41 hsg h 20 nhu thanh

Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NHƯ THANH - NĂM 2019  x2 x A     x x  x  x 1  Câu 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức:  x1  :  Tìm điều kiện x để A có nghĩa rút gọn biểu thức A Tìm x để biểu thức A nhận giá trị Tính giá trị biểu thức A x 3    1 3 21 Câu 2: (2,0 điểm) 4x   0 Giải phương trình ẩn x sau: x  x x  y x Giải hệ phương trình ẩn , : 2 2  x  xy  x  x  y  yx  y  y    x  y  y  x   y  x  y  Câu 3: (2,0 điểm) Tìm nghiệm nguyên x  y  xy  xy  x  12  8  x   phương trình: 2 Tìm số tự nhiên lẻ n nhỏ cho n biểu diễn thành tổng số lẻ số phương liên tiếp Câu 4: (2,0 điểm) Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB 2R ( R  , R số) Gọi Ax , By tia vng góc với AB ( Ax , By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AB ) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn ( M khác A B ) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, tiếp tuyến cắt tia Ax , By C , D Gọi I trung điểm đoạn thẳng CD Tính số đo góc COD ; Chứng minh CD 2OI OI vng góc với AB 2 Chứng minh AC.BD R Tìm vị trí điểm M để hình thang ABDC có chu vi nhỏ nhất, chứng minh diện tích hình thang nhỏ Câu 5: (2,0 điểm) Với số thực dương a , b , c thỏa mãn a  b  c 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com  a2 b2 c2  P 2018      c a   a  b2  c2   b -HẾT - Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NHƯ THANH - NĂM 2019  x2 x  x1 A    : x x  x  x  1  x   Câu 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức: Tìm điều kiện x để A có nghĩa rút gọn biểu thức A Tìm x để biểu thức A nhận giá trị Tính giá trị biểu thức A x 3    1 3 21 Lời giải ĐKXĐ: x 0 ; x 1  x2 x  x1 A     : x x  x  x  1  x        :  x   x x   x  x 1   x  x  x 1     x2x   x  x x1   x  x  x 1  x1   x1  x  x       x  x  x 1  x  1   x  1  x  x 1 2  x  x 1 A Vậy x  x  với x 0 ; x 1 A 2  Ta có 2 x  x 1  x  x  1  x   x  0  x 0  x 0  t / m  (vì x 1  với x ) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Vậy x 0 A 2 x 3  Ta có :   x 3 3  3    3  21 3 21 1      1    1   1    1   1   x        x  3 3 1   x     3  21 21 1   x  3   1 3 3 3   x  3    3  3  22    x  3 1  x  1  x 4  t / m  Thay x 4 thỏa mãn ĐKXĐ vào A ta A Vậy 2  x 3    với   1 3 A 2   1 21 Câu 2: (2,0 điểm) 4x   0 Giải phương trình ẩn x sau: x  x x  y x Giải hệ phương trình ẩn , :  x  xy  x  x  y  yx  y  y    x  y  y  x   y  x  y  Lời giải ĐKXĐ: x 0 ; x 1 x  x  1  x  1  x  1 4x 3x   0    0 x x x  x  x  1  x  1 x  x  1  x  1 x  x  1  x  1  x  x  x   x 0  x  x  3x  0 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 3 1    x  x  x    0 8  1   4 x    2  1   x   2  35  x  2  x 51 (thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy phương trình cho có nghiệm  x 5   y 0  y  x  0 ĐKXĐ:  x 51 2 2 (1)  x  xy  x  x  y  yx  y  y    x  y  y  x   y  x  y  (2) 3 2 2 Ta có phương trình (1)  x  y  xy  yx  x  y  x  y 0   x  y   x  xy  y   xy  x  y    x  y   x  y    x  y  0   x  y   x  y  x  y   0 2  1   3   x  y    x     y     0 2      2 1  1  x    y       x  y 0  x, y 2  2  x y Thay x  y vào phương trình (2) ta  y  y  y 1  y  y 1       5 y     y  1 5 y 2   y  1 5 y 2 liệu  y 1   y2  y    y  1 y   y  1  y   y 1 y 1    y  1 y    y  1  y   0 y 1 y 1   1   y  1    5 y 2  Liên hệ tài 039.373.2038   y1  word   y y 1 y 1  mơn tốn:   0   TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 1    y 40 5 y 2 y 1 y 1  y 0 )  y  0 (vì  y 1 (thỏa mãn ĐKXĐ)  x 1 (thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y   1;1 Câu 3: (2,0 điểm) Tìm nghiệm nguyên x  y  xy  xy  x  12  8  x   phương trình: 2 Tìm số tự nhiên lẻ n nhỏ cho n biểu diễn thành tổng số lẻ số phương liên tiếp Lời giải 2 x  y  xy  xy  x  12  8  x   Phương trình  x  y  x y  x y  12 xy  x  16 0  x  x y  16  x y  xy  x  x  xy  y 0 2   x  xy     x  y  0  x 2 y  x 2 y    x  xy  0  y  y  0  x 2 y  x 2; y 1     y 1     y   x  4; y   (thỏa mãn) Vậy cặp số  2;1   4;  nghiệm phương trình cho n  a  1  a   a  1 ,  a  1 (Tổng số phương) +) Xét 3a  (Loại số dư số phương chia cho 2) 2 2 n  a     a  1  a   a  1  a   (Tổng số +) Xét phương) 5a   12  22  = 5 a2  2  n 52   a   5 2 Mà a có số dư chia a  5 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 2 2 n  a  3   a     a  1    a  3 +) Xét (Tổng số phương) 7  a    n 7  a  47 (Không xảy ra) 2 n  a     a  3   a      a   +) Xét (Tổng số phương) 9a  2.30 3  3a  20   n 32 (Vơ lí) 2 n  a     a     a  3    a  5 +) Xét (Tổng 11 số phương) 11 a  10   a  5  n 112  a  1011  a 1 mod11  a 11k 1 , a  a   9,12,20,23 có a 23 thỏa mãn  n 77 giá trị cần tìm Thử với Câu 4: (2,0 điểm) Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB 2R ( R  , R số) Gọi Ax , By tia vng góc với AB ( Ax , By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AB ) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn ( M khác A B ) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, tiếp tuyến cắt tia Ax , By C , D Gọi I trung điểm đoạn thẳng CD Tính số đo góc COD ; Chứng minh CD 2OI OI vng góc với AB 2 Chứng minh AC.BD R Tìm vị trí điểm M để hình thang ABDC có chu vi nhỏ nhất, chứng minh diện tích hình thang nhỏ Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com  O  cắt C  OC tia phân Hai tiếp tuyến CM , CA  giác MOA  Tương tự ta có OD tia phân giác MOB        MOA  MOB 2 COM  DOM 180  COD COM  DOM 90 Mà  +) Xét COD có COD 90  COD vng O có I trung điểm CD    OI đường trung tuyến ứng với cạnh huyền CD  CD 2OI +) Xét tứ giác ABDC có CA//DB (cùng vng góc với AB )  ABDC hình thang Ta lại có O I trung điểm AB , CD  OI đường trung bình hình thang ABDC  OI //CA  OI  AB ( CA  AB  gt  )  O  cắt C  AC MC Hai tiếp tuyến CM , CA Chứng minh tương tự ta có BD MD (2) Xét COD vng O có OM  CD (1)  OM MC.MD (hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông)  MC MD R (3) Từ (1), (2), (3) suy AC.BD R Chu vi hình thang ABDC là: C ABDC  AB  BD  CD  AC  AB  2CD Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Vì AB 2 R khơng đổi nên C ABDC  AB  2CD nhỏ nhỏ CD nhỏ Ta có CD  AB 2 R  C ABDC  AB  2CD 2 R  R 6 R Dấu " " xảy CD  AB Khi CD //AB  M điểm nửa đường trịn  O  chu vi hình thang ABDC đạt giá trị nhỏ  O  ta có CD  AB suy +) Khi M điểm nửa đường trịn  AC  BD  AB  CD AB  R.2 R 4 R S ABDC  2 CD AB S ABDC  nên CD nhỏ S ABDC nhỏ Vì  O  nên CD  AB 2 R Vì M di chuyển nửa đường trịn  S ABDC 4 R  MinS ABDC 4 R  đpcm Câu 5: (2,0 điểm) Với số thực dương a , b , c thỏa mãn a  b  c 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức:  a2 b2 c2 P 2018    c a  b   2  3 a  b  c  Lời giải  a b2 c  2     3  a  b  c  b c a  Chứng minh   a 2b b c c a  a b4 c VT         b c a a b   c a a 2b   bc 3a 2 c Ta có b b4 b2c   ac 3b 2 c a Tương tự c4 c2a   ab 3c 2 a b Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com  VT  ab  bc  ca 3  a  b  c   a 2b b c c a   c a b (1)  a 2b b 2c c a       bc  ac  ab   ab  bc  ca  c a b  Mà   a 2b b 2c c a   ab  bc  ca c a b Từ (1) (2)  (2)  VT 3  a  b  c  a b2 c2     a  b2  c2  b c a Khi  a b2 c  P 2016       c a  b  a  b2  c    a  b  c   2016  a  b  c   3  a  b  c   a  b  c   a2  b2  c2   a  b2  c  2016  2019 Dấu " " xảy Vậy Min P 2019 xảy Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn a b c  a b c  toán: 3 TÀI LIỆU TOÁN HỌC