18 HSG h 20 CAM THUY v2

Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN CẨM THỦY (THANH HÓA) – V2 NĂM HỌC 2019-2020 Câu (4,0 điểm)  x x  2 2 x  P    :       x 1 x 1   x x x  x  1) Cho biểu thức: a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nhỏ P 2) Với a, b, c số thực đôi phân biệt Chứng minh rằng: 3  2a  b   2b  c    2b  c   2c  a    2c  a   2a  b   2a  b  2b  c  2c  a   a  b  b  c  b  c  c  a  c  a  a  b a  b b  c c  a Câu (4,0 điểm) a) Giải phương trình: 3x    x  x  14 x   b) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x  x  y Câu (4,0 điểm) a) Chứng minh với số ngun tố p tích hai số tự nhiên liên tiếp p2  p 1 không b) Cho hàm số bậc y  ax  b có đồ thị đường thẳng qua M  1;  Biết đồ thị hàm số cho cắt trục hoành điểm A có hồnh độ dương, cắt trục tung điểm B có tung độ dương Tìm a, b cho OA  OB nhỏ (Với O gốc tọa độ) Câu (6,0 điểm) Cho đường tròn (O, r) nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với cạnh BC D Vẽ đường kính DN (O, r) Tiếp tuyến (O) N cắt AB, AC theo thứ tự P K a) Chứng minh NK CD  r b) Gọi E giao điểm AN BC Chứng minh BD  CE OA  OB  OC  r c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Câu (2,0 điểm)  a, b, c  a 4b b 4c c 4a  S     a 1 b 1 c 1 Cho abc 1 Chứng minh rằng: Hết - Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN – NĂM HỌC 2019 2020 (HUYỆN CẨM THỦY) Câu (4,0 điểm)  x x  2 2 x  P    :      x 1 x 1   x x x  x  1) Cho biểu thức: a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nhỏ P 2) Với a, b, c số thực đôi phân biệt Chứng minh rằng: 3  2a  b   2b  c    2b  c   2c  a    2c  a   2a  b   2a  b  2b  c  2c  a   a  b  b  c  b  c  c  a  c  a  a  b a  b b  c c  a Hướng dẫn giải: x   1) ĐKXĐ:  x  a) Có:   b) Có:     x x 1  x x 1   x  x x  2 2 x  P    :   :     x 1 x 1 x x 1  x 1 x 1   x x x  x   P      x x 1 x   x 1 x 1 x  x x2 x x 1    Co  Si x x 1 1 1   x 1  x 1  2  x 1 x 1 x 1 x 1 x 1  Dấu “=” xảy  x 1   x 1  x 1      x   1  x  1 2 4 x 1  x  (TM )  x  ( KTM )  Vậy PMin   x  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com  2a  b  3a  a  b  x a  b  x 1    2b  c  3b  y   y 1    bc b  c  2c  a  3c  ca  z c  a  z 1  2) Đặt:   3b a  b  x    3c  y2  b  c  3a c  a  z     x  1  y  1  z  1   x    y    z      xy  yz  zx    x  y  z    xy  yz  zx  x  y  z (đpcm) Câu (4,0 điểm) a) Giải phương trình: 3x    x  3x  14 x    b) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x  x  y Hướng dẫn giải: x    x  x  14 x    1 a)   x6 ĐK: Ta có:   1      x      x   x  14 x    3x   16    x     x  1  x    3x     x   x  5 x 5   x  1  x    3x     x      x  5    x  1  3x     x    3x      x  3x     x   x  5  Vì:  x   TM  Vậy phương trình có nghiệm là: x  b) Có: x  x  y  1  x  x    y Với y   x   Do : x    Với  x4  x2 y    1  1  y  2  x x   x2   x2     1     y  y  y  y (vô nghiệm)    nghiệm phương trình Vậy  Câu (4,0 điểm) x; y  0;0 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a) Chứng minh với số ngun tố p tích hai số tự nhiên liên tiếp p2  p 1 không b) Cho hàm số bậc y  ax  b có đồ thị đường thẳng qua M  1;  Biết đồ thị hàm số cho cắt trục hoành điểm A có hồnh độ dương, cắt trục tung điểm B có tung độ dương Tìm a, b cho OA  OB nhỏ (Với O gốc tọa độ) Hướng dẫn giải: a) Với p   p2  p   p2  Với tiếp) p 1 2 1 2   2 (khơng phải tích số tự nhiên liên tiếp) p 1 1 3   10  2.5 2 (khơng phải tích số tự nhiên liên  p  3k  p 3  k  ¥*    p  3k  Với - Nếu p  3k  1 p   - Nếu  p 1 3k   3k 18k  12k   3k   3k  1   k  6k    2 2 18k  15k   6k  1  3k    2 (khơng phải tích số tự nhiên liên tiếp) p  3k   p  p 1 3k   3k    3k     9k  12k   2 18k  24k   3k  18k  27k  9    2k 3k 1    2k 1  k 1 2 2 (khơng phải tích số tự nhiên liên tiếp) p  p2  p 1 khơng phải tích số tự Vậy với số nguyên tố nhiên liên tiếp b) Vì đồ thị hàm số cho cắt trục hồnh điểm A có hồnh độ dương, cắt trục tung điểm B có tung độ dương Do đồ thị đường thẳng qua  a   1 M  1;   a  b   b     Do : a   Co  si Có: OA  OB  OA.OB Dấu “=” xảy  OA  OB hay  OAB cân O Vì: OA  OB  b  b  b  a  1   a  1 ( Do : b  0) a Với a  1  b   y   x  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Vậy a  1  b  OA  OB đạt giá trị nhỏ là: + = 10 Câu (3,0 điểm) Cho đường tròn (O, r) nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với cạnh BC D Vẽ đường kính DN (O, r) Tiếp tuyến (O) N cắt AB, AC theo thứ tự P K a) Chứng minh NK CD  r b) Gọi E giao điểm AN BC Chứng minh BD  CE OA  OB  OC  r c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Hướng dẫn giải: · ·  DN  AKN  ACB BC a) Có: PK // (cùng ) (đồng vị) · Gọi Kx tia phân giác AKN  Kx // CO (Vì CO tia phân giác · ACB ) Mà: Kx  KO (tia phân giác phân giác ngoài) · · ·  CO  KO  C1  C2  O1 · K (cùng phụ với )   NKO ∽  DOC  g g   NK NO   NK DC  NO.DO  NK CD  r (đpcm) DO DC b) Cách 1: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com B tan BD  1 BD  ; CD    B C C CD tan tan tan 2 Ta có: r r · · · C C1  C2  O1  cmt   NK  r tan Mà: B tan · · · B NP  2 B1  B2  O2  NP  r.tan   NK tan C Tương tự: Từ (1) (2)  NK BD NK NP NK  NP KP       3 NP CD BD CD BD  CD BC Mặt khác: KP // BC Từ (3) (4) Cách 2:   NK KP  EC BC  4 NK NK   EC  BD EC BD (đpcm) Ta có: NK CD  NP.BD  r (cmt ) Mà:  NK NP  EC BE (Vì: KP // BC )  EC.CD  BE.BD  EC  EC  ED    BD  ED  BD  EC  EC ED  BD  ED.BD  EC  BD  EC.ED  ED.BD    EC  BD   EC  BD  ED    EC  BD   EC  BD (đpcm) c) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Gọi SOAC  S1 ; SOBC  S2 ; SOAB  S3 OA OB OC OA OB OC      r r OA ' OB ' OC ' Ta có: r S S S S OA    S2 Mà: OA ' SOA 'C SOA ' B S S OB S  S3 OC  ;  2 S1 OC ' S3 Tương tự: OB '  OA OB OC S1  S3 S  S3 S1  S2  S1 S2   S2 S3   S3 S1                 OA ' OB ' OC ' S2 S1 S3  S2 S1   S3 S2   S1 S3  Dấu “=” xảy  S1  S  S3 hay  ABC OA OB OC      ABC r r Vậy r Câu (2,0 điểm)  a, b, c  a 4b b 4c c 4a  S     a 1 b 1 c 1 Cho abc 1 Chứng minh rằng: Hướng dẫn giải: Ta có: S a 4b b4c c 4a 1    a 2b   b2c   c a  2 2 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 1  Co  si 2 1      a 2b  b c  c a        a b.b c.c a       a 1 b 1 c 1  2a 2b 2c  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com  1  3  3abc   3    3    2  2a 2b 2c  (đpcm) Dấu “=” xảy  a  b  c  Co  si Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ...Website:tailieumontoan.com H? ?ỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN – NĂM H? ??C 201 9 202 0 (HUYỆN CẨM THỦY) Câu (4,0 điểm)  x x  2 2 x  P    :      x 1 x 1   x x x  x  1) Cho biểu thức: a) Rút... ngun tố p tích hai số tự nhiên liên tiếp p2  p 1 không b) Cho h? ?m số bậc y  ax  b có đồ thị đường thẳng qua M  1;  Biết đồ thị h? ?m số cho cắt trục h? ??nh điểm A có h? ??nh độ dương, cắt trục tung... 2 (khơng phải tích số tự nhiên liên tiếp) p  p2  p 1 khơng phải tích số tự Vậy với số nguyên tố nhiên liên tiếp b) Vì đồ thị h? ?m số cho cắt trục hoành điểm A có h? ??nh độ dương, cắt trục tung