hiệu sử dụng sách Ở đây, xin phép chia học sinh thành đối tượng sử dụng sách: Đối tượng 1: Mới bắt đầu học chương trình lớp 12 (các em chuẩn bị lên lớp 12) Trong trường hợp này, cách khuyên em nên học theo trình tự xếp sách, học: Đầu tiên đọc kĩ lý thuyết, phương pháp, đọc vào ví dụ minh họa cuối luyện tập tập rèn luyện Tuy nhiên đọc lý thuyết hay phương pháp mà mơ màng, em bỏ qua, đọc tiếp vào phần Ví dụ minh họa Trong số trường hợp, thơng qua lời giải phân tích phần Ví dụ minh họa giúp em hiểu nắm vững phần lý thuyết, phương pháp Sau kết thúc chủ đề, em bấm thời gian 90 phút để hoàn thiện kiểm tra Đối tượng 2: Học xong chương trình (hoặc chuẩn bị thi THPT Quốc gia) Các em xem phần cịn yếu, chưa chắn đánh dấu lại, xem kĩ phần ví dụ minh họa Sau xem xong em luyện hết phần Bài tập rèn luyện LOVEBOOK.VN|6 Trong trình làm tập rèn luyện, nhớ đối chiếu ngược trở lại phần lý thuyết ví dụ minh họa để khắc sâu kiến thức Ngồi ra, em làm kiểm tra cuối chủ đề trước đọc kĩ nội dung Việc nắm bắt xem mức độ chủ đề trước đọc giúp em có định hướng, điều chỉnh tốc độ đọc sách hợp lí Sau nghiền ngẫm thật kĩ chủ đề làm nhuần nhuyễn 11 kiểm tra chủ đề, nhớ luyện kĩ thêm 25 đề “Bộ đề tinh túy 2018” để vận dụng kiến thức đề thi thực tế hiệu hơn, tối ưu Đối tượng 3: Các em xuất sắc hẳn Đối với em có mức học giỏi trở lên cần tập trung việc Thứ nhất, em cần lưu ý đặc biệt tới phần STUDY TIP hệ thống tập rèn luyện Những quen thuộc bỏ qua Ngồi ra, riêng em học sinh thuộc đối tượng đối tượng 3, em nên tham khảo thêm 25 đề “Bộ đề tinh túy 2018” để củng cố thật kiến thức lớp 12 Trong trường hợp, làm đề, em nên tạo mơi trường, khơng khí GIỐNG Y NHƯ LÚC THI THẬT Thứ hai, dù bận đến mấy, sau làm đề xong phải làm hai việc: XEM LẠI ĐÁP ÁN CHI TIẾT CHẤM ĐIỂM Do vừa bước chân vào đại học, kinh nghiệm sư phạm chưa nhiều, sách viết riêng tôi, chắn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tơi mong nhận góp ý từ em học sinh quý độc giả toàn quốc Mọi góp ý xin gửi facebook.com/huyenvu2405 ngochuyenlb.hnue@gmail.com Group chuyên môn: facebook.com/groups/ngochuyenfamily/ Fan page: facebook.com/ngochuyenlb Điện thoại/Zalo: 0981557224 Kênh chăm sóc nhà sách: facebook.com/lovebookcaretoan LOVEBOOK.VN|7 fb: MỤC LỤC CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ VÀ CÁC ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM 10 I Tính đơn điệu hàm số 10 II Cực trị hàm số giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số 49 III Đường tiệm cận 152 IV Các dạng đồ thị hàm số thường gặp .181 V Sự tương giao hai đồ thị hàm số .205 VI Tổng ôn tập chủ đề .222 CHỦ ĐỀ HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT 240 I Lũy thừa – Hàm số lũy thừa 240 II Logarit – Hàm số logarit 243 III Hàm số mũ .244 IV Ứng dụng hàm số mũ, hàm số logarit thực tế 246 V Phương trình mũ phương trình logarit 272 VI Các toán biến đổi logarit 292 VII Tổng ôn tập chủ đề 323 CHỦ ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 333 I Nguyên hàm tính chất .333 II Hai phương pháp để tìm nguyên hàm 334 III Các dạng toán nguyên hàm .338 IV Bổ sung số vấn đề nguyên hàm 344 V Khái niệm tính chất tích phân 358 VI Hai phương pháp tính tích phân 360 VII Ứng dụng hình học tích phân 363 VIII Một số tốn tích phân gốc thường gặp 369 IX Ứng dụng nguyên hàm, tích phân thực tế .396 X Tổng ôn tập chủ đề 404 LOVEBOOK.VN|8 CHỦ ĐỀ SỐ PHỨC 416 I Số phức 416 II Các phép toán với số phức 417 III Tổng ôn tập chủ đề 452 CHỦ ĐỀ KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA MỘT SỐ KHỐI ĐA DIỆN QUEN THUỘC 457 I Khái niệm hình đa diện khối đa diện .457 II Khối đa diện lồi khối đa diện 460 III Thể tích khối đa diện 461 IV Tổng ôn tập chủ đề 501 CHỦ ĐỀ MẶT CẦU, MẶT TRỤ, MẶT NÓN 507 I Mặt cầu, khối cầu .507 II Mặt nón, hình nón, khối nón 541 III Mặt trụ, hình trụ, khối nón 547 IV Tổng ôn tập chủ đề 564 CHỦ ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN .571 I Hệ tọa độ không gian 571 II Phương trình mặt phẳng 573 III Phương trình đường thẳng 581 IV Mặt cầu 626 V Tổng ôn tập chủ đề .641 LOVEBOOK.VN|9 Chủ đề I Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Hàm số ứng dụng đạo hàm Vấn đề cần nắm: I Tính đơn điệu hàm số A Lý thuyết I Tính đơn điệu hàm số II Cực trị hàm số III GTLN, GTNN hàm số ứng dụng IV Đường tiệm cận V Các dạng đồ thị VI Tương giao Hàm số đồng biến nghịch biến K (với K khoảng (đoạn), nửa khoảng) gọi chung hàm số đơn điệu K Tính đơn điệu hàm số dấu đạo hàm Định lý Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm K a Nếu f ' ( x ) > với x thuộc K hàm số f ( x ) đồng biến K b Nếu f ' ( x ) < với x thuộc K hàm số f ( x ) nghịch biến K Chú ý Tóm lại, K: f ' ( x ) > ⇒ f ( x ) đồng biến Nếu khơng đổi K f ' ( x ) < ⇒ f ( x ) nghịch biến Định lý mở rộng Giả sử hàm số f ( x ) có đạo hàm khoảng K a Nếu f ' ( x ) ≥ với x ∈ K f ' ( x ) = số hữu hạn điểm K hàm số đồng biến K b Nếu f ' ( x ) ≤ với x ∈ K f ' ( x ) = số hữu hạn điểm K hàm số nghịch biến K c Nếu f ' ( x ) = với x ∈ K hàm số không đổi K Giả sử hàm số f ( x ) liên tục nửa khoảng [ a; b ) có đạo hàm khoảng ( a; b ) a Nếu f ' ( x ) > (hoặc f ' ( x ) < ) với x ∈ ( a; b ) hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) nửa khoảng [ a; b ) b Nếu f ' ( x ) = với x ∈ ( a; b ) hàm số khơng đổi nửa khoảng [ a; b ) - Nếu hàm số đồng biến K đồ thị hàm số lên từ trái sang phải - Nếu hàm số nghịch biến K đồ thị hàm số xuống từ trái sang phải (hình 1.1) Ví dụ: Hàm số có đồ thị hình 1.1 nghịch biến khoảng ( −∞;a ) , không đổi khoảng ( a; b ) đồng biến khoảng ( b; +∞ ) LOVEBOOK.VN|10 Cơng Phá Tốn – Lớp 12 Ngọc Huyền LB 1 − ( m − ) − = ⇔ m = 2 32 m − ÷ = −1 3 3 Một số ví dụ khác Ví dụ 1: Giá trị m để đồ thị ( Cm ) : y = x + ( m − 3) x + 11 − 3m có hai điểm cực trị A B cho ba điểm A; B; C ( 0; −1) thẳng hàng A m = B m = C m = D m = −1 Đáp án B Lời giải x = Xét phương trình y ' = ⇔ x + ( m − 3) x = ⇔ x = − m Đồ thị ( Cm ) có hai điểm cực trị A B − m ≠ ⇔ m ≠ Áp dụng tốn tổng qt số ta có phương trình qua hai điểm cực trị A; B AB : y = − ( m − 3) x + 11 − 3m Để A, B, C thẳng hàng C ( 0; −1) ∈ AB : y = − ( m − 3) x + 11 − 3m ⇔ −1 = 11 − 3m ⇔ m = (thỏa mãn yêu cầu đề bài) Ví dụ 2: Tất giá trị m để đồ thị ( Cm ) : y = x3 − 3mx + ( m − 1) x − m3 + m có hai điểm cực trị A điểm cực đại, B điểm cực tiểu cho OA = 2OB A m = + 2 B m = −2 − 2; m = −2 + C m = −3 − D m = −3 + 2; m = −3 − 2 Đáp án D Lời giải Ta có b − 3ac = > 0, ∀m ∈ ¡ Suy đồ thị hàm số ln có hai điểm cực trị STUDY TIP Sở dĩ toán ta kết luận điểm cực đại hàm số điểm cực tiểu hàm số ta dựa vào cách nhận dạng đồ thị hàm bậc ba có phương trình có hai nghiệm phân biệt hệ số đồ thị dạng chữ N Ta có ∆ y ' = ⇒ phương trình y ' = có hai nghiệm phân biệt x1 = m − 1; x2 = m + ⇒ x1 < x2 Vì hệ số a = > nên x = x1 điểm cực đại hàm số x = x2 điểm cực tiểu hàm số ⇒ A ( m − 1; − 2m ) B ( m + 1; −2 − 2m ) Theo đề ta có OA = 2OB ⇔ OA2 = 2OB ⇔ m + 6m + = Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm The best or nothing m = −3 + 2 ⇔ (thỏa mãn yêu cầu đề bài) m = −3 − 2 Ví dụ 3: Giá trị m để đồ thị hàm số ( Cm ) : y = x − 3mx + có hai điểm cực trị B, C cho tam giác ABC cân A với A ( 2;3) A m = 0; m = B m = 1; m = C m = D m = Đáp án C Lời giải STUDY TIP Khi giải toán chứa tham số ta nên ý xem phương trình giải nghiệm hay khơng Ta có số kết sau: Tổng hệ số số hạng phương trình phương trình có nghiệm Tổng hệ số bậc chẵn hệ số bậc lẻ số hạng phương trình phương trình có nghiệm Lưu ý xét để giải nghiệm phương trình nhanh Để hàm số có hai cực trị y ' = ⇔ 3x − 3m = có hai nghiệm phân biệt ( ) ⇔ m > Khi tọa độ hai điểm cực trị B; C B − m ; m + ; C ( ) ( uuur m ; −2 m3 + ⇒ BC = m ; −4 m3 ) Gọi I trung điểm BC ⇒ I ( 0;1) uur uuur ∆ABC cân A ⇔ AI BC = ⇔ −4 m + m3 = ⇔ m = 0; m = Đối chiếu với điều kiện ta có m = giá trị cần tìm 2 Ví dụ 4: Giá trị m để đồ thị ( Cm ) : y = x − 3mx + ( m − 1) x − m + 4m − có hai điểm cực trị A, B cho ∆OAB vuông A A m = −1; m = B m = 1; m = −2 C m = 1; m = −1 D m = −1; m = Đáp án A Lời giải x = m +1 ⇒ y = m − 2 Ta có y ' = 3x − 6mx + ( m − 1) = ⇔ x = m −1 ⇒ y = m +1 uuu r A ( m + 1; m − 3) OA = ( m + 1; m − 3) ⇒ ⇒ uuu r OB = ( m − 1; m + 1) B ( m − 1; m + 1) uuu r uuu r m = −1 Do tam giác OAB vuông O ⇔ OA.OB = ⇔ 2m − 2m − = ⇔ m = Vậy m = −1 m = giá trị cần tìm Cơng Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB 2.2 Xét hàm số bậc bốn trùng phương có dạng y = ax4 + bx2 + c, (a ≠ 0) x = Ta có y ' = 4ax + 2bx = ⇔ 2ax + b = Đến ta có nhận xét hàm số bậc bốn trùng phương ln có điểm cực trị Số điểm cực trị phụ thuộc vào nghiệm phương trình 2ax + b = −b ≤ tức a, b dấu b = phương trình vơ nghiệm 2a có nghiệm x = Khi hàm số có điểm cực trị x = a Nếu b Nếu −b > tức a, b trái dấu phương trình có hai nghiệm phân biệt 2a x=± − b b Nghĩa hàm số có ba điểm cực trị x = 0; x = ± − 2a 2a Ta vừa chứng minh trên, ab < hàm số có ba điểm cực trị x = ; x=± − b 2a Khi đồ thị hàm số cho có ba điểm cực trị là: b ∆ b ∆ A ( 0; c ) , B − − ; − ÷ , C − ; − ÷ ÷ ÷ với ∆ = b − 4ac (Hình minh họa) a a a a b b b ab b +c (Chứng minh: ta có f − ÷ = a − ÷ + b − ÷ +c = − 2a ÷ 2a ÷ 2a ÷ 4a a = ab − 2ab + 4a c −ab + 4ac −b + 4ac (đpcm)) = = 4a 4a 4a ⇒ AB = AC = STUDY TIP Qua ta rút kết quả, để đồ thị hàm số , có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cần điều kiện Ta loại điều kiện a, b trái dấu từ công thức cuối thu ta ln có a, b trái dấu b4 b b − ; BC = − 16a 2a 2a Bài tốn 1: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = ax + bx + c, ( a ≠ ) có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông Lời giải tổng quát Với ab < hàm số có ba điểm cực trị Do điểm A ( 0; c ) nằm Oy cách hai điểm B, C Nên tam giác ABC phải vuông cân A Điều tương đương với AB ⊥ AC (do AB = AC có sẵn rồi) uuur b b uuur b b2 ; AC = − ; − Mặt khác ta có AB = − − ; − ÷ ÷ 2a 4a ÷ 2a 4a ÷ uuur uuur b b4 b3 Do AB ⊥ AC nên AB AC = ⇔ + = ⇔ = −8 2a 16a a Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm The best or nothing Ví dụ 1: Tìm tập hợp tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x − 8m x + có điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác vuông cân 1 2 A { 0} 1 2 1 2 C − B D − ; Đáp án D Lời giải Cách 1: Lời giải thông thường Cách 2: Áp dụng công thức TXĐ: D = ¡ Để điểm cực trị đồ thị hàm số ba đỉnh tam giác vuông cân 2 Ta có: y ' = x ( x − 4m ) Hàm số có ba điểm cực trị phương trình y ' = có nghiệm phân biệt ⇔ m ≠ ( −8m2 ) = −8 b3 = −8 ⇔ a Lúc đó, ba điểm cực trị là: ⇔m=± A ( 2m; −16m + 3) , B ( 0;3 ) , C ( −2m; −16m + ) Nên BA = BC Do đó, tam giác ABC cân B Khi đó, tam giác ABC vuông cân uuu r uuur khi: BA.BC = ⇔ 4m − 256m8 = m= ⇔ − 64m6 = ( m ≠ ) ⇔ m = − Nhận xét: Rõ ràng việc nhớ công thức làm nhanh nhiều so với việc suy trường hợp Bài tập rèn luyện lại công thức: Cho hàm số y = x − 2mx + m − Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị điểm cực trị đồ thị hàm số ba đỉnh tam giác vuông? A m = B m = −1 C m = D m = −2 2 Cho hàm số y = f ( x ) = x + ( m − ) x + m − 5m + ( Cm ) Giá trị m để đồ thị hàm số cho có điểm cực đại, cực tiểu tạo thành tam giác vuông cân thuộc khoảng sau đây? STUDY TIP Độc giả nên làm tập rèn luyện mà khơng nhìn lại cơng thức để ghi nhớ cơng thức lâu 4 3 A ; ÷ 7 2 21 B ; ÷ 10 1 C 0; ÷ 2 D ( −1;0 ) Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = − x + ( m − 2015 ) x + 2017 có điểm cực trị tạo thành tam giác vng cân Cơng Phá Tốn – Lớp 12 A m = 2017 Ngọc Huyền LB B m = 2014 C m = 2016 D m = 2015 Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x + ( m + 2016 ) x − 2017 m + 2016 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân A m = −2017 B m = 2017 C m = −2018 D m = 2015 2 Tìm m để đồ thị hàm số f ( x ) = x − ( m + 1) x + m có điểm cực đại, cực tiểu tạo thành tam giác vuông A m = B m = −1 C m = D m = Đáp án A STUDY TIP Qua ta rút kết quả, để đồ thị hàm số , có ba điểm cực trị tạo thành tam giác A A A C Bài tốn 2: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = ax + bx + c, ( a ≠ ) có ba điểm cực trị tạo thành tam giác Lời giải tổng qt Với ab < hàm số có ba điểm cực trị Do AB = AC , nên ta cần tìm điều kiện để AB = BC Mặt khác ta có ⇒ AB = AC = b4 b b − ; BC = − 16a 2a 2a Do AB = BC ⇔ − b b4 2b b3 + = − ⇔ = −24 2a 16a a a Ví dụ 1: Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y = x − 2mx + m − có ba điểm cực trị tạo thành tam giác Ta có kết quả: A m = B m = C m > D m = 3 Đáp án D Lời giải STUDY TIP Qua ta rút kết quả, để đồ thị hàm số , có ba điểm cực trị tạo thành tam giác Mà tam giác vng Áp dụng cơng thức vừa chứng minh ta có "Vng −8, −24" m đồ thị ( Cm ) có điểm cực đại điểm cực tiểu, đồng thời điểm cực đại ( −2m ) = −24 ⇔ m = 3 b3 = −24 ⇔ a Bài tập rèn luyện lại công thức: 2 Cho hàm số y = x + ( m − ) x + m − 5m + ( Cm ) Với giá trị điểm cực tiểu lập thành tam giác đều? A m = − 3 B m = + 3 C m = − 3 D m = + 3 Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm The best or nothing x + ( m − 2017 ) x − 2016 có đồ thị ( Cm ) Tìm tất giá trị m cho đồ thị ( Cm ) có ba điểm cực trị tạo thành tam giác đều? Cho hàm số y = A m = 2015 B m = 2016 C m = 2017 D m = −2017 Cho hàm số y = x − 2mx + Tìm tất giá trị m cho đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác đều? A m = 3 B m = − 3 C m = D m = − Cho hàm số y = − mx + 2mx − m Tìm tất giá trị tham số m cho đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác A m = 3; m = − 3; m = B m = − 3; m = C m = D m = Đáp án 1A 2B 3A 4B Bài toán 3: Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = ax + bx + c , ( a ≠ ) có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích S0 Lời giải tổng qt Gọi H trung điểm BC lúc H nằm đường thẳng chứa đoạn thẳng BC (hình vẽ) ∆ uuur b2 Lúc H 0; − ÷⇒ AH = 0; − ÷ Diện tích tam giác ABC tính 4a 4a công thức: S ABC 1 b2 = AH BC ⇒ S0 = − ÷ 4a b − ÷ 2a ÷ b −2b −b5 ⇔S = ⇔ S0 = 16a a 32a STUDY TIP Qua ta rút kết quả, để đồ thị hàm số , có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích có điều kiện Ví dụ 3: Cho hàm số y = x − 2mx + 2m + m Với giá trị m đồ thị ( Cm ) có điểm cực trị, đồng thời điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích A m = 16 B m = 16 C m = 16 D m = − 16 Đáp án A Lời giải Áp dụng công thức ta có, hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích ⇔ 32.a S02 + b5 = ⇔ 32.13.42 + ( −2m ) = ⇔ m = 16 Cơng Phá Tốn – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Bài tập rèn luyện lại công thức: Cho hàm số y = x − 2m x + Với giá trị m đồ thị hàm số cho có điểm cực trị, đồng thời điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích 32 A m = 2; m = −2 B m = 0; m = C m = 0; m = −2 D m = 2; m = −2; m = 2 Cho hàm số y = f ( x ) = − x + ( m − ) x + m − 5m + Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số cho có điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích A m = B m = ±3 C m = D m = ±2 Cho hàm số y = 3x − 2mx + 2m + m Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số cho có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích A m = B m = −3 C m = D m = −4 Cho hàm số y = x + 2mx − m − (1), với m tham số thực Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời điểm cực trị đồ thị tạo thành tam giác có diện tích A m = B m = −2 C m = 2A 3A D m = −4 Đáp án 1A 4B Bài tốn 4: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = ax + bx + c, ( a ≠ ) có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích lớn Lời giải tổng qt Ở tốn ta có S02 = − b5 32a −b Do ta tìm Max ÷ 32a Bài tốn 5: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = ax + bx + c, ( a ≠ ) có ba điểm cực trị A; B; C tạo thành tam giác ABC B; C ∈ Ox Lời giải tổng quát c ≠ c ≠ ⇔ Tam giác ABC có hai điểm cực trị B; C ∈ Ox ⇔ ∆ b − 4ac = − 4a = Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm The best or nothing Bài toán 6: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = ax + bx + c, ( a ≠ ) có ba điểm cực trị A; B; C tạo thành tam giác ABC BC = kAB = kAC ; ( k > ) Lời giải tổng quát b ∆ b ∆ , C − − ; − Từ toán tổng quát ban đầu ta có A ( 0; c ) , B − − ; − ÷ ÷ 2a 4a ÷ 2a 4a ÷ ⇒ AB = AC = b4 b b − ; BC = − 16a 2a 2a Ta có BC = kAB ⇔ − STUDY TIP Qua ta rút kết quả, để đồ thị hàm số , có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có góc đỉnh α có điều kiện Hoặc b b4 b =k − ⇔ b3k − 8a ( k − ) = 2a 16a 2a Bài tốn 7: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = ax + bx + c, ( a ≠ ) có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có góc đỉnh cân α Lời giải tổng quát Cách 1: Ta có uuu r uuur uuur uuur b AB AC b b4 b4 cos α = uuur uuur ⇔ AB AC − AB cos α = ⇔ + − − + ÷.cos α = 2a 16a 2a 16a AB AC ⇔ 8a + b3 + ( 8a − b3 ) cos α = ⇒ cos α = b3 + 8a b − 8a Cách 2: STUDY TIP Qua ta rút kết quả, để đồ thị hàm số , có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có ba góc nhọn Gọi H trung điểm BC, tam giác AHC vuông H có: tan α HC BC α α = = ⇒ BC − AH tan = ⇔ 8a + b3 tan = AH AH 2 Bài tốn 8: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = ax + bx + c, ( a ≠ ) có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có ba góc nhọn Lời giải tổng quát Do tam giác ABC tam giác cân nên hai góc đáy Một tam giác khơng thể có hai góc tù, hai góc đáy tam giác ABC ln góc nhọn Vì để tam giác ABC tam giác có ba góc nhọn góc đỉnh phải · góc nhọn Tức tìm điều kiện để BAC = α góc nhọn Cơng Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB · Ở tốn ta vừa tìm cos BAC = cos α = b3 + 8a b3 − 8a b3 + 8a · Để góc BAC nhọn >0 b − 8a Cách khác để rút gọn công thức: uuu r uuur AB AC Do cos α = uuur uuur nên để α góc nhọn AB AC uuu r uuur AB AC uuur uuur > AB AC uuur uuur uuur uuur b b4 AB AC > Mà AB AC > ⇔ + > ⇔ b ( b3 + 8a ) > 2a 16a Bài tốn 9: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = ax + bx + c, ( a ≠ ) có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường trịn nội tiếp r Lời giải tổng qt Ta có S0 = p.r (cơng thức tính diện tích tam giác theo bán kính đường tròn nội tiếp) b5 2S0 b2 32a ⇒r= = ⇔r= AB + AC + BC b b4 b b3 − + + − a + − ÷ ÷ 2a 16a 2a a − Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm The best or nothing Bài tốn 10: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = ax + bx + c, ( a ≠ ) có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp R Lời giải tổng quát Trước tiên ta có cơng thức sau: S ABC = AB.BC.CA 4R Gọi H trung điểm BC, AH đường cao tam giác ABC, nên AB.BC.CA AH BC = ⇔ 4.R AH = AB 4R b b4 b4 b3 − 8a 4R = − + ⇔ R = ÷ 16a 2a 16a a b Bài toán 11: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = ax + bx + c, ( a ≠ ) có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có a Có độ dài BC = m0 b Có AB = AC = n0 Lời giải tổng quát Ở đầu Dạng ta có cơng thức b ∆ b ∆ A ( 0; c ) , B − − ; − ÷ , C − ; − ÷ ÷ ÷ với ∆ = b − 4ac a a a a ⇒ AB = AC = b4 b b − ; BC = − 16a 2a 2a Do với ý a, b ta cần sử dụng hai công thức Đây hai công thức quan trọng, việc nhớ công thức để áp dụng điều cần thiết Bài tốn 12: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = ax + bx + c, ( a ≠ ) có ba điểm cực trị tạo thành tam giác a nhận gốc tọa độ O trọng tâm b nhận gốc tọa độ O làm trực tâm c nhận gốc tọa độ O làm tâm đường tròn ngoại tiếp Lời giải tổng quát a Nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm a Ở cơng thức vừa nhắc lại tốn 9, ta có tọa độ điểm A, B, C x +x +x y + yB + yC cần áp dụng công thức xG = A B C ; yG = A (với G trọng tâm 3 Cơng Phá Tốn – Lớp 12 STUDY TIP Với dạng tốn này, ta lưu ý ta ln có tam giác ABC cân A, nên ta cần tìm điều kiện có đáp án toán Ngọc Huyền LB tam giác ABC) b b + − = 3.0 0 + − − ÷ 2a ÷ 2a b2 ⇒− + 3c = Lúc ta có 2a b2 b c + − 4a ÷+ c + − 4a ÷+ c = 3.0 ⇔ b − 6ac = b Nhận gốc tọa độ O làm trực tâm Do tam giác ABC cân A, mà A nằm trục Oy nên AO vng góc với BC Do để O trực tâm tam giác ABC ta cần tìm điều kiện để OB ⊥ AC OC ⊥ AB uuur uuur b b4 b 2c OB ⊥ AC ⇔ OB AC = ⇔ + − = ⇔ b + 8ab − 4ab 2c = 2a 16a 4a ⇔ b3 + 8a − 4abc = c Nhận O làm tâm đường tròn ngoại tiếp Để tam giác ABC nhận tâm O làm tâm đường trịn ngoại tiếp OA = OB = OC Mà ta ln có OB = OC , ta cần tìm điều kiện cho b b4 2b 2c OA = OB ⇔ c = − + − + c ⇔ b − 8ab c − 8ab = 2a 16a 4a ⇔ b3 − 8a − 8abc = Bài toán 13: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = ax + bx + c, ( a ≠ ) có ba điểm cực trị tạo thành tam giác cho trục hoành chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích Lời giải tổng qt Gọi M, N giao điểm AB, AC với trục hồnh, kí hiệu hình vẽ S OA Ta có ∆ANM ~ ∆ACB ⇒ AMN = (Do trục hồnh chia tam giác ÷ = S ABC AH ABC thành hai phần có diện tích nhau) ⇒ AH = 2OA ⇔ b = ac Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm The best or nothing 2.3 Xét hàm phân thức Trước tiên ta xét toán liên quan đến cực trị hàm phân thức nói chung Ta có kết quan trọng sau: Xét hàm số dạng f ( x ) = ta có f ' ( x ) = u ( x) xác định D v ( x) u ' ( x ) v ( x ) − u ( x ) v ' ( x ) v2 ( x ) Điểm cực trị hàm số nghiệm phương trình f '( x) = ⇔ u ' ( x ) v ( x ) − u ( x ) v ' ( x ) =0 v2 ( x ) ⇔ u ' ( x ) v ( x ) − u ( x ) v ' ( x ) = ⇔ STUDY TIP Lưu ý cơng thức để giải tốn cách nhanh gọn u ( x) u '( x) = v ( x) v '( x) Nhận xét: Biểu thức thỏa mãn giá trị cực trị hàm số cho Do đó, thay tính trực tiếp tung độ điểm cực trị, ta cần thay vào biểu thức đơn giản sau lấy đạo hàm tử lẫn mẫu Vận dụng tính chất này, ta giải nhiều toán liên quan đến điểm cực trị hàm phân thức Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y= ax + bx + c , a ≠ 0, a ' ≠ a'x +b' Theo cơng thức vừa nêu ta tìm biểu thức đạo hàm tử số mẫu số Suy y = 2ax + b phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị (nếu có) a' đồ thị hàm số y = ax + bx + c , a ≠ 0, a ' ≠ a'x +b' Cơng Phá Tốn – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Đọc thêm: Phương pháp sử dụng máy tính cầm tay để giải nhanh tập định tham số m để hàm f (x) đạt cực đại (cực tiểu) x0 Cách 1: Sử dụng TABLE Cách làm: Ta sử dụng tính bảng giá trị TABLE máy tính để nghiên cứu nhanh dáng điệu đồ thị đoạn ( x0 − 0,5; x0 + 0,5 ) với giá trị tham số mà đề cho Ta gán giá trị phần đáp án cho A, B, C, D lệnh gán giá trị SHIFT STO Do chức TABLE máy tính cầm tay Fx 570 VN Plus chạy hàm số f ( x ) g ( x ) nên lần thử ta thử phương án Do vậy, tốn ta cần thử hai lần Ví dụ 1: Với giá trị tham số thực m hàm số y= x3 − 2mx + 3m x − 3m đạt cực tiểu x = −1 A m = −1 C m = B m = 1 D m = − Đáp án A Lời giải Lần lượt gán giá trị m phương án A, B, C, D cho biến A, B, C, D máy lệnh SHIFT STO sau: Ấn −1 (STO) A Tương tự với phương án lại Ấn MODE 7: TABLE X3 − AX + A2 X − A (là hàm số cho m = −1 phương án A) Sau ấn =, máy g ( x ) = ta nhập Nhập hàm f ( x ) = STUDY TIP Ở dạng này, ta cần để ý xem giá trị hàm số thay đổi qua X3 g ( x) = − BX + 3B X − 3B ấn = Start? Chọn −1 − 0,5 End? Chọn −1 + 0,5 STEP? Chọn 0.1 Máy bảng giá trị hàm số cho hai trường hợp phương án A B sau: Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm The best or nothing Ta thấy trường hợp F ( x ) tức trường hợp phương án A Ta thấy từ x = −1,5 chạy đến x = −1 giá trị hàm số giảm, từ x = −1 đến x = −0, giá trị hàm số tăng, tức hàm số nghịch biến ( −1; −0, ) Vậy ( −1;5; −1) đồng biến x = −1 điểm cực tiểu hàm số, A thỏa mãn Ta chọn A mà không cần xét B, C, D Ví dụ áp dụng: Với giá trị m hàm số y = x − 3mx + 2m đạt cực đại x = ? A m = B m = −4 C m = D Khơng có giá trị m Đáp án D Cách 2: Sử dụng chức d dx Cách làm: Thử giá trị tham số m phương án, xem phương án làm đạo hàm 0, có nhiều phương án làm đạo hàm 0, ta xét đến y '' Cũng xét ví dụ ta có: Sử dụng nút , nhập vào máy sau: d X3 − MX + 3M X − 3M ÷ dx X =−1 Tiếp theo ấn CALC nhập X = −1; M = −1 , máy 0, thỏa mãn Chọn A Chú ý: Ở cách làm này, ta cần lưu ý trường hợp f ' ( x0 ) = x0 điểm cực trị hàm số ... 32 3 CHỦ ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 33 3 I Nguyên hàm tính chất .33 3 II Hai phương pháp để tìm nguyên hàm 33 4 III Các dạng toán nguyên hàm .33 8 IV Bổ... 3? ?? x − Để hàm số y = − x nghịch biến ( −1;1) −m y= t ? ?3 1 phải đồng biến ;3 ÷ t −m ? ?3 Câu 30 : Đáp án C 1 Nên m < m ∉ ;3 ÷ ⇔ m ≤ ? ?3 Ta có y = f ( x ) = Cách 2: CASIO MODE y = ( 3? ??... xác định x? ?3 Khẳng định sau khẳng định đúng? x +3 A Hàm số đồng biến ¡ B Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; ? ?3) ( ? ?3; +∞ ) Ví dụ 3: Cho hàm số y = C Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; ? ?3) ( ? ?3; +∞ )