32 HSG h 20 DONG SON THANH HOA

Website:tailieumontoan.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA KIỂM TRA CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI DỰ THI CẤP TỈNH CÁC MƠN VĂN HĨA LỚP NĂM HỌC 2018 – 2019 PHỊNG GD&ĐT ĐƠNG SƠN MƠN THI: TỐN Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Bài (4 điểm) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị x : A  x   x  6 x   x4 x 3 2 x    2 x  10 x  12 x  x  Điều kiện x  , x  ; x  ; x  B Rút gọn biểu thức: 2  2  2  2 Bài (6,0 điểm) 3a  a  2a  a  1   x2  a2 Cho phương trình: a  x a  x ( a tham số) a) Giải phương trình b) Tìm giá trị ngun dương a để phương trình có nghiệm x số nguyên tố 3  x  y  z  3xyz  x  2 y  z  Tìm nghiệm nguyên dương hệ phương trình sau:  Câu (4 điểm) 1) Tìm tất số tự nhiên có ba chữ số abc cho:  abc  n2   cba   n   Với n  ¢ ; n  2) Cho tam giác ABC có ba cạnh a; b; c thỏa : a + b + c = Chứng minh : 52 £ 3( a + b + c ) + 2abc < 54 Bài (4,0 điểm) Cho hình vng ABCD cạnh a N điểm cạnh AB Tia CN cắt tia DA E Trên tia đối tia BA lấy điểm F cho BF  DE Gọi M trung điểm EF 1) Chứng minh tam giác ACE đồng dạng với tam giác BCM 2) Xác định vị trí điểm N AB cho diện tích tứ giác ACFE gấp ba lần diện tích hình vng ABCD Bài (2,0 điểm) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com µ µ µ µ Cho ABC : B  C  105 ; AB  AC  BC Tính B, C  ? - HẾT LỜI GIẢI CHI TIẾT Bài (4 điểm) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị x : A x   x  6 x    x4 x 3 2 x    2 x  10 x  12 x  x  Điều kiện x  , x  ; x  ; x  2 B  2 Rút gọn biểu thức: 2   2 Lời giải Với điều kiện x  , x  ; x  ; x  A 2 Ta có    6x  x x  x   x 1 x 3 x 2  2    x  1  x    x  3 6 x  x x  x   x 1  x 3 x 2  x 3     x 1 x 2   x x  x  11 x    x    x  3  x  1  x  x     x  1  x    x  3  x  1  x    x  3   x  1  x    x  3      x 1 Vậy A không phụ thuộc vào giá trị x B Liên hệ tài 039.373.2038 2  2 liệu word  2  2 mơn tốn:   2  2 42   2  2 42 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com      3    3    3    1    1 2 3 3 1  1  1  1   1     2  1  21 3             1    1   2 2 Vậy B  6  1 Bài (6,0 điểm) 3a  a  2a  a  1   x2  a2 Cho phương trình: a  x a  x ( a tham số) a) Giải phương trình b) Tìm giá trị nguyên dương a để phương trình có nghiệm x số ngun tố  x  y  z  3xyz  x  2 y  z  Tìm nghiệm nguyên dương hệ phương trình sau:  Lời giải Rút gọn biểu thức sau: a) Điều kiện: x   a Phương trình cho tương đương với:  3a  1  x  a    a  x   a  1  2a  a  1  4ax  2a  2a Nếu a  phương trình cho nghiệm với x  Nếu a   2x  a2  a  x  a  a  1 * Vậy : Nếu a  phương trình cho nghiệm với x  ¡ Nếu a  phương trình có nghiệm b) Với a  Z* * Nếu a  2k  k  Z*  ta có x x a  a  1 a  a  1 x  k  2k  1 a   x3 Để x số nguyên tố k  (vì 2k   k ) Suy ra:  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com * Nếu a  2k  1 k  Z*  x   k  1  2k  1 Để x số nguyên tố k    k  (vì 2k   k  ) khơng thỏa mãn k  Z* Vậy a  giastrij cần tìm Từ phương trình (1) hệ ta có: x  y  z  3xyz  x   y  z   yz ( y  z )  3xyz    x  y  z   x  x  y  z    y  z   yz       x  y  z   x  y  z  xy  xz  yz   2   x  y  z   x  y    x  z    y  z       x  y    x  z    y  z   suy : Vì theo giả thiết x, y, z  nên : x  y  z   x  y  z Thay vào phương trình (2) ta có : 2  x  ( loaïi) x2  x  x  x  2     x =2 y  z  Với x   y  z  Vì y, z số nguyên dương suy ra: Thử lại ta thấy với : x  2, y  z  thỏa mãn hệ phương trình cho  x, y, z    2,1,1 Vậy nghiệm nguyên dương hệ phương trình : Câu (4 điểm) 1) Tìm tất số tự nhiên có ba chữ số abc cho:  abc  n2   cba   n   Với n  ¢ ; n  2) Cho tam giác ABC có ba cạnh a; b; c thỏa : a + b + c = Chứng minh : 52 £ 3( a + b + c ) + 2abc < 54 Lời giải  1 2 abc  n   100a  10b  c  n  cba   n    100c  10b  a  n  4n  Trừ vế  2  1   ta có:  100a  10b  c    100c  10b  a    n  1   n  4n    99a  99c  4n  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com  99  a  c   4n    4n   M99  3 Mặt khác abc  n  mà 100  abc  999  100  n   999  101  n  1000  11  n  31  4  39  4n   119 Từ  3  4  4n   99  n  26  abc  26   675 Vậy abc  675 3( a + b + c ) + 2abc = é + 2abc (ëa + b + c ) - 2( ab + bc + ca ) ù ê ú û Ta có ù+ 2abc = 108 - ( 3ab + 3bc + 3ca - abc ) = 3é ê ë6 - ( ab + bc + ca ) ú û 27 < 3( ab + bc + ca ) - abc £ 28 Ta chứng minh Thật theo bdt tam giác ta có ìï b + c > a ï ïí a + c > b ị ùù ùợù a + b > c ỡù > 2a ï ïí > 2b Þ < a; b, c < ị ùù ùợù > 2c ìï - a > ï ïí - b > ïï ïỵï - c > - a )( - b) ( - c ) = 27 - ( a + b + c ) + 3( ab + bc + ca ) - abc > Xét ( Þ 27 - 9.6 + 3( ab + bc + ca ) - abc > Þ 3( ab + bc + ca ) - abc > 27 Mặt khác theo bđt Cơ si ta có ( - a) +( - b) +( - c) ³ 3 ( - a )( - b) ( - c ) Þ ³ 3 ( - a ) ( - b) ( - c ) Þ ( - a ) ( - b) ( - c ) £ Þ 3( ab + bc + ca ) - abc - ( a + b + c ) + 27 £ Þ 3( ab + bc + ca ) - abc - 54 + 27 £ Þ 3( ab + bc + ca ) - abc £ 28 Vậy ta có 52 £ 108 - 2( 3ab + 3bc + 3ca - abc ) < 54 Þ 52 £ 3( a + b + c ) + 2abc < 54 ( đpcm ) Bài (4,0 điểm) Cho hình vng ABCD cạnh a N điểm cạnh AB Tia CN cắt tia DA E Trên tia đối tia BA lấy điểm F cho BF  DE Gọi M trung điểm EF Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 1) Chứng minh tam giác ACE đồng dạng với tam giác BCM 2) Xác định vị trí điểm N AB cho diện tích tứ giác ACFE gấp ba lần diện tích hình vng ABCD Lời giải 1) Có BFC  DEC  c.g.c  CB  CD · · CBF  CDE  90 BF  DE · · Suy CE  CF FCB  ECD · · · · · Mà ECD  ECB  90  BCF  ECB  90  ECF  90 Suy tam giác ECF vuông cân C suy CM vừa trung tuyến vừa đường cao tam giác ECF tam giác CME vuông cân M Dễ thấy tam giác ABC vuông cân B Có MCE : BCA ( Hai tam giác vng cân đồng dạng với nhau) suy CM CB  CE CA · · · · MCE  BCA  45  MCB  ECA Lại có Vậy ACE : BCM (c.g.c) CM CB  · ·  ECA CE CA MCB (đpcm) 2) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Đặt AN  x ax ax AF  2a  ax , a  x , điều kiện  x  a 1   AE AF  CB AF   AF  AE  CB  2  AE  S ACFE  S AEF  S ACF 1 ax   ax  x  x    2a  x   a    2a   a   a2      a2      2 a  x a  x  a  x  a  x   a  x  a  x    a 2a  x  a  x Có S ACFE  3S ABCD a 2a  x   3a 2 2  a  x   2a  x  a   a  x   x   x  2   x  11ax  4a  4a ( L) a (N) Bài (2,0 điểm) µ µ µ µ Cho ABC : B  C  105 ; AB  AC  BC Tính B, C  ? Lời giải · Trên BC chọn điểm N cho NAB  30 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Kẻ BM  AN ; CP  AN ( P, M  AN ) ả * Xột ABM cú M  90 ; A  30 Áp dụng định lý góc đối diện cạnh 300 nửa cạnh huyền  AB  BM (1) · * Xét APC có PAC  45 Nên APC vng cân P  AC  PC  AC  PC (2) Từ (1) (2)  AB  AC  2( BM  PC )  2( BN  CN )  BC µ µ để thoả mãn tốn M  N  P hay B  60 ; C  45 - HẾT - Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ... ra: Thử lại ta thấy với : x  2, y  z  thỏa mãn h? ?? phương trình cho  x, y, z    2,1,1 Vậy nghiệm nguyên dương h? ?? phương trình : Câu (4 điểm) 1) Tìm tất số tự nhiên có ba chữ số abc cho:... 4ax  2a  2a Nếu a  phương trình cho nghiệm với x  Nếu a   2x  a2  a  x  a  a  1 * Vậy : Nếu a  phương trình cho nghiệm với x  ¡ Nếu a  phương trình có nghiệm b) Với a  Z* *...Website:tailieumontoan.com µ µ µ µ Cho ABC : B  C  105 ; AB  AC  BC Tính B, C  ? - H? ??T LỜI GIẢI CHI TIẾT Bài (4 điểm) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị x : A x 