Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP QUẬN CẦU GIẤY NĂM 2019 - 2020 Câu 1: (5 điểm) 2x x x x x x x 1 x x 1 2x x 1 x 1 x x 1 Cho biểu thức P P P a) Tìm điều kiện x để biểu thức có nghĩa rút gọn P b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức 3 2 2 Cho số dương x, y , z thỏa mãn: x y z ( x y ) ( y z ) ( z x) Câu 2: a) Tính x y z biết xy yz zx b) Chứng minh z x; z y z x y (5 điểm) x 33x 28 x 3x 12 x 19 x 21 Tìm số nguyên ( x; y) với x 0; y thỏa mãn: x y xy x 10 y 12 Giải phương trình: Câu 3: (3 điểm) 2 Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn: a b c Tìm giá trị lớn biểu thức Câu 4: T a b 2011 c1954 ab bc ac 2 Tìm số nguyên dương x để x 14 x x số phương (6 điểm) Cho tam giác ABC cạnh a , hai điểm M , N di động hai đoạn AB, AC AM AN cho MB NC Đặt AM x; AN y AM a Biết AB , tính diện tích tam giác AMN theo a b Chứng minh MN a x y c Gọi D trọng tâm tam giác ABC , K trung điểm AB Vẽ DI MN , chứng Câu 5: minh rằng: DI DK (1 điểm) Cho bảng ô vuông 2019 2020, ô vuông tô hai màu xanh đỏ Biết ban đầu tất ô tô màu xanh Cho phéo lần ta chọn hang cột thay đổi màu tất thuộc hàng cột Hỏi sau số hữu hạn lần đổi màu ta thu bảng gồm 2000 ô vuông màu đỏ hay khơng? Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP QUẬN CẦU GIẤY NĂM 2019 – 2020 Câu 1: (5 điểm) 2x x x x x x x 1 x x 1 2x x 1 x 1 x x 1 Cho biểu thức P P P a) Tìm điều kiện x để biểu thức có nghĩa rút gọn P b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức 3 2 2 Cho số dương x, y , z thỏa mãn: x y z ( x y ) ( y z ) ( z x) a) Tính x y z biết xy yz zx b) Chứng minh z x; z y z x y Lời giải: a) Để P có nghĩa thì: x x x x x x x x 1 x x x 2( x )( x 1) x x 2 x x 1 x x x 2 x Vậy với x 0; x 1; x P có nghĩa 2x x x x x x x 1 x x 0; x 1; x x x x x x x với Ta có: P ( x 1)( x 1) 2x x x x x ( x 1) x P 2( x )( x 1) ( x 1)( x x 1) ( x 1)( x 1) x 1 2x x x x x x 1 x ( x 1)( x x 1) ( x 1) x 1 x 1 x x x x x ( x x 1) x 1 x ( x 1)( x x 1) x 1 x 1 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 2x x x x x x x x ( x 1)( x x 1) x x 2 x x 1 ( x 1)( x x 1) x x x 2 x x x 1 x x 1 x x 1 x x x x (x x 1) (2 x 1)(( x x 1) x 1 x x x x x x x) 2x x x x (2 x 1)(( x x 1) (2 x 1)(( x x 1) (2 x 1)( x x 1) x 1 2x x x 2x x (2 x 1)(( x x 1) x.(2 x 1) x (2 x 1) (2 x 1)(( x x 1) (2 x 1)( x x ) (2 x 1)( x x 1) x x x x 1 Vậy với x 0; x 1; x P x x P x x 1 x x x x 11 1 x x 1 x x 1 Để P đạt giá trị nhỏ x x đạt giá trị lớn x x phải đạt giá trị nhỏ x 0; x 1; x nên x x Lại có b) Ta có: x x 1 Giá trị nhỏ x x x Giá trị nhỏ P x Vậy với x P có giá trị nhỏ Với x 0, y 0, z 3 a) Xét VT x y z ( x y z ) ( x y z xy yz xz ) VP ( x y )2 ( y z ) ( z x )2 x xy y y yz z z xz x x y z xy yz zx 2( x y z xy yz zx) Do VT VP nên suy x y z Vậy x y z 2 b) Ta có: x y z 2( xy yz zx) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com x y z xy yz zx z ( x y ) x y yz zx z ( x y ) y (z y) x(z x) Do x, y, z z y; z x nên y (z y) x(z x) z ( x y)2 ( z x y )( z x y ) mà x, y, z nên z x y z x y (đpcm) Câu 2: (5 điểm) x 33x 28 x 3x 12 x 19 x 21 Tìm số nguyên ( x; y ) với x 0; y thỏa mãn: x y xy x 10 y 12 Giải phương trình: Lời giải: x ĐKXĐ: (3x 4)(3 x 7) x x (4 x 3)(3 x 7) (3x 4)(3 x 7) (4 x 3)(3 x 7) 5( 3x x 3) x 7.( 3x x 3) 5( 3x x 3) 3x x (tm) Vậy x nghiệm phương trình Với x 0; y ta có: x3 y xy x 10 y 12 ( x xy y x y ) ( y y 1) 17 ( x y ) 2.( x y ).2 ( y 1) 17 ( x y 2) ( y 1) 17 ( x y y 1).(x y y 1) 17 (x y 3).(x y 1) 17 Do 17 số nguyên tố mà x 0; y suy x y x y nên ta có: TH1: x y x y 2 x 11 x y 17 x y 16 y loại x TH2: x y 17 x y 14 x 21 x 3y x 3y y 7 loại y Vậy khơng có giá trị ( x; y) thỏa mãn yêu cầu Câu 3: (3 điểm) 2 Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn: a b c Tìm giá trị lớn biểu thức Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com T a b 2011 c1954 ab bc ac 2 Tìm số nguyên dương x để x 14 x x số phương Lời giải: Ta có: a b2 c2 a, b, c a, b, c [0;1] (a 1)(b 1)(c 1) abc ab bc ca a b c a ab bc ca abc b c 2010 1953 T b2011 c1954 abc b c b.(b 1) c.(c 1) abc GTLN T a 1; b c 2 Đặt A x 14 x x ta được: A x3 x x 12 x x x ( x 2) x.( x 2) 3( x 2) ( x 2).(4 x x 3) Lại có x 2, x x số nguyên tố * Thật vậy, giả sử UCLN ( x 2, x x 3) d (d N ) ta có: x chia hết cho d suy x( x 2) = x x chia hết cho d x x chia hết cho d 2 Suy x x x x chia hết cho d x chia hết cho d 2( x 2) x chia hết cho d 1Md * Mà d N nên d Từ suy UCLN ( x 2, x x 3) hay x 2, x x số nguyên tố Để A số phương x x x số phương 2 2 2 Đặt x a , x x b Thay x a vào x x b ta được: 4.( a 2)2 6.(a 2) b 4a 16a 16 6a 12 b 4a 10a b 16a 40 a 4b (4a 2b 5)(4a 2b 5) 21 2 Vì 4a 2b 4a 2b ta có bảng sau: 4a 2b 4a 2b 21 -21 -1 -7 -3 Suy 4a 2b 4a 2b 26 12 -16 -2 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 2 Lại có: 4a 2b 4a 2b 8a hay: 32 20 8a 2 (tm) 2,5 a 2 Ta a b 25 Trả lại ẩn: -12 -1,5 0 a x b 25 x x 25 x (tm) Vậy với x = x 14 x x số phương Câu 4: (6 điểm) Cho tam giác ABC cạnh a , hai điểm M , N di động hai đoạn AB, AC AM AN cho MB NC Đặt AM x; AN y AM a Biết AB , tính diện tích tam giác AMN theo a b Chứng minh MN a x y c Gọi D trọng tâm tam giác ABC , K trung điểm AB Vẽ DI MN , chứng minh rằng: DI DK Lời giải: x y AM AN 1 1 a x a y MB NC a) Ta có: x y axa a y a a a 1 1 1 1 ax a y ax a y ax a y a a 1 3 ax a y a x a y a (1) AM x a x a 5 Thay vào (1) ta được: Lại có: AB 1 3a a a y a a y 4a a y a Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Diện tích tam giác là: · AM AN sin MAN x y.sin 60 SVAMN a 3a 3 3a 70 (đvdt) x y 1 b) Do a x a y ax ay xy a ax ay xy a 2ax 2ay xy xy (a x y ) x y xy (2) 2 Giả sử MN AM AN AM AN Lấy điểm T AC cho MT AC 2AT AM ta có: MN AM TN AT AN (TN AT ) AN ( AN AT ) AN ( AN AM ) AN AN AM MN AM AN AN AM (3) MN a x y Từ (2) (3) suy (đpcm) c) Trên tia BA lấy điểm G cho BG AN MN MG GBD NAD (c.g.c) DN DG DMN DMG Do Câu 5: (c.c.c) · · KGD IND KGD IND (ch – gn) DK DI (đpcm) (1 điểm) Cho bảng ô vng 2019 2020, vng tô hai màu xanh đỏ Biết ban đầu tất ô tô màu xanh Cho phéo lần ta chọn hang cột thay đổi màu tất ô thuộc hàng cột Hỏi sau số hữu hạn lần đổi màu ta thu bảng gồm 2000 ô vuông màu đỏ hay không? Lời giải: Trước hết ta chứng minh với cách chọn 2000 ô bảng cho tồn bảng chứa 2000 Thật vậy, số hàng lớn số ô chọn nên tồn hàng liền R1 , R2 mà R1 không ô R2 có chứa chọn Vì số cột lớn số chọn nên tồn ô A, B cạnh R2 mà có chọn Gọi C , D ô nằm R1 cột với A, B Bảng gồm ô A, B, C , D có chọn Giả sử ta thu bảng gồm 1000 màu đỏ sau hữu hạn lần đổi màu Khi theo chứng minh tồn bảng vuông chứa ô màu đỏ, ba ô lại màu xanh Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Vì trạng thái ban đầu tất bảng vuông gồm ô màu xanh nên lần đổi màu hàng cột số màu đỏ số ô màu xanh bảng vuông ln số chẵn Do khơng thể thu bảng vuông có màu đỏ, màu xanh Suy ta có mâu thuẫn Vậy khơng thể thu bảng chứa 2000 ô màu đỏ sau hữu hạn lần đổi màu Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ... giải: Trước h? ??t ta chứng minh với cách chọn 200 0 ô bảng cho tồn bảng chứa 200 0 ô Thật vậy, số h? ?ng lớn số chọn nên tồn h? ?ng liền R1 , R2 mà R1 khơng R2 có chứa chọn Vì số cột lớn số ô chọn nên... hai màu xanh đỏ Biết ban đầu tất ô tô màu xanh Cho phéo lần ta chọn hang cột thay đổi màu tất ô thuộc h? ?ng cột H? ??i sau số h? ??u h? ??n lần đổi màu ta thu bảng gồm 200 0 ô vuông màu đỏ hay không? Lời... Thật vậy, giả sử UCLN ( x 2, x x 3) d (d N ) ta có: x chia h? ??t cho d suy x( x 2) = x x chia h? ??t cho d x x chia h? ??t cho d 2 Suy x x x x chia h? ??t cho d x chia h? ??t