Website:tailieumontoan.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA KIỂM TRA CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI DỰ THI CẤP TỈNH CÁC MƠN VĂN HĨA LỚP NĂM HỌC 2018 – 2019 PHỊNG GD&ĐT ĐƠNG SƠN MƠN THI: TỐN Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Bài (4 điểm) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị x : A x x 6 x x4 x 3 2 x 2 x 10 x 12 x x Điều kiện x , x ; x ; x B Rút gọn biểu thức: 2 2 2 2 Bài (6,0 điểm) 3a a 2a a 1 x2 a2 Cho phương trình: a x a x ( a tham số) a) Giải phương trình b) Tìm giá trị ngun dương a để phương trình có nghiệm x số nguyên tố 3 x y z 3xyz x 2 y z Tìm nghiệm nguyên dương hệ phương trình sau: Câu (4 điểm) 1) Tìm tất số tự nhiên có ba chữ số abc cho: abc n2 cba n Với n ¢ ; n 2) Cho tam giác ABC có ba cạnh a; b; c thỏa : a + b + c = Chứng minh : 52 £ 3( a + b + c ) + 2abc < 54 Bài (4,0 điểm) Cho hình vng ABCD cạnh a N điểm cạnh AB Tia CN cắt tia DA E Trên tia đối tia BA lấy điểm F cho BF DE Gọi M trung điểm EF 1) Chứng minh tam giác ACE đồng dạng với tam giác BCM 2) Xác định vị trí điểm N AB cho diện tích tứ giác ACFE gấp ba lần diện tích hình vng ABCD Bài (2,0 điểm) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com µ µ µ µ Cho ABC : B C 105 ; AB AC BC Tính B, C ? - HẾT LỜI GIẢI CHI TIẾT Bài (4 điểm) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị x : A x x 6 x x4 x 3 2 x 2 x 10 x 12 x x Điều kiện x , x ; x ; x 2 B 2 Rút gọn biểu thức: 2 2 Lời giải Với điều kiện x , x ; x ; x A 2 Ta có 6x x x x x 1 x 3 x 2 2 x 1 x x 3 6 x x x x x 1 x 3 x 2 x 3 x 1 x 2 x x x 11 x x x 3 x 1 x x x 1 x x 3 x 1 x x 3 x 1 x x 3 x 1 Vậy A không phụ thuộc vào giá trị x B Liên hệ tài 039.373.2038 2 2 liệu word 2 2 mơn tốn: 2 2 42 2 2 42 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 3 3 3 1 1 2 3 3 1 1 1 1 1 2 1 21 3 1 1 2 2 Vậy B 6 1 Bài (6,0 điểm) 3a a 2a a 1 x2 a2 Cho phương trình: a x a x ( a tham số) a) Giải phương trình b) Tìm giá trị nguyên dương a để phương trình có nghiệm x số ngun tố x y z 3xyz x 2 y z Tìm nghiệm nguyên dương hệ phương trình sau: Lời giải Rút gọn biểu thức sau: a) Điều kiện: x a Phương trình cho tương đương với: 3a 1 x a a x a 1 2a a 1 4ax 2a 2a Nếu a phương trình cho nghiệm với x Nếu a 2x a2 a x a a 1 * Vậy : Nếu a phương trình cho nghiệm với x ¡ Nếu a phương trình có nghiệm b) Với a Z* * Nếu a 2k k Z* ta có x x a a 1 a a 1 x k 2k 1 a x3 Để x số nguyên tố k (vì 2k k ) Suy ra: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com * Nếu a 2k 1 k Z* x k 1 2k 1 Để x số nguyên tố k k (vì 2k k ) khơng thỏa mãn k Z* Vậy a giastrij cần tìm Từ phương trình (1) hệ ta có: x y z 3xyz x y z yz ( y z ) 3xyz x y z x x y z y z yz x y z x y z xy xz yz 2 x y z x y x z y z x y x z y z suy : Vì theo giả thiết x, y, z nên : x y z x y z Thay vào phương trình (2) ta có : 2 x ( loaïi) x2 x x x 2 x =2 y z Với x y z Vì y, z số nguyên dương suy ra: Thử lại ta thấy với : x 2, y z thỏa mãn hệ phương trình cho x, y, z 2,1,1 Vậy nghiệm nguyên dương hệ phương trình : Câu (4 điểm) 1) Tìm tất số tự nhiên có ba chữ số abc cho: abc n2 cba n Với n ¢ ; n 2) Cho tam giác ABC có ba cạnh a; b; c thỏa : a + b + c = Chứng minh : 52 £ 3( a + b + c ) + 2abc < 54 Lời giải 1 2 abc n 100a 10b c n cba n 100c 10b a n 4n Trừ vế 2 1 ta có: 100a 10b c 100c 10b a n 1 n 4n 99a 99c 4n Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 99 a c 4n 4n M99 3 Mặt khác abc n mà 100 abc 999 100 n 999 101 n 1000 11 n 31 4 39 4n 119 Từ 3 4 4n 99 n 26 abc 26 675 Vậy abc 675 3( a + b + c ) + 2abc = é + 2abc (ëa + b + c ) - 2( ab + bc + ca ) ù ê ú û Ta có ù+ 2abc = 108 - ( 3ab + 3bc + 3ca - abc ) = 3é ê ë6 - ( ab + bc + ca ) ú û 27 < 3( ab + bc + ca ) - abc £ 28 Ta chứng minh Thật theo bdt tam giác ta có ìï b + c > a ï ïí a + c > b ị ùù ùợù a + b > c ỡù > 2a ï ïí > 2b Þ < a; b, c < ị ùù ùợù > 2c ìï - a > ï ïí - b > ïï ïỵï - c > - a )( - b) ( - c ) = 27 - ( a + b + c ) + 3( ab + bc + ca ) - abc > Xét ( Þ 27 - 9.6 + 3( ab + bc + ca ) - abc > Þ 3( ab + bc + ca ) - abc > 27 Mặt khác theo bđt Cơ si ta có ( - a) +( - b) +( - c) ³ 3 ( - a )( - b) ( - c ) Þ ³ 3 ( - a ) ( - b) ( - c ) Þ ( - a ) ( - b) ( - c ) £ Þ 3( ab + bc + ca ) - abc - ( a + b + c ) + 27 £ Þ 3( ab + bc + ca ) - abc - 54 + 27 £ Þ 3( ab + bc + ca ) - abc £ 28 Vậy ta có 52 £ 108 - 2( 3ab + 3bc + 3ca - abc ) < 54 Þ 52 £ 3( a + b + c ) + 2abc < 54 ( đpcm ) Bài (4,0 điểm) Cho hình vng ABCD cạnh a N điểm cạnh AB Tia CN cắt tia DA E Trên tia đối tia BA lấy điểm F cho BF DE Gọi M trung điểm EF Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 1) Chứng minh tam giác ACE đồng dạng với tam giác BCM 2) Xác định vị trí điểm N AB cho diện tích tứ giác ACFE gấp ba lần diện tích hình vng ABCD Lời giải 1) Có BFC DEC c.g.c CB CD · · CBF CDE 90 BF DE · · Suy CE CF FCB ECD · · · · · Mà ECD ECB 90 BCF ECB 90 ECF 90 Suy tam giác ECF vuông cân C suy CM vừa trung tuyến vừa đường cao tam giác ECF tam giác CME vuông cân M Dễ thấy tam giác ABC vuông cân B Có MCE : BCA ( Hai tam giác vng cân đồng dạng với nhau) suy CM CB CE CA · · · · MCE BCA 45 MCB ECA Lại có Vậy ACE : BCM (c.g.c) CM CB · · ECA CE CA MCB (đpcm) 2) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Đặt AN x ax ax AF 2a ax , a x , điều kiện x a 1 AE AF CB AF AF AE CB 2 AE S ACFE S AEF S ACF 1 ax ax x x 2a x a 2a a a2 a2 2 a x a x a x a x a x a x a 2a x a x Có S ACFE 3S ABCD a 2a x 3a 2 2 a x 2a x a a x x x 2 x 11ax 4a 4a ( L) a (N) Bài (2,0 điểm) µ µ µ µ Cho ABC : B C 105 ; AB AC BC Tính B, C ? Lời giải · Trên BC chọn điểm N cho NAB 30 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Kẻ BM AN ; CP AN ( P, M AN ) ả * Xột ABM cú M 90 ; A 30 Áp dụng định lý góc đối diện cạnh 300 nửa cạnh huyền AB BM (1) · * Xét APC có PAC 45 Nên APC vng cân P AC PC AC PC (2) Từ (1) (2) AB AC 2( BM PC ) 2( BN CN ) BC µ µ để thoả mãn tốn M N P hay B 60 ; C 45 - HẾT - Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ... ra: Thử lại ta thấy với : x 2, y z thỏa mãn h? ?? phương trình cho x, y, z 2,1,1 Vậy nghiệm nguyên dương h? ?? phương trình : Câu (4 điểm) 1) Tìm tất số tự nhiên có ba chữ số abc cho:... 4ax 2a 2a Nếu a phương trình cho nghiệm với x Nếu a 2x a2 a x a a 1 * Vậy : Nếu a phương trình cho nghiệm với x ¡ Nếu a phương trình có nghiệm b) Với a Z* *...Website:tailieumontoan.com µ µ µ µ Cho ABC : B C 105 ; AB AC BC Tính B, C ? - H? ??T LỜI GIẢI CHI TIẾT Bài (4 điểm) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị x : A x