16 HSG h 20 BA THUOC

Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN BA THƯỚC - NĂM 2019 Câu 1: (4,0 điểm)  2x 1  x x4  P     x   x 2  x x 1 x  x 1   Cho biểu thức: , với x  4; x  a) Rút gọn biểu thức P Câu 2: b) Tìm giá trị x để P x   (4,0 điểm) 1   0 a Cho số x, y, z  thỏa mãn x y z Tính giá trị biểu thức: 2019  xy yz xz  P      3 x y z  b Giải phương trình: 10 x   3x  Câu 3: (4,0 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: xy  xy  x  32 y b) Tìm số tự nhiên n để số p số nguyên tố biết: p  n  n  n  Câu 4: (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A , AH  BC , HE  AB , HF  AC  H  BC , E  AB, F  AC  a) Chứng minh rằng: AE AB  AF AC , BH  BC cos B AB BE  CF b) Chứng minh rằng: AC 3 2 c) Chứng minh rằng: BC  CF  BE d) Cho BC  2a Tim GTLN diện tích tứ giác AEHF Câu 5: (2,0 điểm) Cho x, y, z số thức dương thay đổi thỏa minh điều kiện xyz  Tìm GTNN x2  y  z  y2  z  x z2  x  y   biểu thức: y y  z z z z  x x x x  y y Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN BA THƯỚC - NĂM 2019 Câu 1: (4,0 điểm)  2x 1  x x4  P    x     x x 1 x  x 1  x 2    Cho biểu thức: , với x  4; x  b) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị x để P x   Lời giải  2x 1  x x4  P     x   x 2  x x 1 x  x 1   a   x 2x 1 x    P     x  x  x       2x 1 P   x 1 x  x  x    2x  1 x x 1   x  P  x 1 x  x 1       x x  x 1  P  x 1 x  x 1             x 1 P P    x 1         x 2 x x 2   x 2  x 1   x 2  x 2 x 2   x4  x 2    x  x x  x  x     x   x 2   x    x  4    x 2  x    x  4    x 2     P  x 2     x 20 x    x 1    x 1   x 1  x 2 b) P x   Vậy với  x  P x   Câu (4,0 điểm) 1   0 x , y , z  x y z a Cho số thỏa mãn Tính giá trị biểu thức: 2019  xy yz xz  P      3 x y z  b Giải phương trình: 10 x   3x  Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 1     yz  xz  xy  x y z a) Ta có 2019  xy yz zx  P      3 x y z  Lại có 2019  x3 y  y z  z x3  P  3 2 x y z   2019   xy  yz  xz    xy  yz   yz  xz   xy  xz   P     x2 y z   2019  3x y z  P   2  3  x y z  0 b) ĐK x  1 Phương trình cho tương đương với phương trình:  x  x  1   x  1  10 Đặt Câu x2  x   u ,  x  1  x  x  1 x   v ta có phương trình: 3u  3v  10uv    3u  v   u  3v    x  x  1  x   x  10 x   TH1: 3u  v (Phương trình vơ nghiệm) x  x    x  1  x  10 x    x   33 TH2: u  3v Vậy phương trình đa cho có nghiệm x   33 (4,0 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: xy  xy  x  32 y b) Tìm số tự nhiên n để số p số nguyên tố biết: p  n  n  n  Lời giải x 32 y  32 32  y   y  1  x  y  1  32 y  y  1 a) Ta có: xy  xy  x  32 y y  12   U  32  y  1   x Để nguyên dương số phương   y  1   1, 4,16  y    1, 2, 4  y   0,1, 2 y nguyên dương nên y 1 x  , y   x  2 p  n3  n  n    n  1  n  1 b) Ta có Lại có: n   n   n    n  Với n   p  số nguyên tố Câu (6 điểm) ABC vuông AH  BC , A, Cho tam giác  H  BC , E  AB, F  AC  a) Chứng minh rằng: AE AB  AF AC , BH  BC cos B Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: HE  AB , HF  AC TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com AB BE  CF b) Chứng minh rằng: AC 3 2 c) Chứng minh rằng: BC  CF  BE d) Cho BC  2a Tim GTLN diện tích tứ giác AEHF Lời giải a) Xét AHB AEH có: µ  A chung; µ µ  E  H  90 Vậy AHB ∽ AEH (g.g) Suy ra: AE AB  AH (1) Tương tự ta có: AF AC  AH (2)  AE AB  AF AC Từ (1) (2): Ta có: BH cos B  AB  BH  cos B AB (3) AB cos B  AC  AB  cos B.BC (4) Lại có: BH  BC.cos B Từ (3) (4) : suy  AB  BH BC AB BH     AC  CH BC AC CH b) Ta có ABC vng A có AH đường cao CH  CF  AC Lại có HCA vng H có HF đường cao  CH  CF AC BE BH AC  AB  AC  AB       CF AB CH  AC  AB  AC  Suy BH BH BH BH 2 BH = BE BA Þ BE = = = Þ BE = BH BC BC BA BC ; c) Ta có CH CF = BC Do Tương tự, BH CH BC BE + CF = + = = BC 3 BC BC BC Vậy Câu BE + CF = BC S  AE AF d) Gọi O trung điểm BC Ta có AEHF AH AH AH  AE AB  AE  AF  AB Tương tự, AC Do Mà AH AH AH AH AH AO3 a a S AEHF        AB AC AB AC AH BC BC BC 2a S Vậy AEHF lớn H  O hay ABC vuông cân A (2,0 điểm) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Cho x, y, z số thức dương thay đổi thỏa minh điều kiện xyz  Tìm GTNN x2  y  z  y2  z  x z2  x  y   y y  z z z z  x x x x  2y y biểu thức: Lời giải 2 x  y  z   2x x y  x  z   y y z2  x  y   2z z Ta có: Tương tự, , 2y y 2x x 2z z P   y y  2z z z z  2x x x x  y y a  x x  y y b  y y  2z z c  z z  2x x , , 4c  a  2b 4a  b  2c 4b  c  2a x x y y z z 9 Suy ra: , ,  4c  a  2b 4a  b  2c 4b  c  2a  P     9 b c a  Do đó: Đặt 2 c a b a b c            4.3       b c a   b c a   c a b c a b   a b 2 1  1               b a b c a b c  a    Do c a b c a b a b c    33    3 b c a Hoặc b c a Tương tự, b c a Dấu "  " xảy  x  y  z  Vậy giá trị nhỏ P  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ... AEHF AH AH AH  AE AB  AE  AF  AB Tương tự, AC Do Mà AH AH AH AH AH AO3 a a S AEHF        AB AC AB AC AH BC BC BC 2a S Vậy AEHF lớn H  O hay ABC vuông cân A (2,0 điểm) Liên h? ??... b) Chứng minh rằng: AC 3 2 c) Chứng minh rằng: BC  CF  BE d) Cho BC  2a Tim GTLN diện tích tứ giác AEHF Lời giải a) Xét AHB AEH có: µ  A chung; µ µ  E  H  90 Vậy AHB ∽ AEH (g.g)...  TH1: 3u  v (Phương trình vơ nghiệm) x  x    x  1  x  10 x    x   33 TH2: u  3v Vậy phương trình đa cho có nghiệm x   33 (4,0 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: