Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 11 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
11
Dung lượng
500,95 KB
Nội dung
Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NHƯ THANH - NĂM 2019 x+2 x A = + + x x −1 x + x +1 1− (2,0 điểm) Cho biểu thức: x A A Tìm điều kiện để có nghĩa rút gọn biểu thức x A Tìm để biểu thức nhận giá trị Tính giá trị biểu thức (2,0 điểm) Giải phương trình ẩn A x = 3+ ( ) +1 3 −1 (2,0 điểm) Tìm x nghiệm nguyên x + y + xy ( xy + x − 12 ) = ( x − ) phương trình: n2 n 4x + + =0 x −1 x x −1 sau: x y Giải hệ phương trình ẩn , : x + xy + x + x = y + yx + y + y − x + y + y − x + = y + x + y + x −1 ÷ ÷: Tìm số tự nhiên lẻ nhỏ cho số lẻ số phương liên tiếp (2,0 điểm) O AB Cho nửa đường trịn tâm đường kính Ax By AB số) Gọi , tia vng góc với biểu diễn thành tổng ( Ax , AB 2R ( R>0 , R By nửa đường tròn M ) Qua điểm thuộc thuộc nửa mặt phẳng bờ đường thẳng M A B nửa đường tròn ( khác ) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, Ax By C D I tiếp tuyến cắt tia , , Gọi trung điểm CD đoạn thẳng COD CD = 2OI OI AB Tính số đo góc ; Chứng minh vng góc với AC.BD = R Chứng minh ABDC M Tìm vị trí điểm để hình thang có chu vi nhỏ nhất, chứng minh diện tích hình thang nhỏ (2,0 điểm) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Với số thực dương biểu thức: a b c , , thỏa mãn a +b +c =1 Tìm giá trị nhỏ a b2 c2 P = 2018 + + ÷+ c a ( a + b2 + c ) b -HẾT - Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NHƯ THANH - NĂM 2019 x+2 x x −1 A = + + ÷ ÷: x x −1 x + x +1 − x (2,0 điểm) Cho biểu thức: x A A Tìm điều kiện để có nghĩa rút gọn biểu thức x A Tìm để biểu thức nhận giá trị Tính giá trị biểu thức x = 3+ A ( Lời giải ) +1 3 −1 x ≥ x ≠1 ĐKXĐ: ; x+2 x x −1 A = + + ÷ ÷: x x −1 x + x + 1 − x ( ) ( ) : x + + x x −1 − x + x +1 = x −1 x + x + ( = = )( x + + x − x − x − x −1 ( )( ) x −1 x + x +1 ( ) ) x −1 x −1 x − x + ( ) ( ) x −1 x + x +1 ( x − 1) = ( x − 1) ( x + x + 1) 2 = x + x +1 A= Vậy Ta có x + x +1 x ≥ x ≠1 với ; A= 2⇒ =2 x + x +1 ⇔ x + x +1 = ⇔ x với Liên hệ tài 039.373.2038 liệu ∀x ( ) x +1 = ⇔ x = ⇔ x = ( t / m) (vì x +1 > ) word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Vậy x=0 x = 3+ ( A=2 ) + 3 Ta có : ⇔ x−3= ( ⇔ ( x − 3) = ) ( ) +1 ⇔ ( x − ) = 3 + 3 ⇔ ( x − 3) = 1 + ⇔ ( x − 3) = ( −1 3 + ( −1 ( 3 −1 3 −1 +1 ) ) ( +1 ) −1 + ⇔ ( x − 3) = − + 3 ( ( 3 ) −1 )( +1 ) −1 ) 22 − ⇔ ( x − 3) = ⇔ x − = ⇔ x = ( t / m) Thay x=4 A= Vậy thỏa mãn ĐKXĐ vào 2 = + +1 x = 3+ ( với A A= ta ) +1 3 −1 2 = + +1 (2,0 điểm) Giải phương trình ẩn 4x + + =0 x −1 x x −1 x sau: x y Giải hệ phương trình ẩn , : x + xy + x + x = y + yx + y + y − x + y + y − x + = y + x + y + Lời giải x ≠ x ≠ ±1 ĐKXĐ: ; Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com x ( x + 1) ( x − 1) ( x + 1) 4x 3x + + =0⇔ + + =0 x −1 x x −1 x ( x − 1) ( x + 1) x ( x − 1) ( x + 1) x ( x − 1) ( x + 1) ⇒ x3 + x + x − + 3x = ⇔ x3 + x + 3x − = 3 1 ⇔ x3 + x + x + ÷− = 8 1 ⇔ 4 x + ÷ = 2 1 ⇔x+ ÷ = 2 ⇔ x+ ⇔x= 35 = 2 −1 (thỏa mãn ĐKXĐ) x= Vậy phương trình cho có nghiệm x ≤ y ≥ 4 y − x + ≥ ĐKXĐ: x + xy + x + x = y + yx + y + y (1) − x + y + y − x + = y + x + y + (2) −1 (1) ⇔ x − y + xy − yx + x − y + x − y = Ta có phương trình ⇔ ( x − y ) ( x + xy + y ) − xy ( x − y ) + ( x − y ) ( x + y ) + ( x − y ) = ⇔ ( x − y ) ( x2 + y + x + y + 2) = 2 1 3 ⇔ ( x − y ) x + ÷ + y + ÷ + = 2 ⇔ x− y =0 ⇔x= y Thay Liên hệ tài 039.373.2038 x=y liệu 1 1 x + ÷ + y + ÷ + > ∀x, y 2 2 vào phương trình (2) ta word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com − y + y + 3y +1 = y2 + 3y +1 ⇔ ( ) ( 5− y − + − ( y − 1) ⇔ 5− y +2 − ( y − 1) ⇔ 5− y + ) ( y −1 + + ( y − 1) y −1 + = ( y − 1) ( y + ) y +1 3y +1 + + ( y − 1) y −1 + − ( y − 1) ( y + ) = y +1 3y +1 + −1 ⇔ ( y − 1) + 5− y + ⇔ y −1 = ⇔ y =1 ⇒ x =1 ) 3y + − = y2 + 3y − (vì + − y − ÷= ÷ y +1 3y +1 + −1 + 5− y + + − y−4 1) (Tổng số phương) = 3a + 2 (Loại số dư số phương chia cho khơng thể 2) n = ( a − ) + ( a − 1) + a + ( a + 1) +) Xét phương) 2 ( a + 2) (Tổng số = 5a + ( 12 + 22 ) = 5( a2 + 2) ⇒n M ⇒ ( a + 2) M Mà a2 2 có số dư chia a + M5 n = ( a − 3) + ( a − ) + ( a − 1) + + ( a + 3) 2 2 +) Xét phương) (Tổng số = ( a2 + 4) ⇒ n M7 ⇒ a + 4M7 (Không xảy ra) n = ( a − ) + ( a − 3) + ( a − ) + + ( a + ) 2 2 +) Xét phương) (Tổng số = 9a + 2.30 = 3( 3a + 20 ) ⇒ n M32 (Vô lí) n = ( a − ) + ( a − ) + ( a − 3) + + ( a + ) 2 +) Xét phương) = 11( a + 10 ) 2 (Tổng 11 số ( a > 5) ⇒ n2 M 112 ⇒ a + 10M 11 ⇒ a ≡ 1( mod11) ⇒ a = 11k ± Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word , môn a>5 tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Thử với a ∈ { 9,12,20,23} ⇒ n = 77 có a = 23 thỏa mãn giá trị cần tìm (2,0 điểm) O AB 2R R > R Cho nửa đường trịn tâm đường kính ( , Ax By AB Ax By số) Gọi , tia vng góc với ( , nửa đường tròn AB M thuộc nửa mặt phẳng bờ đường thẳng ) Qua điểm thuộc M A B nửa đường tròn ( khác ) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, Ax By C D I tiếp tuyến cắt tia , , Gọi trung điểm CD đoạn thẳng COD CD = 2OI OI AB Tính số đo góc ; Chứng minh vng góc với AC.BD = R Chứng minh ABDC M Tìm vị trí điểm để hình thang có chu vi nhỏ nhất, chứng minh diện tích hình thang nhỏ Lời giải Hai tiếp tuyến giác · MOA CM , liệu ( O) cắt Tương tự ta có Liên hệ tài 039.373.2038 CA word môn OD tia phân giác toán: C ⇒ OC tia phân · MOB TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com ( ) · · · · · · · MOA + MOB = COM + DOM = 180° ⇒ COD = COM + DOM = 90° Mà ∆COD · COD = 90° ⇒ ∆COD O I +) Xét có vng có trung điểm CD ⇒ OI CD ⇒ CD = 2OI đường trung tuyến ứng với cạnh huyền ABDC CA//DB AB +) Xét tứ giác có (cùng vng góc với ) ⇒ ABDC hình thang O I AB CD Ta lại có trung điểm , ⇒ OI ABDC đường trung bình hình thang CA ⊥ AB ( gt ) ⇒ OI //CA ⇒ OI ⊥ AB ( ) ( O) CM CA C ⇒ AC = MC Hai tiếp tuyến , cắt (1) BD = MD Chứng minh tương tự ta có (2) ∆COD O OM ⊥ CD Xét vng có ⇒ OM = MC.MD (hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông) ⇒ MC.MD = R (3) AC BD = R Từ (1), (2), (3) suy C ABDC = AB + BD + CD + AC = AB + 2CD ABDC Chu vi hình thang là: C ABDC = AB + 2CD AB = R Vì khơng đổi nên nhỏ nhỏ CD nhỏ CD ≥ AB = R ⇒ C ABDC = AB + 2CD ≥ R + R = R Ta có CD = AB CD //AB "=" Dấu xảy Khi ( O) ⇒M điểm nửa đường trịn chu vi hình thang ABDC đạt giá trị nhỏ ( O) CD = AB M +) Khi điểm nửa đường trịn ta có suy Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com S ABDC = ( AC + BD ) AB = CD.AB = R.2R = 4R S ABDC = Vì CD AB 2 nên CD nhỏ S ABDC M Vì di chuyển nửa đường tròn ⇒ S ABDC ≥ R ⇒ MinS ABDC = R ( O) nhỏ nên CD ≥ AB = R ⇒ đpcm (2,0 điểm) Với số thực dương biểu thức: a b c , , thỏa mãn a +b +c =1 Tìm giá trị nhỏ a b2 c P = 2018 + + ÷+ c a ( a + b2 + c2 ) b Lời giải a b2 c2 2 + + ÷ ≥ 3( a + b + c ) c a b Chứng minh a 2b b c c a a b4 c VT = + + + + + ÷ b c a a b c Ta có a a 2b + + bc ≥ 3a b2 c b4 b 2c + + ac ≥ 3b2 c2 a Tương tự c4 c2a + + ab ≥ 3c a2 b ⇒ VT + ab + bc + ca ≥ ( a + b + c ) + ⇔ (1) a b b c c a + + ÷( bc + ac + ab ) ≥ ( ab + bc + ca ) a b c Mà a 2b b c c a + + c a b 2 a 2b b c c a + + ≥ ab + bc + ca c a b ⇒ VT ≥ ( a + b + c Từ (1) (2) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: ) (2) TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ⇔ a b2 c2 + + ≥ ( a + b2 + c ) b c a Khi a b2 c P ≥ 2016 + + ÷+ ⇔ ( a + b + c ) + ( a + b2 + c ) + c a ( a + b2 + c2 ) b ≥ 2016 ( a + b + c ) + 3 ( a + b + c ) ( a + b + c ) ( a + b2 + c2 ) = 2016 + = 2019 Dấu Vậy Liên hệ tài 039.373.2038 "=" a=b=c= xảy Min P = 2019 liệu a=b=c= xảy word mơn tốn: 3 TÀI LIỆU TỐN HỌC ... thẳng COD CD = 2OI OI AB Tính số đo góc ; Chứng minh vng góc với AC.BD = R Chứng minh ABDC M Tìm vị trí điểm để h? ?nh thang có chu vi nhỏ nhất, chứng minh diện tích h? ?nh thang nhỏ Lời giải Hai... GIẢI ĐỀ THI CHỌN H? ??C SINH GIỎI HUYỆN NHƯ THANH - NĂM 201 9 x+2 x x −1 A = + + ÷ ÷: x x −1 x + x +1 − x (2,0 điểm) Cho biểu thức: x A A Tìm điều kiện để có nghĩa rút gọn biểu thức x A... ≥ (thỏa mãn ĐKXĐ) (thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy h? ?? phương trình cho có nghiệm (2,0 điểm) Tìm nghiệm nguyên x + y + xy ( xy + x − 12 ) = ( x − ) ) ( x; y ) = ( 1;1) phương trình: n2 n Tìm số tự nhiên