Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN YÊN THÀNH - NĂM 2019-2020 Câu 1: (3.0đ) b Tồn hay không số nguyên tố a, b, c thỏa mãn điều kiện a 2011 c 2 Tìm giá trị nguyên x, y thỏa mãn x xy y 2( x y ) Câu 2: (6.0đ) 2 Giải phương trình: 10x 3x (6x 1) x 3 3 Cho a, b, c thỏa mãn 2a b c 0 Chứng minh 2a b c 3a( a b)(c b) Câu 3: (3.0đ) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: bc ca ab 1 a (b c) b (c a ) c (a b) 2a 2b 2c Câu 4: (6.0đ) Cho tam giác nhọn ABC ( AB AC ) , Ba đường cao AD, BE CF cắt H Gọi I giao điểm EF AH Đường thẳng qua I song song với BC cắt AB, BE B Q Chứng minh: AEF ∽ ABC Chứng minh: IP IQ Gọi M trung điểm AH chứng minh I trực tâm tam giác BMC Câu 5: (2.0đ) A ;A ;A ;A ;A ;A Trong mặt phẳng cho điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Với ba điểm số điểm ln tìm hai điểm mà khoảng cách chúng nhở 673 Chứng minh sáu điểm cho ln tìm ba điểm ba đỉnh tam giác có chu vi nhỏ 2019 (Hết) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN YÊN THÀNH - NĂM 20192020 Câu 1: (3.0đ) b Tồn hay không số nguyên tố a, b, c thỏa mãn điều kiện a 2011 c 2 Tìm giá trị nguyên x, y thỏa mãn x 4xy 5y 2(x y) Lời giải b Giả sử tồn số nguyên tố a, b, c thỏa mãn điêu kiện: a 2011 c Khi ta có: c 2011 c số nguyên tố lẽ a b chẵn a 2 Nếu b 2 c 2 2011 20155 c hợp số (trái với giả thiết) Nếu b 3 số nguyên tố lẻ b 2k (với k N ) a b 22 k 3 22 k 23 2k Vì 1(mod 3) 1(mod 3) a b 22k.23 1(mod 3) Lại có: 2011 1(mod 3) c a b 2011 0(mod 3) c hợp số (trái với giả thiết) b Vậy không tồn số nguyên tố a, b, c thỏa mãn điều kiện a 2011 c 2 Ta có : x xy y 2( x y ) (4 y x xy x y ) ( y y 1) 2 (2y x 1) (y 1) 12 12 (2 y x 1) 12 2 y x 1 2 ( y 1) 1 y 1 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com y x 1 y 1 y x y y x y 1 y x 1 y Vậy x 4 y 2 x 2 y 0 x 6 y 2 x 0 y 0 ( x; y ) (4; 2);(2;0);(6; 2);(0;0); Câu 2: (6.0đ) 2 Giải phương trình: 10x 3x (6x 1) x 3 3 Cho a, b, c thỏa mãn 2a b c 0 Chứng minh 2a b c 3a( a b)(c b) Lời giải ĐKXĐ phương trình là: x 2 Ta có: 10 x 3x (6 x 1) x 40 x 12 x 4(6 x 1) x (36 x 12 x 1) 4(6 x 1) x 4( x 3) 0 (6x 1) 2.(6x 1).2 x x x 1 x2 9 9 6 x x 3 6 x x 2 * Trường hợp 1: x x 3 x 6 x x 3 x 1 x 3 x x x 0 2 4 x x 0 x 0 x 1 x 9x 6x 2 * Trường hợp 2: x x x 6 x Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: x 3x TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 2 x 3 x 2 x x 3 3 x x 2 x 9x 12x x 12 x Vậy phương trình có hai nghiệm là: x 1 x 3 Ta có: 2a b c 0 a b (a c ) ( a b)3 (a c)3 + 2a b3 c3 3a(ac c ab b ) 2a b3 c 3a c(a c) b( a b) 2a b3 c 3a c(a b) b(a b) (Vì a b (a c ) ) 2a b3 c 3a (a b)(b c) 2a b3 c 3a (a b)(c b) Áp dụng bất đẳng thức Cơ-Sy cho hai số dương ta có: bc b c bc b c 2 a (b c) 4bc a (b c) 4bc a bc 1 a (b c) a 4b 4c (1) ca 1 Tương tự: b (c a) b 4c 4a (2) ab 1 c (a b) c 4a 4b (3) Cộng vế theo vế bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được: bc ca ab 1 1 1 a (b c) b (c a) c ( a b) a b c 2a 2b 2c bc ca ab 1 a (b c) b (c a ) c (a b) 2a 2b 2c 2 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Câu 4: (6.0đ) Cho tam giác nhọn ABC ( AB AC ) , Ba đường cao AD, BE CF cắt H Gọi I giao điểm EF AH Đường thẳng qua I song song với BC cắt AB, BE B Q 1/ Chứng minh: AEF ∽ ABC 2/ Chứng minh: IP IQ 3/ Gọi M trung điểm AH chứng minh I trực tâm tam giác BMC Lời giải Chứng minh: AEF ∽ ABC Ta có: A AEF ∽ ABC ( g g ) AE AB (1) AF AC E P F Xét AEF ABC có: K N I Q H B C D EAF BAC ( góc chung ) AEF ∽ ABC (c g c) AE AB (1) AF AC Kẻ AK HN vng góc với EF ( K ; N EF ) Ta có: AK / / HN (cùng vng góc với EF ) AK EF S IA AK AEF IH HN HN EF SHEF (1) AD.BC S AD ABC HD HD.BC S HBC Lại có: (2) Mặt khác: EHC ∽ FHB ( g g ) HE HF HE HC HC HB HF HB S EF HEF ∽ HCB (c g c) HEF SHCB BC Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com AEF ∽ ABC (câu a) Và S AEF EF S ABC BC 2 SHEF S AEF EF SAEF S ABC S HCB S ABC BC S HEF S HBC Từ (1), (2) (3) (3) IA AD AI HI IH HD AD HD (*) IP AI IQ HI PQ / / BC Vì nên áp dụng quan hệ định lý Ta-Lét ta có: DB AD DB HD Từ (*) (**) IP IQ IP IQ DB DB AI HI HI HI AI (câu b ) HD HD AD Ta có: AD HD A Vì M trung điểm AH HI AI AH 2MA M J Và HD AD AH HD 2MH HD 2MD HI 2MA MA HI MA 1 1 HD 2MD MD HD MD ID AD ID.MD AD.HD HD MD I F H B DHB ∽ DCA (g g) E (1) Lại có: Từ (1) (2) (**) C D DH DB DB.CD AD.HD DC DA (2) ID.MD BD.CD ID CD BD MD DIB ∽ DCM (c g c) DIB DCM BCJ BCJ CBJ DIB DBI 900 BJ MC Mặt khác: MD BC Mà BJ cắt MD I suy I trực tâm BMC Câu 5: (2.0đ) Trong mặt phẳng cho điểm A1 ; A2 ; A3 ; A4 ; A5 ; A6 khơng có ba điểm thẳng hàng Với ba điểm số điểm ln tìm hai điểm mà khoảng cách chúng nhở 673 Chứng minh sáu điểm cho ln tìm ba điểm ba đỉnh tam giác có chu vi nhỏ 2019 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Xanh Đỏ Xanh Đỏ Xanh Đỏ Xanh Đỏ Đỏ Đỏ Đỏ Xanh Lời giải -Tổng số đoạn thẳng sinh từ điểm cho là: 3+2 1 15 (đoạn thẳng) - Trong 15 đoạn thẳng đoạn thẳng Am An (với m; n 1; 2;3; 4;5;6 ; 6}) có độ dài nhỏ 673 tơ mà đỏ Các đoạn thẳng cịn lại tơ màu xanh - Khi đó, tam giác ln tồn cạnh màu đỏ tam giác có cạnh tơ màu đỏ có chu vi nhỏ 2019 - Vì thế, ta cần chứng minh tồn tam giác có cạnh màu đỏ - Thật vậy: Nối điểm A1 với điểm lại ta đoạn thẳng gồm A1A ; A1A ; A1A ; A1A ; A1A - Theo ngun lí Dirichlet đoạn thẳng ln tồn đoạn thẳng tô màu - Không tính tổng quát, Giả sử A1A ; A1A3 ; A1A có màu xanh, tam giác A A 3A có cạnh tơ màu đỏ (vì tam giác ln tồn cạnh màu đỏ) - Nếu đoạn thẳng A1A ; A1A3 ; A1A có màu đỏ, tam giác A A 3A có cạnh tơ màu đỏ (trong tam giác ln tồn cạnh màu đỏ) Giả sử cạnh A A4 tơ màu đỏ, Ta có tam giác A1 A2 A3 có З cạnh tơ màu đỏ - Bài toán chứng minh (Hết) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC