Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN CHƯƠNG MỸ VÒNG - NĂM 2020 Câu 1: (3,0 điểm) Chứng minh rằng: 2019 2019 20212020 M2020 Tìm số tự nhiên n để n 24 n 65 số phương H Câu 2: (4,0 điểm) Cho x y xy x y xy y x xy x y x xy y Tìm x, y nguyên để H 20 Câu 3: (3,0 điểm) Cho số a, b, c, x, y , z dương thỏa mãn: Tính giá trị biểu thức Giải phương trình: Câu 4: M y x z 1 a b c a b c 0 x y z x y z 2019 a b c x 16 x x x (4,0 điểm) f x x4 x3 x x a b Tìm a, b để viết thành bình phương đa thức a b 4,5 Tìm giá trị nhỏ biểu Cho a, b số dương thỏa mãn 4 thức Q a b a b c 1 Cho a, b, c dương cho b c a Chứng minh: Câu 5: b c a 1 a b c (7,0 điểm) AB AC , đường cao AH ( H thuộc BC ) Kẻ Cho tam giác ABC vuông A HD, HE vng góc với AB, AC ( D thuộc AB , E thuộc AC ) Đường thẳng qua A vng góc với DE cắt BC I a) Chứng minh: I trung điểm BC Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com b) Kẻ đường thẳng vng góc với AI A cắt đường thẳng BC K Chứng minh AB tia phân giác góc KAH c) Chứng minh: AD.BD AE.EC AI Cho tam giác ABC , kẻ đường phân giác AD, BE , CF tam giác ABC a) Chứng minh AB.BD BD.DC AD 1 1 1 b) Chứng minh: AB AC BC AD BE CF Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN CHƯƠNG MỸ VÒNG NĂM 2020 Câu 1: (3,0 điểm) 2019 Chứng minh rằng: 2019 20212020 M2020 Tìm số tự nhiên n để n 24 n 65 số phương Lời giải Ta có: Mà 2019 2019 1 20212020 1 20192019 20212020 20192019 2019 1 20192018 20192017 2019 2016 K 1 (1) 20212020 2021 1 20212019 20212018 20212017 K 1 (2) Cộng vế (1) (2) ta được: 2020 20192018 20192017 20192016 K 1 20212019 20212018 20212017 K 1 M2020 n 24 k n 65 h 2 Đặt k 24 h 65 k h k h 89 1.89 89.1 Với k , h ta có: k h k 45 +) TH1: k h 89 h 44 Khi k 45 n 24 45 n 2001 k h 89 k 45 h 44( KTM ) +) TH2: k h Vậy với n 2001 n 24 n 65 số phương H Câu 2: (4,0 điểm) Cho x y xy x y xy y x xy x y x xy y Tìm x, y nguyên để H 20 Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ĐKXĐ: x, y 1; x, y x y xy y Ta có: x xy x y x x xy y x H H x y x y x y x 1 y x y 1 y x 1 x y x y 1 y x y x 1 x 1 1 y x 1 x x x y y y xy x xy y x y 1 y x 1 x y x y x xy y xy x y 1 y x 1 x y x xy y xy H H x y y xy Khi H x y y 1 y x x H H H x x 1 y x 1 y xy y x x 1 x 1 y 1 y 1 y x 1 y 1 x 1 x x y y 1 x x 1 x y yy x 1 y x 1 y 1 y y 1 y 1 y H x y y x xy y Ta có Liên hệ tài 039.373.2038 H 20 x xy y 20 x y 1 liệu y 1 y 19 x 19 19.1 1.19 1 19 19 1 word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com y y x 400 TH1: x 19 y 19 y 324 x x TH2: y 1 x 19 TH3: loại y 19 x TH4: loại Vậy với x 400; y x 4, y 324 H 20 Câu 3: (3,0 điểm) Cho số a, b, c, x, y , z dương thỏa mãn: Tính giá trị biểu thức Giải phương trình: M y x z 1 a b c a b c 0 x y z x y z 2019 a b c x 16 x x x Lời giải Từ y x z x y z xy yz xz 1 1 a b c a b c ab bc ac Mà ayz bxz cxy x y z 1 a b c abc (1) ayz bxz cxy a b c 0 0 x y z xyz ayz bxz cxy (2) x y z 1 Từ (1) (2) suy a b c Do M x y z 2019 2019 2020 a b c Đk: x x 8 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com x 16 x x x x2 8x x x 8 Đặt (1) t x x 8 t 0 t x 8x t 1 t 2t t 2t t (1) Ta thấy t 1 không thỏa mãn đk x 1 t x2 x x 9 (tmđk) Với Vậy tập nghiệm phương trình Câu 4: S 1; 9 (4,0 điểm) f x x4 x3 x x a b Tìm a, b để viết thành bình phương đa thức a b 4,5 Tìm giá trị nhỏ biểu Cho a, b số dương thỏa mãn 4 thức Q a b a b c 1 Cho a, b, c dương cho b c a Chứng minh: b c a 1 a b c Lời giải Biến đổi f x x x x x x ax x b x x 1 a x b 1 a a f x b b 1 Để trở thành bình phương đa thức f x Vậy với a 2, b 1 trở thành bình phương đa thức Ta có: a b 4,5 a b ab Ta xét số thực a, b, x, y ta có bất đẳng thức sau: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com a2 b2 x2 y a a b2 x y 2 b2 x2 y a b x y ax by a b x y 2ax 2by a x b y a x a b2 x y b y 2 Áp dụng vào tốn ta có: a 2 Q b 2 12 a 12 b2 1 2 2 3 3 a a a 2 Mà (1) 2 3 b 2 b (2) a b2 22 ab a b ab 2 (3) Cộng (1), (2) (3) lại ta được: 3 2 a b ab a b 2 2 a b 11 2 2 Hay a b 11 2 2ab 1 a 1 b 1 a 1 b ab 3 2 2 2 (Cách khác: Mặt khác: Do a b Q a b2 a b2 11 Dấu “=” xảy liệu ab word 2 11 ) 87 12 2 Vậy Min Q 87 12 Liên hệ tài 039.373.2038 3 mơn ab tốn: 2 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Câu 5: (7,0 điểm) AB AC , đường cao AH ( H thuộc BC ) Kẻ Cho tam giác ABC vuông A HD, HE vng góc với AB, AC ( D thuộc AB , E thuộc AC ) Đường thẳng qua A vng góc với DE cắt BC I a) Chứng minh: I trung điểm BC b) Kẻ đường thẳng vng góc với AI A cắt đường thẳng BC K Chứng minh AB tia phân giác góc KAH c) Chứng minh: AD.BD AE.EC AI Cho tam giác ABC , kẻ đường phân giác AD, BE , CF tam giác ABC a) Chứng minh AB.BD BD.DC AD 1 1 1 b) Chứng minh: AB AC BC AD BE CF Lời giải a) Gọi giao điểm DE với AH , AI J ; G · · Tứ giác ADHE hình chữ nhật HAE JAE ? µ · Mà A1 HAE 90 (hai góc phụ nhau) µ · A3 JEA 90 ( AGE vng) µ µ Do A1 A3 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com µ µ µ µ · Vì A1 C (cùng phụ HAC ) A3 C AIC cân I AI IC Tương tự: AI BI Vậy IB IC IA · · b) Ta có AIB cân I IBA IAB · ¶A4 IAB 90 µA HAC · µ · · 90 mà HAC IBA (cựng ph A1 ) ả Do ú: A1 A4 · AB phân giác HAK AD.DB HD AD.DB AE.EC HD HE DE AH 2 AE.EC HE c) Ta có: 2 Xét AHI vng H , ta có AH AI Do AD.DB AE.EC AI · · a) Lấy K thuộc tia đối tia DA cho AKB ACB Vì ACD ∽ AKB (g.g) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn AD AC AB AC AD AK AB AK tốn: (1) TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Vì DAC ∽ DBK (g.g) Trừ (1), (2) suy DC AC AD DC.BD DK AD DK BK BD (2) AB AC DC.BD AD AK KD AD AD AD b) Kẻ BM //AD , cắt đường thẳng AC M ABM cân A AM AB Theo BĐT tam giác: MB AM AB MB AB Do AD //BM AD CA AC AC BM CM AC AM AC AB (do CM AC AM ; AM AB ) AD AC BM AC AB AD AC AC.2 AB AB AC BM AC AB AC AB AC AB AC AB 1 1 AD AB AC AC AB AC AB 1 1 Tương tự: BE AB BC 1 1 CF AC BC 1 1 1 Cộng vế với vế, ta được: AD BE CF AB BC AC Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ... 201 9201 9 202 1202 0 201 9201 9 201 9 1 201 9201 8 201 9201 7 201 9 201 6 K 1 (1) 202 1202 0 202 1 1 202 1201 9 202 1201 8 202 1201 7 K 1 (2) Cộng vế (1) (2) ta được: 202 0... GIỎI HUYỆN CHƯƠNG MỸ VÒNG NĂM 202 0 Câu 1: (3,0 điểm) 201 9 Chứng minh rằng: 201 9 202 1202 0 M2 020 Tìm số tự nhiên n để n 24 n 65 số phương Lời giải Ta có: Mà 201 9 201 9 1 202 1202 0... được: 202 0 201 9201 8 201 9201 7 201 9201 6 K 1 202 1201 9 202 1201 8 202 1201 7 K 1 M2 020 n 24 k n 65 h 2 Đặt k 24 h 65 k h k h 89 1.89