Website:tailieumontoan.com PHÒNG GD&ĐT QUẬN THANH XUÂN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP QUẬN NĂM HỌC: 2019 - 2020 MƠN: TỐN Ngày thi: 05/10/2019 Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Bài I (5,0 điểm) x 3 x 2 9 x x 9 A : 1 x 2 x 3 x x x Cho biểu thức a) Rút gọn A x b) Tìm giá trị A Bài II (5,0 điểm) 10 1 62 1) Chứng minh rằng, p p hai số nguyên tố lẻ p p số nguyên tố x xy y x y x; y 2) Tìm tất số nguyên cho: Bài III (4,0 điểm) 1) Giải phương trình: x x 2 x 2) Cho x, y , z số thực dương số thực a, b, c a b2 c2 x y z a b c y z x Chứng minh 3) Cho x, y , z số thực dương thỏa mãn xyz Tìm giá trị P 1 1 2x y 2z nhỏ biểu thức: Bài IV (4,0 điểm) Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh a Trên CB, CD lấy điểm M , N cho chu vi tam giác CMN có chu vi 2a Gọi giao điểm đường thẳng BD với đường thẳng AM , AN E , F Giao điểm MF NE H · 1) Tính số đo MAN 2) Chứng minh AH EF S1 3) Gọi diện tích tam giác AEF , AMN S1 , S2 Tính S2 Bài V (1,0 điểm) Trong mặt phẳng cho 2020 điểm, khoảng cách hai điểm đơi khác Nối điểm số 2020 điểm với Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com điểm gần tương ứng Chứng minh với cách nối khơng thể nhận đường gấp khúc khép kín -Hết Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên học sinh:…………………………………… Trường THCS:……………… HƯỚNG DẪN GIẢI Bài I (5,0 điểm) x 3 x 2 9 x x 9 A : 1 x x x x x a) A x4 x x 2 x b)Ta có A x 2 x 10 1 62 1 5 1 1 1 2 1 1 2 1 2 Vậy Bài II (5,0 điểm) 1) Chứng minh rằng, p p hai số nguyên tố lẻ p p số nguyên tố Do p số nguyên tố lẻ nên p 3k p 3k p 3k 1 24k 16k 3 M3 p k +Nếu nên vơ lý p k p p +Nếu Do số nguyên tố lẻ nên , rõ ràng 8.9 73 2 số nguyên tố mà p p 72 79 số nguyên tố x xy y x y x; y 2) Tìm tất số nguyên cho: Ta có x xy y 28 x y 15 x 28 x y x y 14 169 169 169 2 15 x 28 x y x y 5 x y x y 5 25 Do 169 169 15 x x2 ,xZ 75 Vậy nên x 1; 0;1 x y x 1 y x y thỏa mãn toán Bài III (4,0 điểm) 1) Giải phương trình: x x 2 x Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Ta có x2 x 2 x x2 2x 2x 2 x x 1 2x Suy x 1 nghiệm phương trình 2) Cho x, y , z số thực dương số thực a, b, c a b2 c2 x y z a b c Chứng minh x y z a y a x b2 x b2 z c x c y 2 VT a b c x x y y z z Ta biến đổi vế trái: a y b2 x a x c2 x b2 z c2 y 2ab; 2ac; 2bc, x y x z y z Ta có VT a b c 2ab 2bc 2ac a b c Nên 3) Cho x, y , z số thực dương thỏa mãn xyz Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 1 1 2x y 2z a b c ; y ; z ;a,b,c b c a Đặt nên b c a b c2 a2 P 1 b 2a c 2b a 2c b 2ab c 2bc a 2ac Dấu xảy x y z x Bài IV (4,0 điểm) Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh a Trên CB, CD lấy điểm M , N cho chu vi tam giác CMN có chu vi 2a Gọi giao điểm đường thẳng BD với đường thẳng AM , AN E , F Giao điểm MF NE H · 1) Tính số đo MAN 2) Chứng minh AH EF S1 3) Gọi diện tích tam giác AEF , AMN S1 , S2 Tính S2 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a)Gọi P điểm tia đối DC cho DP BM ABM = ADP c.g.c BM DP; AM AP;·BAM ·DAP Ta chứng minh được: · · · · · Từ suy MAP PAD DAM BAM DAM 90 Hay PAM tam giác vng cân Ta có chu vi tam giác CMN là: MN MC NC 2a MN BC BM CD DN 2a MN 2a DP DN a MN PN Hay dẫn đến PAN = MAN suy ·PAN ·MAN 450 b)Ta định nghĩa lại F giao điểm AN PM , từ chứng minh PAM ·PAN ·MAN 450 vuông cân suy F trung điểm PM AF PM AF CF PM suy hay F nằm trung trực AC mà BD trung trực AC suy F BD hay F giao điểm AN với BD Tương tự ta có AM NE mà H giao điểm NE,MF nên H trực tâm tam giác AMN suy AH EF c)Ta có kết quen thuộc sau: « Cho tam giác AMN hai điểm E,F nằm hai cạnh AM , AN tam S AEF AE AF giác S AMN AM AN » Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Thật hạ FK AM S AEF S AFM AE.FK AE AM FK AM Từ ta có S AEF S S AE AF AEF AFM S AMN S AFM S AMN AM AN S AEF AE AF S AM AN AMN Trở lại tốn ta có Mặt khác tam giác AEN , AFM tam giác vuông cân nên AN AE, AM AF S AEF AE AF AE AF AF AE suy S AMN AM AN Bài V (1,0 điểm) Giả sử tồn đường gấp khúc khép kín Gọi AB đoạn thẳng có độ dài lớn đường gấp khúc khép kín Khi đó, giả sử AC,BD hai đoạn kề với đoạn AB TH1: Nếu AC AB nên điểm B không điểm gần A TH2: Nếu DB AB nên điểm A không điểm gần B Điều chứng tỏ khơng thể nối điểm B điểm A Do đó, khơng tồn đường gấp khúc thỏa mãn Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ... điểm gần tương ứng Chứng minh với cách nối khơng thể nhận đường gấp khúc khép kín -H? ??t Cán coi thi khơng giải thích thêm H? ?? tên h? ??c sinh:…………………………………… Trường THCS:……………… H? ?ỚNG DẪN GIẢI Bài I... điểm) Cho h? ?nh vng ABCD có độ dài cạnh a Trên CB, CD lấy điểm M , N cho chu vi tam giác CMN có chu vi 2a Gọi giao điểm đường thẳng BD với đường thẳng AM , AN E , F Giao điểm MF NE H · 1) Tính số... khúc khép kín Khi đó, giả sử AC,BD hai đoạn kề với đoạn AB TH1: Nếu AC AB nên điểm B không điểm gần A TH2: Nếu DB AB nên điểm A khơng điểm gần B Điều chứng tỏ nối điểm B điểm A Do đó, khơng