CÔNG PHÁ TOÁN 3 FILE WORD PHẦN (11)

LOVEBOOK.VN|1 LOVEBOOK.VN|2 Chủ đề 5: Khối đa diện thể tích The best or nothing Chủ đề V Vấn đề cần nắm: KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA MỘT SỐ KHỐI ĐA DIỆN QUEN THUỘC I Khái niệm hình đa diện khối đa I Phân biệt hình đa diện khối đa diện II Thể tích khối đa diện dạng tốn liên quan Hình đa diện Hình đa diện hình thỏa mãn hai tính chất: a Hai đa giác phân biệt khơng có điểm chung, có đihr chung, có cạnh chung b Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác Muốn hình đa diện bắt buộc phải thỏa mãn hai tính chất Ví dụ: Hình 5.1 có cạnh AB cạnh chung đa giác, hìn hđó khơng phải hình đa diện Câu hỏi ví dụ: Trong hình sau, hình khơng phải hình đa diện: A B C D Đáp án D Lý giải: Do hình D khơng thỏa mãn tính chất Khối đa diện Khối đa diện phần không gian giới hạn hình đa diện, kể hình đa diện Khối đa diện = hình đa diện + phần khơng gian giới hạn hình đa diện Ví dụ: Khối rubic khối đa diện (hình 5.2) a Tên gọi thành phần: đỉnh, cạnh, mặt bên,… đặt tương ứng với hình đa diện tương ứng b Điểm - điểm ngoài; Miền - Miền ngồi * Các điểm khơng thuộc khối đa diện gọi điểm khối đa diện Tập điểm gọi miền khối đa diện * Các điểm thuộc khối đa diện không thuộc hình đa diện giới hạn khối đa diện gọi điểm khối đa diện Tập điểm gọi LOVEBOOK.VN|201 Cơng Phá Tốn – Lớp 12 Ngọc Huyền LB miền khối đa diện Ví dụ: Ta tưởng tượng ta chế tạo khối đa diện chất kim loại ta bơm vào bên chất khí màu Khi phần bên tơ màu gọi miền khối đa diện, phần bên ngồi gọi miền ngồi khối đa diện * Mỗi hình đa diện chia điểm cịn lại khơng gian thành hai miền khơng gian giao miền miền ngồi hình đa diện, có miền ngồi chứa hoàn toàn đường thẳng Hai đa diện a Phép dời hình khơng gian Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng điểm M với điểm M ' xác định gọi phép biến hình khơng gian Phép biến hình khơng gian gọi phép dời hình bảo tồn khoảng cách hai điểm tùy ý Ta có phép biến hình sau khơng gian phép dời hình: Phép tịnh tiến theo vectơ v uuuuur r Là phép biến hình biến điểm M thành điểm M ' cho MM '  v Phéo đối xứng qua mặt phẳng  P  Là phép biến hình biến điểm thuộc  P  thành chish nó, biến điểm khơng thuộc  P  thành điểm M ' cho  P  mặt phẳng trung trực MM ' Phép đối xứng tâm O Là phép biến hình biến điểm O thành nó, biến điểm M khác O thành điểm M ' cho O trung điểm MM ' Phép đối xứng qua đường thẳng Δ (thay phép đối xứng qua trục Δ) Là phép biến hình biến điểm thuộc đường thẳng Δ thành nó, biến điểm M khơng thuộc Δ thành điểm M ' cho Δ trung trực MM ' Ví dụ: Cho tứ diệ ABCD có M trung điểm CD Khi ta có phép đối xứng qua mặt phẳng ABM biến điểm A thành nó, điểm B thành nó, điểm D thành điểm C Từ ta nhận thấy phép đối xứng qua mặt phẳng  ABM  biến tứ diện ABCD thành (hình 5.3)  mặt phẳng  ABM  mặt phẳng đối xứng tứ diện ABCD Nhận xét: Phép dời hình biến đa diện  H  thành đa diện  H ' , biến đỉnh, cạnh, mặt  H  thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng  H ' LOVEBOOK.VN|202 Chủ đề 5: Khối đa diện thể tích The best or nothing b Hai hình Hai hình gọi có phép dời hình biến hình thành hình Hai đa diện gọi có phép dời hình biến đa diện thành đa diện (hình 5.4) Phân chia lắp ghép khối đa diện Đây phần quan trọng để áp dụng vào tốn tính thể tích khối khơng phải khối hình có cơng thức tính sẵn, bắt buộc phải chia nhỏ thành tổng thể tích khối nhỏ Nếu khối đa diện  H  hợp hai khối đa diện  H1   H  cho  H1   H2  khơng có chung điểm ta nói chia khối đa diện thành hai khối đa diện  H1   H  , hay lắp ghép hai khối đa diện  H  thành khối đa diện  H  (hình 5.5) LOVEBOOK.VN|203  H  H1  Cơng Phá Tốn – Lớp 12 Ngọc Huyền LB II Khối đa diện lồi khối đa diện Khối đa diện lồi Khối đa diện  H  gọi khối đa diện lồi đoạn thẳng nối hai điểm  H  ln thuộc  H  Khi đa diện xác định  H  gọi đa diện lồi Người ta chứng minh khối đa diện khối đa diện lồi miền ln nằm phía mặt phẳng chứa mặt (hình 5.6) Khối đa diện Khối đa diện khối đa diện lồi có tính chất sau đây: a Mỗi mặt đa giác p cạnh b Mỗi đỉnh đỉnh chung q cạnh Khối đa diện gọi khối đa diện loại  p; q Khối tứ diện Khối lập phương Khối mười hai mặt Khối bát diện Khối hai mươi mặt Bảng tóm tắt năm loại khối đa diện Loại Tên gọi Số đỉnh Số cạnh Số mặt  3;3 Tứ diện  4;3 Lập phương 12  3; 4 Bát diện 12  5;3 Mười hai mặt 20 30 12  3;5 Hai mươi mặt 12 30 20 LOVEBOOK.VN|204 Chủ đề 5: Khối đa diện thể tích The best or nothing III Thể tích khối đa diện A LÝ THUYẾT Thể tích khối đa diện H số dương xác định V  H  cho tính chất sau thỏa mãn: a Hai khối đa diện H H ' tích b Nếu khối đa diện H phân thành hai khối đa diện H1 H thể tích H tổng thể tích H1 H c Khối lập phương đơn vị (tức có cạnh 1) tích Thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c V  abc Thể tích khối lăng trụ H có diện tích đáy B chiều cao h V  B.h Thể tích khối chóp có diện tích đáy B chiều cao h V  Bh Trên cơng thức tính thể tích khối đa diện Tiếp theo, ta xét đến khối đa diện khác, từ hình thành cơng thức giải nhah B CÁC KIẾN THỨC SỬ DỤNG TRONG GIẢI TỐN Để tính thể tích khối đa diện (lăng trụ hình chóp) ta thường thực theo cách sau Cách 1: Tính trực tiếp Sử dụng cơng thức * Thể tích khối chóp V  h.Sd ; h chiều cao, S d diện tích đáy + Đặc biệt: Nếu hình chóp S.ABC có SA; SB; SC đơi vng góc S S ABC  SA.SB.SC * Thể tích khối lăng trụ: V  h.S d ; h chiều cao lăng trụ, S d diện tích đáy + Đặc biệt: Hình hộp chữ nhật ba cạnh a, b, c: V  abc , hình lập phương cạnh a: V  a Cách 2: Tính gián tiếp * Nếu hình H tách thành hai hình rời H1 ; H VH1  VH  VH * Trên cạnh SA; SB; SC hình chóp S.ABC ta lấy điểm A ' SA '.SB '.SC ' VS ABC ; B ' ; C ' Ta có: VS A ' B ' C '  SA.SB.SC Các cách xác định đường cao hình chóp: LOVEBOOK.VN|205 Cơng Phá Tốn – Lớp 12 Ngọc Huyền LB - Khối chóp có cạnh vng góc với đáy cạnh đường cao - Khối chóp có mặt bên vng góc với đáy đường cao đường kẻ từ đỉnh vng góc với giao tuyến đáy với mặt bên (nói đơn giản đường cao mặt bên) - Khối chóp có mặt bên kề vng góc với đáy đường cao cạnh bên chung mặt - Khối chóp có cạnh bên cạnh bên tạo với đáy góc chân đường cao tâm đường tròn ngoại tiếp đáy - Khối chóp có mặt bên tạo với đáy góc chân đường cao tâm đường trịn nội tiếp đáy Ngồi số trường hợp khác ta khai thác tính chất khác đa diện để xác định đường cao Một số cơng thức thường gặp hình phẳng a Hệ thức lượng tam giác: Cho ABC vuông A, đường cao AH: AB  AC  BC AH BC  AB AC AC  CH BC AB  BH BC AH  BH HC 1   2 AH AB AC µ  BC.cos B µ  AC.tan C µ  AC.cot B µ AB  BC.sin C b Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh a, b, c  AB  c, BC  a, CA  b  d1 ; d ; d độ dài đường trung tuyến tương ứng với BC ; CA; AB ; bán kính đường tròn ngoại tiếp R, nội tiếp r, nửa chu vi p Định lý hàm cosin: a  b  c  2bc cos µA ; µ ; b  c  a  2ac.cos B µ ; c  a  b  2ab cos C Định lý hàm sin: a b c    2R sin A sin B sin C Độ dài trung tuyến: d12  b2  c a 2 c  a b 2 a  b2 c  ; d2   ; d3   4 4 c Các cơng thức tính diện tích Diện tích tam giác: S 1 a.ha  b.hb  c.hc 2 1 µ  ab.sin C µ S  bc sin µA  ac.sin B 2 S abc  pr  4R p  p  a  p  b  p  c Diện tích hình vng: S  a với a độ dài cạnh hình vng LOVEBOOK.VN|206 Chủ đề 5: Khối đa diện thể tích The best or nothing Diện tích hình chữ nhật S  ab với a, b độ dài hai cạnh hình chữ nhật Diện tích hình thang có độ dài đáy lớn đáy nhỏ m, n độ dài đường cao h S   m  n  h LOVEBOOK.VN|207 Cơng Phá Tốn – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Các tốn tổng qt tính thể tích hình chóp thường gặp Bài tốn 1: Tính thể tichs hình chóp tứ giác S.ABCD (S đỉnh, đáy hình vng ABCD) trường hợp cho sau đây: AB  a, ·ASB   AB  a , góc cạnh bên đáy β AB  a , góc mặt bên đáy γ AB  a bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp R AB  a khoảng cách từ đường thẳng AC đến đường thẳng SB b (Hình 5.7) Lời giải Gọi H  AC  BD Kẻ KH  AB  K  AB  Ta có K trung điểm AB a SK  Khi đó: tan  mà SH   ABCD  nên SH  KH Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác SKH ta có: SH  SK  KH  a cos   2sin a cos  VS ABCD  SH S ABCD  Lúc  6sin 2 (Sử dụng hình 5.7) Lời giải a · Giả sử SDH   Do ABCD hình vng cạnh a, nên HD  BD  2  SH  a tan  a tan  V  SH S  Vậy thể tích hình chóp S ABCD ABCD 3 Dựng hình tương tự ý Lời giải Do S.ABCD hình chóp tứ giác nên SA  SB mà K trung điểm AB, suy SK  AB Mặt khác KH  AB nên góc  SAB   ABCD  góc hai tia KS a ·    SH  tan  Vậy thể tích khối chóp: KH, hay SKH LOVEBOOK.VN|208 Phương án A Ta có: VA A ' B ' C '  d  A;  A ' B ' C '   S A ' B 'C ' Gọi M, N, P trung điểm CD, BD, BC  A, B ', M thẳng hàng VM A ' B ' C "  d  M ;  A ' B ' C '   S A ' B 'C ' A, C ', N thẳng hàng  B ' C '/ / MN AB ' AC '      B 'C ' Xét AMN : AM AN    MN  VA A ' B 'C '  VM A ' B 'C '  Phương án A sai Phương án B Ta có: VA ' BCB ' C '  VABC A ' B ' C '  VA ' ABC  d  A ';  ABC   S ABC C ' D '/ / PN  Tương tự  C ' D '  PN   d  A ';  ABC   S ABC 2  d  A ';  ABC   S ABC  VABC A ' B 'C ' 3  B ' C ' D ' ~ MNP theo tỉ số  Phương án B sai Phương án C Từ chứng minh VA ' BCC ' B '  VABCC ' B ' ta thấy phương án C S 2  B 'C ' D '     (1) S MNP   Mà MNP ~ BCD theo tỉ số Câu 49: Đáp án C 2 S 1  MNP     (2) SBCD   Từ (1) (2)  S B ' C ' D ' 1   S BCD 9 Dễ dàng chứng minh  B ' C ' D ' / /  BCD  VABC A ' B ' C '  AA '.SABC  a Câu 50: Đáp án C a a3  4  d  A;  B ' C ' D '   d  A;  BCD     d  A;  B ' C ' D '   AC '  AN d  A;  BCD    d  A ';  B ' C ' D '   d  A;  BCD   Vậy VA ' B ' C ' D '  d  A ';  B ' C ' D '  S B ' C ' D ' 1 1 V  d  A;  BCD   S BCD  VA.BCD  3 27 27 Câu 51: Đáp án A Gọi khối chóp tam giác đề cho SABC Gọi G trọng tâm ABC · Gọi O tâm hình vng ABCD  SAO  45 1  SO  OA  AC  a 2  SG   ABC  GB  a  a 3  SG  GB  SB  a 2 a3  VS ABCD  SO.S ABCD  a  6 Câu 52: Đáp án B a  b2 1 a a2  VSABC  SG.S ABC   b2 3  a2 3b  a 12 Câu 54: Đáp án A Gọi K trung điểm B ' C ' Hạ AH  A ' K H  ·AA ' H    AH  AA '.sin   b.sin   VABC A ' B 'C '  AH '.SA ' B 'C '  b.sin   a b.sin  Câu 53: Đáp án B Giả sử hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có a  AB '  a   AC  b  AD '  c  2  AA '  x  z  y  b   2 Đặt  AB  y   x  y  a  AD  z  2  x  z  c Ta có: A ' C '  AC  a A ' C  a  a  c  b2 x    a  b2  c2   y    b2  c2  a z    C ' C  a (theo định lý Pytago)  VABCD A ' B 'C ' D '  CC '.S ABCD  a 2.2.S ABC  a 2.2 Mà VABCD A ' B 'C ' D '  AA '.S ABCD  AA ' AB AD a a3  Câu 57: Đáp án A  VABCD A ' B 'C ' D '  b  c  a   a  c  b2   a  b2  c  Câu 55: Đáp án D Ta chia khối chóp S.ABCD thành hai khối chóp VS ABD  VS BCD  VS ABCD Ta có Ta có: SA  BC BC  AB  BC   SAB   BSC  30  SB  BC.cot 30  a  SA  SB  AB  a  VSABCD  a 2 a3 a  3 VS B ' C ' D ' SB ' SC ' SD ' 1 1    VS BCD SB SC SD 3 27  VS A ' B ' D ' VS B 'C ' D ' VS A ' B ' D '  VS B 'C ' D VS A ' B ' C ' D '     VS ABD VS BCD VS ABD  VS BCD VS ABCD 27 Câu 58: Đáp án D Câu 56: Đáp án D Câu 59: Đáp án B Ta có: A ' C '  B ' D '  A ' C '2  C ' C  B ' D '  B ' B  A ' C  B ' D  A ' C  BD Vì ABC nên BD  VS A ' B ' D ' SA ' SB ' SC ' 1 1    VS ABD SA SB SC 3 27 a a Gọi H hình chiếu vng góc A lên  A ' B ' C '   ·AA ' H  60  AH  AA '.sin 60  b.sin 60  b  VABC A ' B 'C '  AH S A ' B ' C '  b a 3a 2b  Câu 64: Đáp án B 1 a 2b VA ' ABC  d  A ';  ABC   S ABC  VABC A ' B ' C '  3  VA ' BCC ' B '  VABC A ' B ' C '  VA ' ABC  3a 2b a 2b a 2b   8 Câu 60: Đáp án B Gọi M trung điểm AB a AB  2 SM  AB  SM   ABC  (vì  ABC    SAB  ) Vì SAB vng cân S nên SM  Ta có: BC  AC  AB  a  VS ABC  SA a a 3.a a SABC   3 2  VS ABC  SM a a2 a3 SC   4 Câu 65: Đáp án B Câu 61: Đáp án C Ta có: SA  SB, SB  SC  SB   SAC   VS ABC  SB SB SA.SC S SAC  ( SAC vng 3 Ta có: SA2  SH SB ( SAB vuông A)   2a   SH S)  Vì ABC vuông cân B nên AC  a 3.5.6  15  Câu 62: Đáp án B Câu 63: Đáp án B Ta có: Vdau  h.Sday 1  Vsau  2h  S day   Vdau 4  Vậy thể tích giảm lần  2a   a  SH  4a 5 SH 4a  :a  SB 5 Tương tự, tính  SK 2a  :a  SC 3 VS AHK SH SK    VS ABC SB SC 15  VS AHK  SA 2a a 8a S ABC   15 15 45 · ' A  30  BA  AC '  BC Câu 66: Đáp án D Ta có: AB  AC.tan 60  a AC '  AB.cot 30  a 3.cot 30  3a  A ' A  C ' A2  A ' C '2   3a  VABC A ' B 'C '  A ' A.S ABC  2a 2.a  a  2a a  a3 Câu 69: Đáp án A Câu 70: Đáp án B Vbe  2.3.2  12  m3  VABC A ' B ' C '  AA '.SABC  2a.a.2a  2a Câu 67: Đáp án A Vgao   42.5  80  cm3   8 105  m3  Vậy bể sau: 12  281 (ngày) 8 105.170 Câu 71: Đáp án A V  0,5  l   500  cm3   r  500  3, 26  cm  15 Câu 72: Đáp án D ·  60 Vì SA   ABCD   SCA Ta có: AC  AB  BC  a  2a  a  SA  AC.tan 60  3a  VS ABCD  SA 3a S ABCD  a.a  a 3 Câu 68: Đáp án A Đặt AI  b  cm  Chiều cao chóp bằng: 2 x2 x x b        b2  2 2 Ta có: IM  b  502  b  502   b  50  Vì BA  AC BA  AA '  BA   ACC ' A '  b2  100  IK 1002  200 x  x 20000  200 x  x  Vchop  x2 b  x  5000  50 x x 3 Thử phương án ta chọn D Câu 73: Đáp án B V 147.2302  2592100  m3  Câu 74: Đáp án A Vì SA  SB SB  SC  SB   SAC   VS ABC  SB.S SAC a a ( SAC vuông S)  3 a3  Ta có SA   ABCD   BC  SA , mà BC  BA nên BC   SAB   B hình chiếu C mặt phẳng  SAB   SB hình chiếu SC mặt phẳng  SAB      · ,  SAB   ·SC , SB   BSC ·  SC  30 Câu 75: Đáp án D Lại có BC   SAB   BC  SB  SBC vuông B  SB  BC cot 30  a  SA  SB  AB   a 3  a2  a Thể tích khối chóp Khối chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên 2a Khi S ABCD  a VS ABCD 1 a3 2 (đvtt)  SA.S ABCD  a 2.a  3 Câu 77: Đáp án B Gọi O giao điểm AC BD, suy SO   ABCD  AC  a  OA  a ; AC  2 a 2 a 14 SO  SA  OA   2a         2 Gọi  P  NE  CD,  Q  ME  AD Suy thiết Vậy diện tứ diện ABCD cắt mặt phẳng  MNE  tứ giác MNPQ 1 a 14 a 14 (đvtt) VS ABCD  SO.S ABCD  a  3 Như vậy, mặt phẳng Câu 76: Đáp án B  MNE  chia tứ diện ABCD thành hai phần: đa diện ACMNPQ đa diện BDMNPQ Từ giả thiết, ta tích cần tìm V  VACMNPQ Ta có V  VE AMNC  VE ACPQ a Tính VE AMNC  d  E ;  AMNC   S AMNC  d  E ;  ABC    S C  S MBN  + Ta có EB  DB nên d  E ;  ABC    2d  D;  ABC   + S MBN BM BN 1    S MBN  S ABC S ABC BA.BC 4 1    VE AMNC  2d  D;  ABC    S ABC  S ABC     AB  AC a   a  BC 2  SABC  a2 (đvdt) AB.BC  2 Vậy thể tích khối lăng trụ VABC A ' B 'C '  BB '.SABC  a a a3 (đvtt)  2 Câu 79: Đáp án C 3  d  D;  ABC   SABC  VABCD 2 b Tính VE ACPQ  d  E ,  ACPQ    d  E ;  ACD    S ADC  S QDP  + Ta có ED  BD nên d  E;  ACD    d  B;  ACD   + P trọng tâm BCE , Q trọng tâm BAE nên DQ DP   DA DC  S QDP SADC DQ.DP 1    S QDP  S ADC DA.DC 9  VE ACPQ 1    d  B;  ACD    S ADC  S ADC    Ta có BC  AB, BC  SA  BC   SAB   BC  SB Suy · , AB  SBA  ·  60  ·SBC  ,  ABCD     SA SAB vuông A nên · SA  AB.tan SBA   tan 60  a Lại có S ABCD  AB AD  a.a  a Thể tích khối chóp 8  d  B;  ACD   S ADC  VABCD 9 1 VABCD  SA.S ABCD  a 3.a  a (đvtt) 3 Vậy V  VE AMNC  VE ACPQ  VABCD  VABCD Câu 80: Đáp án C  11 11 a 11 2a VABCD   18 18 12 216 Câu 78: Đáp án D Từ giả thiết, ta có ACD BCD cạnh Gọi K trung điểm CD ta có AK  BK  3 3 Lại có CD  AK , CD  BK  CD   ABK    BCD    ABK  , giao tuyến BK Trong mặt phẳng  ABK  : Kẻ AH  BK ( H  BK ) AH   BCD  Nửa chu vi ABK Từ giả thiết, ta có AB  BC AC  AB p AB  AK  BK x   x    2 Gọi M trung điểm B ' C '  A ' M  B ' C ' , mà p  p  AB   p  AK   p  BK   SABK  B ' C '  AA '  B ' C '   AA ' M   x6 x6  x    x  3       B ' C '  AM Khi x6 6x x x  36  x  AH BK 2 4 2  S ABK  Vậy VABCD  2 1 BK CD  3.2  3 (đvdt) 2 AH S BCD  x 36  x (đvtt) với 0 x  x 36  x  36  x 36  x ; f ' x   x  (do  x  ) Lập bảng biến thiên, ta   max f  x   f  18 Vậy Vmax   AA '  A ' M tan 60  a Diện tích ABC là: S ABC  · AB AC.sin BAC a2 (đvdt)  a.a.sin120  Xét hàm số f  x   x 36  x  0;6  f '  x   36  x  x Lại có a 3 a  B 'C '  A'M  A' B '       a        2S x  AH  ABK  36  x BK Lại có: S BCD    AB ' C ' ,  A ' B ' C '    AM , A ' M   A ' MA  60 18  3 x  Câu 81: Đáp án A Vậy thể tích khối lăng trụ a a 3a (đvtt) V  SABC AA '   Câu 82: Đáp án B  O  AC  BD  SO   ABCD  Gọi (do S ABCD hình chóp tứ giác đều) Gọi M trung điểm SA, qua M dựng mặt phẳng trung trực SA, mặt phẳng cắt SO I I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Bán kính mặt cầu R  SI Đặt AB  x, SA  y ,  x, y   Suy AC  x  OA  x 2 2 Có SO  SA  OA  y  x ; SM  Do SOA ~ SMI  Từ giả thiết, ta có A ' B '  A ' C '  a, B ' A ' C '  120 nên A ' B ' C ' cân A ' Suy · ' A'C B ' C '2  A ' B '2  A ' C '2  A ' B ' A ' C '.cos B  B ' C '  a  a  2a.a.cos120  a  SI  SO SA  SM SI SA.SM y2   R Từ giả thiết: SO y  x2 R9 y2 y  2x 2 y4  x  2y  81 SA  y 2 Thể tích khối chóp:   y  81 y  x  x2 V  SO.S ABCD  y2  2x2 3  2 y4  4 y4   V   y2  y   2 y   3 81  81    324 y  y  ,  y    2187 Như Xét hàm số f  y   324 y  y  0;   Đạo hàm f '  y   1296 y  24 y  24 y  54  y  ; Lập bảng biến thiên, ta thấy:  max f  y   f  314928 Vậy Vmax  314928  576 (đvtt) 2187 Câu 83: Đáp án C Gọi M trung điểm AM  BC · Do SMA góc ·   SMA  SBC  BC  SM  BC  ABC  , hay Kẻ AH  SM , H  SM  AH   SBC   AH  d  A,  SBC    Ta có: sin   AH 3   AM  ; AM AM sin  cos   AM AM  SM  SM cos  VS ABC  1 1 AM AH S SBC  BC.SM  AM 3 2 cos   AM 9   2 cos  sin  cos    cos   cos  VS ABC đạt GTNN   cos   đạt GTLN Xét hàm số f  t     t  t  t  t , với  t  , (do 0    90 ) Ta có: f '  t    3t ; f '  t    t   BBT: cos     cos   cos  đạt 3 Vậy VS ABC đạt GTNN cos   f ' y    y   GTLN IV Tổng ôn tập chủ đề V Quý độc giả vui lòng khai báo sách hãng web: congphatoan.com để nhận đáp án chi tiết BÀI KIỂM TRA Câu 1: Cho hình chóp S.ABC tích V Gọi M, N, P trung điểm AB, BC, CA Các điểm uuu r uuur uuur uuu r G, H, K thỏa mãn 5SG  SM , 6SH  SN , uuu r uur 7SK  SP Tính thể tích khối chóp S.GHK A V 96 B V 240 C V 480 D V 840 Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC có AB  2a, BC  4a, AC  5a , cạnh bên SA vng góc với đáy SA  2a Gọi M, N hình chiếu vng góc A SB, SC Tính thể tích V khối chóp S.AMN A V  2a B V  a3 12 C V  a3 D V  a3  SCD  21 B C D Câu 4: Một khối lăng trụ có 18 cạnh, tổng độ dài cạnh đáy 12a, độ dài cạnh bên 8a Tính thể tích V khối lăng trụ A V  3a B V  3a C V  3a D V  12 3a Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có SA  a , tam giác ABC đều, tam giác SAB vuông cân S nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Thể tích khối chóp S.ABC A 6a B 6a 24 C 6a 12 D 6a 27 B Câu 6: Cho hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' có cạnh Trên tia AA ', AB, AD (có chung gốc A), lấy điểm M, N, P khác A cho AM  m, AN  n, AP  p mặt phẳng  MNP  qua đỉnh C ' Thể tích bé khối tứ diện AMNP 27 C D Câu 7: Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' tích V Gọi V1 thể tích tứ diện ACB ' D ' Tính tỉ số V1 V A B C D Câu 8: Hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' có A ' ABCD hình chóp đều, AB  a, AA '  2a Thể tích hình hộp A a 2 Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính độ dài cạnh đáy hình chóp biết khoảng cách từ A tới mặt bên A A B a 3 C a 11 D a 2 Câu 9: Cho hình chóp tam giác S.ABC có ·ASB  CSA ·  60 , ·ASC  90, SA  SB  1, SC  Gọi M điểm cạnh SC cho SM  SC Khi đó, thể tích V khối chóp S.ABM A V  36 B V  36 C V  12 D V  Câu 10: Cho hình vng ABCD nội tiếp đường trịn  O  , bán kính R Tam giác MNP nội tiếp  O  với MN song song với AB Cho hình vẽ quay quanh đường thẳng OP Kí hiệu V1 ;V2 ;V3 thể tích khối trịn xoay hình vng, hình trịn tam giác tạo thành Mệnh đề đúng? A V3  V2 V1 B V3  V1.V2 C V1  V2 V3 D V2  V1.V3 Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh Biết mặt bên SAB tam giác vuông cân S mặt bên SCD tam giác Tính chiều cao hình chóp S ABCD A h  B h  C h  D h  Câu 12: Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA, tam giác ABC vuông cân B, SC  a , SA  a Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC A a 3 a B C a 3 a D Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy 2a, góc mặt bên mặt đáy 60° Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD 4a 3 A a3 B C a3 D 3a Câu 14: Khối lăng trụ đứng tích V diện tích đáy S độ dài cạnh bên A V S B 3V S C V 2S V S D Câu 15: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có ABCD hình vng, AC '  2a tạo với mặt phẳng  BCD  góc 60° Tính theo a thể tích khối hộp ABCD A ' B ' C ' D ' A 3 a B 3 a 3 a D a 3 C Câu 16: Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác cân với AB  AC  a , ·ABC  30  A ' BC  Mặt phẳng tạo với đáy  ABC  góc 30° Thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' tính theo a A a3 24 B a3 C a3 a3 D C V  AB  a , A ' C tạo với  ABA ' abc A V  abc B V  C V  abc D V  abc Câu 20: Cho hình chóp S.ABC có AB  5cm , BC  7cm , AC  8cm , đường cao SH  6cm Tính thể tích V khối chóp S.ABC A 40cm3 B 35cm3 C 10 3cm3 D 20 3cm3 Câu 21: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD tích V Gọi O tâm đáy, M, N, P, Q trung điểm SA, SB, SC, SD Tính theo V thể tích khối chóp O.MNPQ A V B V C V D V 16 Câu 22: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông tâm O, cạnh a Cạnh bên SA  h vng góc với mặt đáy Gọi h1 khoảng cách hai đường thẳng SC BD Tìm mối liên hệ a, h, h1 A 1  2 2 4h1 h a B 1  2 2 4h1 h 2a C 1  2 2 h1 h 2a D 1  2 2 h1 h a góc 45° Thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' tính theo a D V  a 3 Câu 19: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có AB  a, AD  b, AA '  c Tính thể tích V khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' Câu 17: Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đường cao AA '  a , tam giác ABC vng B có a3 3 A a 3 B a3 3 Câu 23: Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có tam giác ABC vng cân B, AB  a cạnh C 2a 3 D a3 bên AA '  a Khi đó, diện tích xung quanh hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ cho bao nhiêu? Câu 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy cạnh bên SD hợp với đáy góc 60° Hỏi thể tích V khối chóp S.ABCD bao nhiêu? A V  2a 3 B V  a3 A 4 a B 2 a C 4 a D  a Câu 24: Bạn Duy muốn làm vỏ hộp đựng bút hình trụ cách cuộn mảnh bìa cứng hình vng ABCD (dán hai mép AB CD, phần giấy dán không đáng kể) Thể tích hộp bút sau hồn dm3 Hỏi bạn Duy cần  mảnh bìa có cạnh dài bao nhiêu? thành mà bạn Duy muốn A 2dm B 1dm C 3dm D 2,5dm Câu 25: Cho khối tứ diện ABCD Gọi M, N, E, F, P, Q theo thứ tự trung điểm AB, BC, CD, DA, AC, BD Gọi V1 ,V2 tương ứng thể tích khối ABCD, MNEFPQ Tỷ số t  V1 số sau V2 đây? A t  B t  C t  D t  Câu 26: Cho khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh a, chiều cao h Biết thể tích khối tứ diện ABC ' A ' A h  2a Câu 27: B h  3a C h  4a D h  a khối SA  SB  SC  a  a   , chóp S.ABC có ·ASB  BSC · ·  CSA  30 Mặt phẳng    qua A, cắt hai cạnh SB, SC B ', C ' cho chu vi tam giác AB ' C ' nhỏ Tính t  A t  Câu 28: Cho  chữ tích toàn phần S  H  số sau đây? A S  72 a C S  336 a A V  B V  A 5cm B 6cm C V  1 D V  C 4cm D 3cm mặt phẳng  BCD ' hợp với đáy góc 60° Thể B 648m3  BCC ' B '  có  ABCD  điểm BB ' AA ' , điểm P nằm đoạn thẳng BC cho BP  BC Mệnh đề sau đúng? C CM vng góc với NP A S  6 a B S  4 a C S  2 a D S  8 a Câu 29: Cho hình chóp S.ABC tích V Gọi H, K trung điểm SB SC Tính thể tích khối chóp S.AHK theo V B VSlAHK V  D VS AHK  V C 325m3 D 576m3 60° Gọi M, N trung bao nhiêu? C VS AHK 336 Câu 33: Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh đáy 3m Biết A MN vng góc với CP  V D S  Câu 31: Cho hình khối lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' tích Tính thể tích V khối chóp A ' AB ' C ' vòng quanh đường thẳng chứa CD tạo thành khối tròn xoay  H  Diện tích tồn phần S  H  A VS AHK B S  36 a Câu 34: Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có AB  AC  2a, BC  a góc BA ' với ABCD nhật AB  2a, BC  a Quay mặt phẳng  V 12 quanh đường thẳng BC tạo thành khối tròn xoay  H  Diện A 478m3 D t  2  hình  ABC  tích khối lăng trụ VS AB 'C ' VS ABC B t   C t   BC  10a Quay mặt phẳng Câu 32: Cho khối lập phương biết tăng độ dài cạnh khối lập phương thêm 2cm thể tích tăng thêm 152cm3 Hỏi cạnh khối lập phương cho 3 a Tính h Cho Câu 30: Cho tam giác ABC có AB  6a , AC  8a , B CM vuông góc với AB D CN vng góc với PM Câu 35: Trung điểm cạnh hình tứ diện đỉnh A hình lục giác B hình chóp tứ giác C hình tám mặt D hình tứ diện Câu 36: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, SA vng góc với mặt phẳng  ABCD  , góc đường thẳng SC mặt phẳng  ABCD  45° Biết thể tích khối chóp S.ABCD a3 , tính khoảng cách d hai đường thẳng SB AC A d  a B d  a C d  a 10 D d  a 2 Câu 37: Một hình hộp chữ nhật mà khơng phải hình lập phương có số trục đối xứng A trục đối xứng B trục đối xứng C trục đối xứng D trục đối xứng Câu 38: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, cạnh bên SA  2a SA vng góc với mặt phẳng đáy, tam giác SBD tam giác Thể tích khối chóp S.ABCD A 2a 3 B 2a C 2a 3 D 2a A B C D Câu 42: Một hộp A hình lập phương có kích thước 4cm×4cm×4cm chứa đầy nước Người ta rót nước từ hộp A vào hộp B hình lăng trụ đứng có đáy tam giác cạnh 3cm đường cao 16cm đến hộp B đầy nước Độ cao mực nước lại A gần bằng: (xem bề dày thành hai hộp mỏng) A 3,897 cm B 1,299 cm C 0,103 cm D 2,701 cm Câu 43: Khối hình lập phương tích 27a3 diện tích tồn phần là: A 24a2 B 60a2 C 54a2 A 3r h B r 2h C 3rh chéo mặt phẳng bên a Khi đó, thể tích khối lăng trụ A a3 B a3 C a3 12 D a3 B a 3 C a D a Câu 40: Cho hình chóp S.ABC có đáy SA vng góc với mặt phẳng  ABC  Tam giác ABC vuông C, AB  a , AC  a Tính thể tích khối chóp S.ABC biết SC  a a 10 A a3 B a3 a3 C D Câu 41: Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' , mặt phẳng  ABCD  VM A ' B 'C ' VABCD A ' B 'C ' D ' lấy điểm M Khi tỷ số D 4r h Câu 45: Hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác mặt phẳng  SAB  vng góc với  ABCD  Thể tích khối chóp S.ABCD A 2a D 96a2 Câu 44: Người ta tính bán kính R cầu đồng cách cho vào hộp trụ có chứa nước với bán kính đáy r Giả sử hộp trụ chứa lượng nước đủ nhấn chìm cầu đồng nước dâng thêm độ cao h khơng tràn khỏi hộp Cơng thức tính R theo r h Câu 39: Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh đáy a Biết đường 3 Câu 46: Hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh a hình chiếu A lên mặt phẳng  A ' B ' C '  trung điểm cạnh B ' C ' Biết góc đường thẳng AA ' với mặt phẳng  ABC  60° Thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' A 3a B 3a C 3a D 3a Câu 47: Cho tam giác ABC cạnh hình vng MNPQ nội tiếp tam giác ABC (M thuộc AB, N thuộc AC, P, Q thuộc BC) Gọi S phần mặt phẳng chứa điểm thuộc tam giác ABC không chứa điểm thuộc hình vng MNPQ Thể tích vật thể tròn xoay quay S quanh trục đường thẳng qua A vng góc với BC A 810  467  24 B 3  96 C 3 96 D 54  31  12 Câu 48: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A, AB  a , AC  a Hình chiếu điểm S mặt phẳng  ABC  trùng với trung điểm đoạn thẳng BC Biết góc mặt phẳng  SAB  mặt phẳng  ASC  60° Thể tích khối tứ diện S.ABC A 5a 12 B 5a 10 12 C a 210 24 D a 30 12 Câu 49: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có tất cạnh a Gọi M, N trung điểm cạnh AB B ' C ' Mặt phẳng  A ' MN  cắt cạnh BC P Thể tích khối đa diện MBP A ' B ' N A 3a 32 B 3a 96 C 3a 3a D 68 32 Câu 50: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' tích G trọng tâm tam giác BCD ' Thể tích V khối chóp G ABC ' A V  B V  C V  1 D V  12 18 ... bằng: A a3 2 B a3 C a3 D C V  a3 24 a B V  D V  a3 24 B 16 C a D 12 Câu 29: Cho ABCD A ' B ' C ' D ' hình lập phương có cạnh a Tính thể tích khối tứ diện ACD ' B ' A a B a3 C a3 D a3 Câu 30 : Cho... AHK  V C 32 5m3 D 576m3 60° Gọi M, N trung bao nhiêu? C VS AHK 33 6 Câu 33 : Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh đáy 3m Biết A MN vng góc với CP  V D S  Câu 31 : Cho hình... Câu 32 : Ba mặt chung đỉnh khối  A a3 3 B a3 C 2a 3 D a3 Câu 34 : Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vng B; AB  a , BC  a ; mặt phẳng  A ' BC  hợp với mặt đáy  ABC  góc 30 °