22 HSG h 20 CHUONG MY v2

Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN CHƯƠNG MỸ VÒNG - NĂM 2020 Câu 1: (3,0 điểm) Chứng minh rằng:  2019 2019  20212020  M2020 Tìm số tự nhiên n để n  24 n  65 số phương H Câu 2: (4,0 điểm) Cho x y xy   x  y  xy  y x  xy  x  y x   xy  y Tìm x, y nguyên để H  20 Câu 3: (3,0 điểm) Cho số a, b, c, x, y , z dương thỏa mãn: Tính giá trị biểu thức Giải phương trình: Câu 4: M y x z   1 a b c a b c   0 x y z x y z    2019 a b c x  16 x   x  x   (4,0 điểm) f  x   x4  x3  x  x  a    b  Tìm a, b để viết thành bình phương đa thức   a    b   4,5 Tìm giá trị nhỏ biểu Cho a, b số dương thỏa mãn 4 thức Q  a   b  a b c   1 Cho a, b, c dương cho b c a Chứng minh: Câu 5: b c a   1 a b c (7,0 điểm)  AB  AC  , đường cao AH ( H thuộc BC ) Kẻ Cho tam giác ABC vuông A HD, HE vng góc với AB, AC ( D thuộc AB , E thuộc AC ) Đường thẳng qua A vng góc với DE cắt BC I a) Chứng minh: I trung điểm BC Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com b) Kẻ đường thẳng vng góc với AI A cắt đường thẳng BC K Chứng minh AB tia phân giác góc KAH c) Chứng minh: AD.BD  AE.EC  AI Cho tam giác ABC , kẻ đường phân giác AD, BE , CF tam giác ABC a) Chứng minh AB.BD  BD.DC  AD 1 1 1      b) Chứng minh: AB AC BC AD BE CF Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN CHƯƠNG MỸ VÒNG NĂM 2020 Câu 1: (3,0 điểm)  2019 Chứng minh rằng: 2019  20212020  M2020 Tìm số tự nhiên n để n  24 n  65 số phương Lời giải Ta có: Mà  2019 2019  1   20212020  1  20192019  20212020 20192019    2019  1  20192018  20192017  2019 2016  K  1 (1) 20212020    2021  1  20212019  20212018  20212017  K  1 (2) Cộng vế (1) (2) ta được: 2020  20192018  20192017  20192016  K  1   20212019  20212018  20212017  K  1  M2020  n  24  k  n  65  h 2 Đặt   k  24  h  65  k  h   k  h   89  1.89  89.1 Với k , h  ta có: k  h   k  45   +) TH1: k  h  89  h  44 Khi k  45  n  24  45  n  2001 k  h  89 k  45   h  44( KTM ) +) TH2: k  h  Vậy với n  2001 n  24 n  65 số phương H Câu 2: (4,0 điểm) Cho x y xy   x  y  xy  y x  xy  x  y x   xy  y Tìm x, y nguyên để H  20 Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ĐKXĐ: x, y  1; x, y  x  y  xy  y  Ta có:   x  xy  x  y  x x   xy  y  x H  H  x y    x y  x y   x 1  y    x  y 1 y     x 1  x y    x  y 1 y     x y  x 1   x 1 1 y   x 1 x x  x  y  y y  xy x  xy y    x  y 1 y    x 1 x  y  x  y  x  xy  y  xy  x  y 1 y x 1     x  y  x  xy  y  xy H H  x   y  y  xy Khi H     x y  y 1 y    x x  H H H x   x 1    y   x  1 y  xy  y  x  x 1  x 1  y  1 y    1 y   x 1  y 1 x 1 x x  y  y 1 x         x 1 x y yy x 1 y  x 1 y 1 y  y 1 y  1 y   H  x  y  y  x  xy  y Ta có   Liên hệ tài 039.373.2038 H  20  x  xy  y  20  x  y 1 liệu    y 1   y   19  x   19  19.1  1.19   1  19    19   1 word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com  y   y    x  400 TH1:  x   19   y   19  y  324   x  x   TH2:   y   1   x    19  TH3:  loại  y   19   x      TH4: loại Vậy với x  400; y  x  4, y  324 H  20 Câu 3: (3,0 điểm) Cho số a, b, c, x, y , z dương thỏa mãn: Tính giá trị biểu thức Giải phương trình: M y x z   1 a b c a b c   0 x y z x y z    2019 a b c x  16 x   x  x   Lời giải Từ y x z x y z xy yz xz   1      1 a b c a b c ab bc ac  Mà ayz  bxz  cxy x y z    1 a b c abc (1) ayz  bxz  cxy a b c   0 0 x y z xyz  ayz  bxz  cxy  (2) x y z   1 Từ (1) (2) suy a b c Do M x y z    2019   2019  2020 a b c Đk: x  x  8 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com x  16 x   x  x    x2  8x   x  x  8 Đặt (1) t  x  x  8  t  0  t  x  8x t  1  t   2t  t  2t     t  (1) Ta thấy t  1 không thỏa mãn đk x 1 t   x2  x     x  9 (tmđk) Với Vậy tập nghiệm phương trình Câu 4: S   1; 9 (4,0 điểm) f  x   x4  x3  x  x  a    b  Tìm a, b để viết thành bình phương đa thức   a    b   4,5 Tìm giá trị nhỏ biểu Cho a, b số dương thỏa mãn 4 thức Q  a   b  a b c   1 Cho a, b, c dương cho b c a Chứng minh: b c a   1 a b c Lời giải Biến đổi f  x   x  x   x  x  x  ax  x  b    x  x  1   a   x   b  1 a    a    f  x b    b  1 Để trở thành bình phương đa thức f  x Vậy với a  2, b  1 trở thành bình phương đa thức Ta có:   a    b   4,5  a  b  ab  Ta xét số thực a, b, x, y ta có bất đẳng thức sau: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com  a2  b2  x2  y  a  a  b2  x  y  2  b2   x2  y   a  b  x  y  ax  by  a  b  x  y  2ax  2by   a  x    b  y   a  x  a  b2  x  y    b  y 2 Áp dụng vào tốn ta có: a  2 Q b  2  12  a  12   b2     1 2 2  3   3  a    a       a 2     Mà (1)  2   3  b     2 b      (2) a  b2 22  ab  a  b    ab  2 (3)   Cộng (1), (2) (3) lại ta được:  3  2 a  b         ab  a  b  2         2 a  b   11     2 2 Hay a  b  11  2 2ab  1 a 1 b    1 a  1 b     ab 3 2   2 2   (Cách khác: Mặt khác: Do  a  b Q   a  b2   a  b2  11   Dấu “=” xảy liệu ab word 2   11  )   87  12 2 Vậy Min Q  87  12 Liên hệ tài 039.373.2038 3  mơn ab tốn: 2 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Câu 5: (7,0 điểm)  AB  AC  , đường cao AH ( H thuộc BC ) Kẻ Cho tam giác ABC vuông A HD, HE vng góc với AB, AC ( D thuộc AB , E thuộc AC ) Đường thẳng qua A vng góc với DE cắt BC I a) Chứng minh: I trung điểm BC b) Kẻ đường thẳng vng góc với AI A cắt đường thẳng BC K Chứng minh AB tia phân giác góc KAH c) Chứng minh: AD.BD  AE.EC  AI Cho tam giác ABC , kẻ đường phân giác AD, BE , CF tam giác ABC a) Chứng minh AB.BD  BD.DC  AD 1 1 1      b) Chứng minh: AB AC BC AD BE CF Lời giải a) Gọi giao điểm DE với AH , AI J ; G · · Tứ giác ADHE hình chữ nhật HAE  JAE ? µ · Mà A1  HAE  90 (hai góc phụ nhau) µ · A3  JEA  90 ( AGE vng) µ µ Do A1  A3 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com µ µ µ µ · Vì A1  C (cùng phụ HAC )  A3  C  AIC cân I  AI  IC Tương tự: AI  BI Vậy IB  IC   IA  · · b) Ta có AIB cân I  IBA  IAB ·  ¶A4  IAB  90  µA  HAC · µ · ·  90 mà  HAC IBA (cựng ph A1 ) ả Do ú: A1  A4 ·  AB phân giác HAK AD.DB  HD   AD.DB  AE.EC  HD  HE  DE  AH 2  AE.EC  HE  c) Ta có: 2 Xét AHI vng H , ta có AH  AI Do AD.DB  AE.EC  AI · · a) Lấy K thuộc tia đối tia DA cho AKB  ACB Vì ACD ∽ AKB (g.g) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word  môn AD AC   AB AC  AD AK AB AK tốn: (1) TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Vì DAC ∽ DBK (g.g) Trừ (1), (2) suy  DC AC AD    DC.BD  DK AD DK BK BD (2) AB AC  DC.BD  AD  AK  KD   AD AD  AD b) Kẻ BM //AD , cắt đường thẳng AC M  ABM cân A  AM  AB Theo BĐT tam giác: MB  AM  AB  MB  AB Do AD //BM  AD CA AC AC    BM CM AC  AM AC  AB (do CM  AC  AM ; AM  AB ) AD AC  BM AC  AB  AD    AC AC.2 AB AB AC BM   AC  AB AC  AB AC  AB AC  AB 1  1         AD AB AC AC AB  AC AB  1  1      Tương tự: BE  AB BC  1  1      CF  AC BC  1 1 1      Cộng vế với vế, ta được: AD BE CF AB BC AC Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ... 201 9201 9  202 1202 0 201 9201 9    201 9  1  201 9201 8  201 9201 7  201 9 201 6  K  1 (1) 202 1202 0    202 1  1  202 1201 9  202 1201 8  202 1201 7  K  1 (2) Cộng vế (1) (2) ta được: 202 0... GIỎI HUYỆN CHƯƠNG MỸ VÒNG NĂM 202 0 Câu 1: (3,0 điểm)  201 9 Chứng minh rằng: 201 9  202 1202 0  M2 020 Tìm số tự nhiên n để n  24 n  65 số phương Lời giải Ta có: Mà  201 9 201 9  1   202 1202 0... được: 202 0  201 9201 8  201 9201 7  201 9201 6  K  1   202 1201 9  202 1201 8  202 1201 7  K  1  M2 020  n  24  k  n  65  h 2 Đặt   k  24  h  65  k  h   k  h   89  1.89