CÔNG PHÁ TOÁN 3 FILE WORD PHẦN (8)

LOVEBOOK.VN|1 LOVEBOOK.VN|2 Chủ đề III Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân ứng dụng The best or nothing NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Vấn đề cần nắm: I Nguyên hàm tính chất II Hai phương pháp tìm nguyên hàm III Khái niệm tính chất tích phân IV Hai phương pháp tính tích phân V Ứng dụng hình học tích phân I Nguyên hàm tính chất Kí hiệu K khoảng, đoạn hay nửa khoảng Định nghĩa Cho hàm số f  x  xác định K Hàm số F  x  gọi nguyên hàm hàm số f  x  K F '  x   f  x  với x thuộc K Định lý 1 Nếu F  x  nguyên hàm hàm số f  x  K với số C, hàm G  x   F  x   C nguyên hàm hàm f  x  K Đảo lại F  x  G  x  hai nguyên hàm hàm số f  x  K tồn số C cho F  x   G  x   C Định lý Nếu F  x  nguyên hàm f  x  K nguyên hàm f  x  K có dạng F  x   C , với C số STUDY TIP Từ định nghĩa nguyên hàm ta có được: Người ta chứng minh rằng: “Mọi hàm số liên tục K có nguyên hàm K.” Từ hai định lý ta có - Nếu F  x  nguyên hàm hàm số f  x  K F  x   C , C  ¡ Chú ý Biểu thức vi phân nguyên hàm , họ tất nguyên hàm f  x  K Kí hiệu  f  x  dx  F  x   C Tính chất nguyên hàm Tính chất  f '  x  dx  f  x   C Tính chất  kf  x  dx  k  f  x  dx Từ ta suy hệ Tính chất Với u  ax  b,  a     f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx ta có  f  ax  b  dx  F  ax  b   C a LOVEBOOK.VN|77 Cơng Phá Tốn – Lớp 12 Ngọc Huyền LB II Hai phương pháp để tìm nguyên hàm Phương pháp đổi biến số Định lý Cho hàm số u  u  x  có đạo hàm liên tục K hàm số y  f  u  liên tục cho hàm hợp f u  x   xác định K Khi F ngun hàm f  f u  x   u '  x  dx  F u  x    C Ví dụ 1: Tìm ngun hàm STUDY TIP Với phương pháp đổi biến ta cần trọng công thức mà suy từ định lý sau: Nếu ,   x  1 10 dx Lời giải Theo định lý ta cần viết dạng  f  u  du Mà u '   x  1 '  ,   x  1 dx    x  1  x  1 ' dx    x  1 d  x  1  10 10 10  x  1 11 11 C Từ ví dụ ta có bước gợi ý để xử lý tốn tìm ngun hàm theo phương pháp đổi biến Nếu tính ngun hàm theo biến sau tính nguyên hàm xong, ta phải trở lại biến x ban đầu cách thay u Dạng 2: Gửi vào ngân hàng số tiền a đồng với lãi suất x% = r tháng theo hình thức lãi kép Gửi theo phương thức có kỳ hạn m tháng Tính số tiền gốc lẫn lãi A sau n kỳ hạn Từ “STUDY TIP” bên ta thấy đưa ghi nhớ quan trọng: Trong kỳ hạn, lãi suất giống mà không cộng dồn vào vốn để tính lãi kép Ví dụ kỳ hạn tháng lãi suất tháng ar, tháng 2, tháng ar, sau hết kỳ hạn tháng mà khơng rút số tiền lãi kỳ hạn cộng dồn vào tiền gốc Lời giải tổng quát Đặt u  g  x  Biến đổi x dx u du Giải toán dạng nguyên hàm hàm hợp  f  u  du , sau thay biến x vào nguyên hàm tìm kiểm tra lại kết Ta đến với ví dụ Ví dụ 2: Tìm  x  1 x dx LOVEBOOK.VN|78 Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân ứng dụng The best or nothing Ở toán này, ta thấy số mũ cao mà lại có biểu thức ngoặc phức tạp x Do ta đặt   x  để đổi biến, lời giải áp dụng gợi ý bước Lời giải Đặt u   x  du    x  ' dx  du  dx ta có  x  1 x dx     u  u  1 du     u  2u  u  du  1 x  2 1 x   1 x u 2u u10    C   10 10 10 C Phương pháp lấy nguyên hàm phần Định lý Chú ý Đẳng thức định lý dc viết dạng Nếu u v hai hàm số có đạo hàm liên tục K  u  x  v '  x  dx  u  x  v  x    v  x  u '  x  dx Nếu nguyên hàm có dạng  p  x  q  x  dx ta nghĩ đến phương pháp nguyên hàm phần Bảng sau gợi ý cách đặt ẩn phụ để tính nguyên hàm  p  x  q  x  dx Hàm dấu tích phân Cách đặt p  x  đa thức, q  x  hàm lượng giác u  p  x    dv  q  x  dx p  x  đa thức, q  x   f '  e x  e x u  p  x    dv  q  x  dx p  x  đa thức, q  x   f  ln x  u  q  x    dv  p  x  dx p  x  hàm lượng giác, q  x   f  e x  u  q  x    dv  p  x  dx p  x  đa thức, q  x   f '  ln x  x p  x  đa thức, q  x   f '  u  x    u  x   ' , u  x  hàm lượng giác  sin x, cos x, tan x, cot x  u  p  x    dv  q  x  dx u  p  x    dv  q  x  dx Ví dụ 3: Thầy Điệp Châu cho tốn “Tìm  sin x cos xdx ” ba bạn Huyền, Lê Hằng có ba cách giải khác sau LOVEBOOK.VN|79 Cơng Phá Tốn – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Bạn Huyền giải Bạn Lê giải phương pháp lấy nguyên phương pháp đổi biến số hàm phần sau: sau: u  cos x, v '  sin x “Đặt Ta có “Đặt u  sin x , ta có: u '   sin x, v   cos x du  cos xdx Công thức nguyên hàm phần cho ta sin x cos xdx  udu Vậy   sin x cos xdx   cos x  sin x cos xdx u2 sin x  C  C ” 2   Giả sử F nguyên hàm sin x.cos x Theo đẳng thức ta có F  x    cos x  F  x   C Suy F  x    Bạn Minh Hằng chưa học đến hai phương pháp nên làm sau: “  sin x.cos xdx sin x dx cos x   C ”  cos x C  2 Điều chứng tỏ  cos x nguyên hàm sin x.cos x Vậy  sin x.cos xdx   cos x  C ” Kết luận sau đúng? STUDY TIP Bài toán củng cố định lý nêu trên, củng cố cách giải nguyên hàm A Bạn Hằng giải đúng, bạn Lê Huyền giải sai B Bạn Lê sai, Huyền Hằng C Ba bạn giải sai D Ba bạn giải Đáp án D Nhận xét: Sau soát kĩ ba lời giải, ta thấy ba lời giải không sai bước cả, nhiên, đến cuối đáp án lại khác nhau? Ta xem giải thích lời giải sau Lời giải cos x sin x cos x ;   2 nguyên hàm sin x.cos x chúng khác số Thật Cả ba đáp số đúng, tức ba hàm số sin x  cos x    ; 2   2 sin x  cos x  2sin x    2sin x      4  Bảng số nguyên hàm mở rộng LOVEBOOK.VN|80 Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân ứng dụng  ax  b    ax  b  dx  a    1  1  dx  C ,   1 ax  b m  sin  ax  b  dx   a cos  ax  b   C ax b e C a  tan  ax  b  dx   a ln cos  ax  b  m ax b  C ,  m   a ln m  cot  ax  b  dx  a ln sin  ax  b  a a  dx  ax  b  cos  ax  b  dx  a sin  ax  b   C 1  ax  b  a ln ax  b  C e The best or nothing dx  1 C dx x  arctan  C x a a  sin  ax  b    a cot  ax  b   C dx ax  ln C x 2a a  x x dx x2  a2 dx  ln x  x  a  C a  x2  a2 C  x x  a   a ln x dx  b  ln  ax  b  dx   x  a  ln  ax  b   x  C ax  e sin bxdx    C e ax  a sin bx  b cos bx  C a  b2 LOVEBOOK.VN|81 dx xa  ln C a 2a x  a dx  cos  ax  b   a tan  ax  b   C  a  x dx  dx x a2  x2 a2 x  arcsin  C 2 a  sin  ax  b   a ln tan ax  e cos bxdx  ax  b C e ax  a cos bx  b sin bx  C a  b2 Cơng Phá Tốn – Lớp 12 Ngọc Huyền LB III Các dạng toán nguyên hàm Dạng 1: Tìm nguyên hàm F  x  hàm số f  x  D  ¡ Các tốn dạng yêu cầu độc giả nhớ bảng công thức nguyên hàm thường gặp Chú ý với nguyên hàm hàm hợp để áp dụng cơng thức! Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm hàm số f  x   cos 3x A  cos xdx  3sin x  C C  cos xdx   STUDY TIP B  cos xdx  sin x C sin 3x C D  cos xdx  sin x  C Đáp án B Lời giải Ta có  cos xdx  sin x d  sin x   C  3 Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm hàm số f  x   dx A  x   ln 5x   C C  x   5ln x   C dx 5x  dx B  x     ln x    C D  x   ln 5x   C dx Đáp án A Lời giải Ta có dx d  5x  2  ln x   C 5x   f  x  dx   5x    x Ví dụ 3: Tìm ngun hàm hàm số f  x   x x A  dx  ln  C B  x dx  7x C ln x x 1 C  dx   C D  x dx  x 1 C x 1 Đáp án B Lời giải Ta có  x dx   x d  7x  x.ln  d  7x  7x  C ln ln LOVEBOOK.VN|82 Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân ứng dụng Ví dụ 4: Nguyên hàm hàm số f  x   A F  x    C F  x    x  1  x  1  x  1 x B F  x   C  x  1 D F  x   C The best or nothing  x  1 C   x  1 Đáp án D Lời giải Đặt u  x  u '  Khi x   1 x dx   u 1 1  du     du   u 4 du   u 5du u u u  1 1    C u u Thay u  x  ta x   x  1 dx   x  1   x  1 C Ví dụ 5: Nguyên hàm hàm số x.ln x STUDY TIP Ở xuất tích nên ta áp dụng nguyên hàm phần A x ln x C B x ln x x  C C x ln x x  C D x2 C Đáp án B Lời giải  ln x  u  x dx  du Ta có  x.ln xdx Đặt   dv  xdx  v  x  Theo phương pháp nguyên hàm phần ta có  x.ln xdx   udv  uv   vdu   x2 x2 ln x   dx 2 x x ln x x x ln x x   dx   C 2 LOVEBOOK.VN|83  x  1 C Cơng Phá Tốn – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Dạng 2: Chứng minh F  x  nguyên hàm hàm f  x  D  ¡ Ví dụ 1: Cho F  x   ln  ln  ln x   Hỏi F  x  nguyên hàm hàm số đây? Chú ý Sai lầm thường gặp cách đạo hàm hàm hợp Ở ta cần đạo hàm sau: với ta kết bên A f  x   x.ln  ln x  B f  x   ln  ln  ln x   C f  x   ln x.ln  ln x  D f  x   x.ln x.ln  ln x  Đáp án D Lời giải Để tìm F  x  nguyên hàm hàm số số hàm số trên, ta đạo hàm F  x  từ suy f  x  1 ln  ln x   '   ln x  ' Ta có F '  x   ln  ln  ln x    '  ln  ln x  ln  ln x  ln x  1 1   f  x ln  ln x  ln x x x.ln x.ln  ln x  x3  Hỏi F  x  nguyên hàm hàm số Ví dụ 2: Cho F  x   ln x  12 đây? x 9 x  C f  x   x  12 A f  x   STUDY TIP Công thức cần nhớ: x9 x  D f  x   x  12 B f  x   Đáp án A Lời giải 1 x3   1   '   ln x   ln x   ' Cách 1: Ta có F '  x    ln x  12   6 12  6 1 1    2  x 3 x 3 x 3 x 9 Cách 2: Thực chất công thức nguyên hàm mà tơi giới thiệu bảng ngun hàm phía (dịng số bảng) Áp dụng cơng thức ta có f  x   x 9 LOVEBOOK.VN|84 Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân ứng dụng The best or nothing VIII Một số dạng tích phân thường gặp Tích phân hàm phân thức hữu tỉ Trong toán này, ta tham khảo lại phần “Nguyên hàm phân thức hữu tỉ” phía để hiểu định nghĩa phân thức hữu tỉ, phân thức hữu tỉ thực phân thức đơn giản, định lý nêu phần nguyên hàm phần trước Dưới số toán thường gặp dạng A MỘT SỐ CÔNG THỨC VÀ KĨ NĂNG BIẾN ĐỔI u du ua  ln C a 2a u  a du au  ln C u 2a a  u Kỹ biến đổi tam thức bậc hai  b  b  4ac  2 ax  bx  c  a x    ax  bx  c    mx  n   p   2a  4a   B CÁC DẠNG TỐN  Dạng 1: Tích phân dạng I1    STUDY TIP Khi mẫu thức có dạng tam thức bậc hai thường đưa dạng dx ax  bx  c Phương pháp chung    mx  n  p   ln Biến đổi I1    2   mx  n   p  2mp mx  n  p   Ví dụ 1: Cho dx  ab  ln   13  , với a, b, c  ¡ ; c  Đặt dx  I   x  8x  c S  a  b  c , lúc S có giá trị A S  20  37 C S  57 B S  37  24 Đáp án D Lời giải STUDY TIP Áp dụng tốn tổng qt ta có  2x    I   ln   x    0  2x  2  dx  37  20  ln   13  2.1   2.0        ln   ln    2.1   2.0     S  a  b  c  37  37  20   61 D S  61 Ví dụ 2: Cho I  dx   10 x  x 1  b  53 ln với a; b  ¡ ; a  Tích ab a 53 b  53 có giá trị A ‒24 B 24 C ‒48 D 48 Đáp án A Lời giải Áp dụng toán tổng quát ta có I  1 dx 53   5     2x   2      1 dx 2   53   x     2      1   53  x   53   4.0   53   ln ln  ln    x   53  53  4.0   53  1   53   53 1  12  53 ln 53 12  53  a  2; b  12  ab  24  Dạng 2: Tính tích phân I    STUDY TIP Khi mẫu thức có dạng tam thức bậc hai thường đưa dạng mx  n dx ax  bx  c Phương pháp chung Cách 1: m mb  2ax  b    n   m   2ax  b  dx  mb  dx 2a 2a    I2     n    2  ax  bx  c 2a  ax  bx  c  2a   ax  bx  c     m d  ax  bx  c   mb  mb  m    n I1   ln ax  bx  c   n  I1  2a  ax  bx  c 2a  2a    2a   Cách 2: Phương pháp hệ số bất định (Sử dụng mẫu có nghiệm) * Nếu mẫu số có nghiệm kép x  x0 tức ax  bx  c  a  x  x0  ta giả sử mx  n A B   ax  bx  c x  x0  x  x0  Quy đồng vế phải đồng hệ số hai vế để tìm A; B   B  Sau tìm A; B ta có I   A.ln x  x0   x  x0   * Nếu mẫu số có nghiệm phân biệt x1 ; x2 : ax  bx  c  a  x  x1   x  x2  ta giả sử: Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân ứng dụng The best or nothing mx  n A B   ax  bx  c x  x1 x  x2 Quy đồng đồng hệ số để tìm A; B  Sau tìm A; B ta có I   A ln x  x1  B ln x  x2   Ví dụ 1: Cho I  x 2 A ‒35 2x  dx  a ln  b ln , a; b  ¢ a  2b có giá trị  3x  B ‒2 C D Đáp án D Lời giải Cách 1: Ta có I   2  x  3  dx  0 2x  6dx 2 x  3x  dx  2 x  3x  x  3x   0 x  dx  x  x    dx 2   6  ln x  3x   ln 2 x  x  3 1 2 2   x   x       2 2  2   x2   ln  x  1  x    6ln   ln x   5ln x   x   2       2 2  ln1  5ln   ln  5ln   7 ln  10 ln  5ln  7 ln  5ln  a  2b  x  Cách 2: Ta thấy x  x     x  Giả sử  A  B x   2A  B 2x  A B 2x      x  3x  x  x  x  3x  x  3x  2 A  B  A   Đồng hệ số ta có  2 A  B   B  5 Giải thích cách sử dụng MTCT Áp dụng cơng thức ta có I   ln x   5ln x   2  7 ln  5ln Cách 3: Sử dụng máy tính cầm tay Ta thấy nhập vào hình ta coi b (biến X) chạyTrong tốn ta sử dụng chức TABLE để giải quyết, nhiên khoảng từ step làcách Ở làm mang tính chất “mị” (tức dự đoán khoảng a; b) ta chọn STEP đề cho a; I  b.ln Ta thấy I  a.ln  b.ln  a  b nguyên Lúc hình ln giá trị b (chính X) Lúc ta nhập biểu thức tích phân vào máy tính gán giá trị cho giá trị tương ứng a biến A (chính cột ) Do a; b nguyên nên ta chọn Tiếp tục sử dụng MODE TABLE để chạy biến giá trị b từ tìm bảng giá trị tương ứng a Ta thấy có trường hợp X  5; F  X   7 thỏa mãn số nguyên, ta kết luận a  7; b   a  2b  Đọc thêm: Tích phân hàm phân thức chứa mẫu thức  dx Dạng 1: Tính tích phân I   ax  bx  c  Phương pháp chung Chú ý Phương pháp áp dụng hệ số Ta có du    ln u  u k u 1 u2  k '  u 1 u k  u k  u  u2  k u  u2  k u2  k 2  ln u  u  k  C Áp dụng toán vừa chứng minh ta áp dụng vào toán biến đổi sau:  I3     dx ax  bx  c   1   ln  mx  n    mx  n   k  m dx  mx  n  dx  Dạng 2: Tính tích phân I   ax  bx  c  Phương pháp chung  Ta có I     mx  n  dx   m  2ax  b  dx mb dx     2 ax  bx  c 2a  ax  bx  c 2a  ax  bx  c  m d  ax  bx  c  mb   I 2a  ax  bx  c 2a  Dạng 3: Tính tích phân I    dx  px  q  ax  bx  c   mx  n   k   Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân ứng dụng The best or nothing Phương pháp chung dt 1  Đặt px  q   pdx   ; x    q  Khi t t pt   I5    dx  px  q  p  q   p  q p  q ax  bx  c dt At  Bt     p  q dt pt t a 1  b 1   q     q  c  p t pt   (quay trở toán dạng 1) Tích phân hàm lượng giác A MỘT SỐ CƠNG THỨC VÀ KĨ NĂNG BIẾN ĐỔI Các công thức nguyên hàm hàm lượng giác  sin  ax  b  dx   a cos  ax  b   C 1  sin  ax  b    a cot  ax  b   C  cos  ax  b  dx  a sin  ax  b   C dx dx  cos x  ax  b   a tan  ax  b   C 2 B CÁC DẠNG TOÁN b1 b2 Dạng 1: Tính tích phân: I1    sin x  dx; I    cos x  dx n a1 n a2 Nếu n chẵn ta sử dụng cơng thức hạ bậc Nếu n  ta sử dụng cơng thức hạ bậc biến đổi theo trường hợp 3 Nếu n  n lẻ  n  p  1 ta thực biến đổi b1 b1 I1    sin x  dx    sin x  n a1 p 1 a1 b1 dx    sin x  2p a1 b1 sin xdx      cos x  d  cos x  p a1 Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton để khai triển   cos x  p Từ ta giải dc toán I2  b2   cos x  n dx  a2 b2   cos x  a2 p 1 dx  b2   cos x  2p cos x.dx  a2 b2    sin x  d  sin x  p a2 Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton để khai triển   sin x  p Từ ta giải dc tốn  10 Ví dụ 1: Cho I  cos xdx Đẳng thức sau đúng?   10 A I   x  sin x  sin12 x    12 96  10 C I    x  sin x  sin12 x  12 96  0  10 B I   sin x  sin12 x  96 12 0  10 D I   x  sin12 x  96 8 0 Đáp án A Lời giải Ta có Ta thấy bậc cos3x là số chẵn Từ phần phương pháp chung ta sử dụng công thức hạ bậc lời giải bên  10   10 10   cos12 x    cos x  dx   2cos x  cos x dx      1  2cos x  dx 0     40 0  Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân ứng dụng The best or nothing  1 3  10   x  sin x  sin12 x  12 96 8 0 Từ ta giải tốn Ví dụ 2: Cho:   1 3 I    sin x  dx    cos5 x  a cos x  b cos 5 x  c cos x  cos x  5 0 Đặt S  a  b  c Giá trị S A S  B S   74 105 C S   D S  Đáp án B Lời giải   Ta có I   sin x  sin xdx     cos x  d  cos5 x  0 0  13    1  4cos x  6cos x  4cos x  cos8 x  d  cos5 x  50  1 3    cos5 x  cos3 x  cos 5 x  cos x  cos x  5 0 74  a   ;b  ;c    S   105 b m n Dạng 2*: Tính tích phân I   sin x.cos xdx a Phương pháp chung a Trường hợp 1: m; n số nguyên Nếu m chẵn, n chẵn sử dụng cơng thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng Nếu m chẵn, n lẻ  n  p  1 biến đổi b I    sin x  m  cos x  p 1 a b    sin x  m a b dx    sin x  m  cos x  2p cos xdx a   sin x  d  sin x  2 Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton để khai triển giải toán Nếu m lẻ  m  p  1 , n chẵn ta biến đổi b I    sin x  a p 1 b  cos x  dx    sin x  n a 2p  cos x  sin xdx n b      cos x   cos x  d  cos x  p n a Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton để khai triển giải toán Nếu m lẻ, n lẻ sử dụng biến đổi cho số mũ lẻ bé b Trường hợp 2: m; n số hữu tỉ b b I   sin m x.cos n xdx    sin x   cos x  a m n 1 sin b cos xdx  a  sin a um   u2  n 1 du  *  Ví dụ 1: Cho I   sin x   cos x  100 dx Đẳng thức sau đúng?    cos x  101  cos x  103  cos x  105  cos x  107  A I        10 103 105 107      cos x  101  cos x  103  cos x  105  cos x  107  B I  2      10 103 105 107    cos x  C I      10 101   cos x  103  103  cos x  105 105  cos x    107 107 3     cos x  101  cos x  103  cos x  105  cos x  107  D I         101 103 105 107  Đáp án C Lời giải  Trong toán này, ta thấy m lẻ, n chẵn nên ta áp dụng phương pháp tốn tổng qt phía  I    cos x  100 13 100  sin x  sin xdx     cos x    cos 2 x  d  cos x  20  13 100     cos x    3cos 2 x  3cos x  cos x  d  cos x  20  101 103 105 107  cos x   cos x   cos x     cos x         101 103 105 107  b1 b2 * Dạng 3: Tính tích phân I1    tan x  dx; I    cot x  dx  n  ¥  a1 n n a2 Phương pháp chung Sử dụng công thức sau: dx    tan x  dx   cos 2 x   d  tan x   tan x  C Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân ứng dụng dx    cot x  dx   sin 2 x sin x    d  cot x    cot x  C  tan xdx   cos x dx   cos x  cot xdx   sin x dx   The best or nothing d  cos x    ln cos x  C cos x d  sin x  sin x  ln sin x  C Dạng 4*: Tích phân liên kết Phương pháp chung b cos xdx a sin x  cos x Bài tốn 1: Tính tích phân I   b b cos xdx sin xdx Xét tích phân liên kết I   a sin x  cos x a sin x  cos x * I1   b  b I  I   1  dx  x a  a Ta có  b b  I  I  cos x  sin x dx  d  sin x  cos x   ln sin x  cos x a sin x  cos x a sin x  cos x   b a b  1   I1    x  ln sin x  cos x   2 a  Giải hệ phương trình ta  b  1   I    x  ln sin x  cos x    a  Các trường hợp thường gặp: * I1  I tính I1  I    I1  I   * I tích phân đơn giản, thường hàm số dấu tích phân f  x  ; g  x  (của hai tích phân liên kết) thường có tính cân xứng bổ sung cho toán tốn Việc tìm tích phân liên kết phụ thuộc vào kinh nghiệm giải toán người đọc  Bài tốn 2: Tính tích phân I1    sin xdx a cos x  b sin x Phương pháp chung  cos xdx  a cos x  b sin x Xét tính phân liên kết với I1 I      a cos x  b sin x  bI  aI  dx  dx  x     a cos x  b sin x    Ta có    bI  aI  b cos x  a sin x dx  d  a cos x  b sin x   ln a cos x  b sin x   a cos x  b sin x   a cos x  b sin x   Giải hệ phương trình ta I1 ; I   Từ hai toán ta đưa kết luận tích phân liên kết sau: b Trong số tốn tính tích phân I1   f  x  dx , ta sử dụng tích phân a b I   g  x  dx tích phân liên kết I1 cho ta xác lập mối quan a hệ ràng buộc I1 I thành hệ phương trình sau:  mI1  nI     pI1  qI   Giải hệ phương trình ta dễ dàng tìm I1 ; I Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân ứng dụng The best or nothing Một số tốn tích phân gốc thường gặp Bài toán 1: Cho f hàm số chẵn liên tục  b; b  với b  Chứng minh f  x b a x b 1 b dx   f  x  dx (với a  a  ) (1) Lời giải tổng quát Đặt x  t dx  dt ; f  t   f  t  nên f  x a b x 1 dx   b  f  t  a t  b dt   at f  t  at  b dt   ax f  x ax  dx Do b f  x a x b 1 b dx   ax f  x b dx   ax  f  x ax  b dx   f  x  dx x4  x2  dx Ví dụ 1: Tính tích phân  2x  1 A 23 15 B 15 23 D 1 C Đáp án A Lời giải Ta thấy hàm số f  x   x  x  hàm số chẵn, áp dụng tốn ta có: 1  x5 x3  x4  x2  23 dx  x  x  dx       x  1 2x  0   15 Bài toán 2*: Cho f hàm số liên tục đoạn  a; b  Chứng minh rằng: b b a a  f  a  b  x  dx   f  x  dx b Đặc biệt  b f  b  x  dx   f  x  dx  2  3 Lời giải tổng quát Đặt t  a  b  x dt  dx Khi b  a a b b a f  a  b  x  dx    f  t  dt   f  x  dx Khi a  , ta nhận công thức (3)  Ví dụ 2: Cho ln   tan x  dx   ln b ,  a ; b   Khi tổng a  b  a A Đáp án B B 10 C D Lời giải   Nhận xét: f  x   ln   tan x  liên tục 0;  , áp dụng (3) với toán ta  4 có:    4    I   ln   tan   x dx   ln dx    ln  ln   tan x   dx  tan x 4   0     ln 2dx  I  I  ln 2.x 04  I   ln Vậy a  b  10 Bài toán 3: Cho hàm số f liên tục  0;1 Chứng minh rằng:   0  f  sin x  dx   f  cos x  dx  4 Lời giải tổng quát  Đặt t   x dt  dx ,    f  sin x  dx   f  cos t  dt   f  cos x  dx 0  Ví dụ 3: Tính tích phân: I   2011 A  2011 sin x 2011 cos x 2011  2011 sin x 2011 B C dx  D  Đáp án C Lời giải  Sử dụng công thức (4) ta có I   2011 2011 cos x 2011 sin x 2011  2011 cos x 2011 dx  Từ suy I  1dx  I    ** Bài toán 4: (đọc thêm) Cho f hàm số liên tục  a; b  thỏa mãn f  x   f  a  b  x  Chứng minh rằng: b  xf  x  dx  a  Đặc biệt  xf  sin x  dx   f  sin x  dx 0  9 Lời giải tổng quát Thực phép biến đổi x  a  b  t b ab f  x  dx (8) a Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân ứng dụng b b b b a a a a  xf  x  dx    a  b  t  f  t   dt    a  b   f  x  dx   xf  x  dx Từ suy (8) Chọn a  0, b   ta có (9) The best or nothing Book Cover ... 1 x dx ? 33 32 4121 4000 33 D I  ln  32 B I  ln  C I  ln  Đáp án D Lời giải Đặt  x  u  dx  du Đổi cận x   u  1; x   u  4 Khi I    ln  33 32 Định lý  u  1 u3 4 u  2u...   3sin x  cos x C F  x   x  3? ?? dx   x  3? ?? dx  C F  x  38 3x   3 LOVEBOOK.VN|96 Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân ứng dụng B F  x  C F  x  D 16  x   3x   ln x  3 F... dx 53   5     2x   2      1 dx 2   53   x     2      1   53  x   53   4.0   53   ln ln  ln    x   53  53  4.0   53  1   53 