Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP – HUYỆN QUAN SƠN NĂM 2019 - 2020 Câu 1: (4 điểm) Cho P x x 2x x x x 2x x x x 3 x 2 x x 3 x Rút gọn P Với giá trị x P Tìm x nguyên biết P đạt giá trị nguyên lớn Câu 2: (4 điểm) Giải phương trình: x x x 10 x 18 12 x 39 2 x x x x Câu 3: (4 điểm) Tìm số nguyên x để biểu thức x x x số phương Chứng minh với a, b, c dương ta ln có: 1 a b b c c a abc Câu 4: (6 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AD, BE , CF cắt H Chứng minh rằng: AF AB AH AD AE AC H tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF Gọi M , N , P, I , K , Q trung điểm đoạn thẳng BC , AC , AB, EF , ED, DF Chứng minh đường thẳng MI , NQ, PK đồng quy Gọi độ dài đoạn thẳng AB, BC , CA a, b, c ; độ dài đoạn thẳng a b c AD, BE , CF a ', b ', c ' Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a '2 b '2 c '2 Câu 5: (2 điểm) Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a b Tìm giá trị nhỏ biểu thức A 1 2 ab a b Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ……………….HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP – HUYỆN QUAN SƠN NĂM 2019 - 2020 Câu 1: x x 2x x x x 2x x x x 3 x 2 x x 3 x P (4 điểm) Cho Rút gọn P Với giá trị x P Tìm x nguyên biết P đạt giá trị nguyên lớn Lời giải P x 2 x 1 x 2 x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x 2x x x x 2x x x x 3 x 2 x x 3 x x 1 x 1 x 1 x 1 2x x 1 Ta có P x x 2 4 2 x 1 x 1 x 1 P có giá trị lớn 2 x có giá trị lớn x số nguyên dương nhỏ x 1 x Câu 2: (4 điểm) Giải phương trình: x Liên hệ tài 039.373.2038 x x 10 x 18 12 x 39 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 2 x x x x Lời giải x x x 10 x 18 12 x 39 2 Đặt x x a ; x 10 x 18 b Ta có a b x x x 10 x 18 x 10 12 x 39 12 x 30 x 10 a b Khi ta có phương trình ab a b ab 3a 3b ab 3a 3b a b 3 b 3 b 3 a 3 x x 2 x b b 3 x 10 x 18 3 x 10 x 21 x 6x x 6x a a x 2 x x x x x2 5x x 5x x2 5x x2 5x Đặt x 5x a x2 5x a3 Khi ta có phương trình a 2a a a 2a a ( Vì a 2a a 1 ) a 2 x x 2 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com x x 8 x x2 5x x Câu 3: (4 điểm) Tìm số nguyên x để biểu thức x x x số phương Chứng minh với a, b, c dương ta ln có: 1 a b b c c a abc Lời giải x x x x x3 x x3 x x x x x x x 1 x x x 1 x x 1 x 1 Đặt x 2x 2 x4 x2 2x A a ¥ x 1 Vì 2 , A số phương nên suy x x phải số phương x2 2x a2 a ¢ a x x 1 a x 1 a x 1 a x 1 a x a x a a x a x x a x 1 a x 2 a 1 a x a x x x a , x ¢ Vì 1 a b b c c a abc abc abc abc 3 a 1 b b 1 c c 1 a Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com abc a ab abc b bc abc ca c 6 a 1 b b 1 c c 1 a a ab abc c bc abc a ca abc a 1 b b 1 c c 1 a a ab c c bc a a ca b a 1 b b 1 c c 1 a a 1 b b 1 c c 1 a 1 a 1 b 1 c 6 a 1 b 1 a b 1 c 1 b c 1 a 1 c Mà 2 6 a b b 1 c c 1 a 1 a 1 b 1 c a 1 b 1 a b 1 c 1 b c 1 a 1 c 1 a a 1 b 1 b b 1 c 1 c c 1 a 2 2 6 a b a b 1 c 1 b c 1 a 1 c Suy Câu 4: 6 1 a b b c c a abc (6 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AD, BE , CF cắt H Chứng minh rằng: AF AB AH AD AE AC H tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF Gọi M , N , P, I , K , Q trung điểm đoạn thẳng BC , AC , AB, EF , ED, DF Chứng minh đường thẳng MI , NQ, PK đồng quy Gọi độ dài đoạn thẳng AB, BC , CA a, b, c ; độ dài đoạn thẳng a b c AD, BE , CF a ', b ', c ' Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a '2 b '2 c '2 Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com AFH ∽ ADB (g.g) AEH ∽ ADC (g.g) AF AH AF AB AH AD AD AB AE AH AE AC AH AD AD AC Do AF AB AH AD AE AC Ta có CFB ∽ ADB (g.g) BF CB BF BD BD AB CB AB BF BD · Xét BFD BCA có : CB AB ; ABC chung BFD ∽ BCA (c.g.c) · · BFD BCA (1) chứng minh tương tự AFE ∽ ACB (c.g.c) · ·AFE BCA (2) · · Từ (1) (2) ta có AFE BFD · · · · · · Mà AFE EFC 90; CFD DFB 90 EFC CFD · Suy FC phân giác EFD (3) · · Chứng minh tương tự ta EB phân giác DEF , DA phân giác EDF (4) Mà H giao điểm ba đoạn thẳng AD, BE , CF (5) Từ (3),(4),(5) suy H tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com FN DN AC mà FQ QD nên suy NQ đường trung trực FD Ta có Chứng minh tương tự ta có : IM đường trung trực FE ; PK đường trung trực ED Suy MI , NQ, PK ba đường trung trực DFE mà tam giác ba đường trung trực qua điểm nên đường thẳng MI , NQ, PK đồng quy Vẽ Cx CF , gọi A’ điểm đối xứng A qua Cx µ µ µ Tứ giác AFCO hình chữ nhật ( F C O 90 ) · BAA ' 90, AA ' 2CF AA ' có Cx đường trung trực nên AC CA ' Với ba điểm B, C A’ ta có BA ' BC CA ' Dấu “=” xảy BA ' BC CA ' , AC CB ABA ' vng A có AB AA '2 BA '2 mà BA ' BC CA ' , AA ' 2CF nên suy AB 4CF BC CA ' AB 4CF BC AC 4CF BC AC AB 2 c '2 a b c 2 4a '2 b c a ; 4b '2 a c b 2 Chứng minh tương tự ta có Cộng vế với vế bất đẳng thức ta có a '2 b '2 c '2 b c a a c b a b c 2 a '2 b ' c ' a b c a b c 2 a' b' c' 2 4 Dấu “=” xảy AC CB AB hay tam giác ABC Câu 5: (2 điểm) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a b Tìm giá trị nhỏ biểu thức A 1 2 ab a b Lời giải Ta có A a b ab ab 1 4 2 2 2 4 ab a b a b 2ab 2ab a b 2ab Dấu “=” xảy Liên hệ tài 039.373.2038 liệu ab word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ...Website:tailieumontoan.com ……………… .H? ??T…………… Liên h? ?? tài 039.373 .203 8 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN H? ??C Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI H? ??C SINH GIỎI LỚP – HUYỆN QUAN SƠN NĂM 201 9 - 202 0 Câu 1: x x ... giải Liên h? ?? tài 039.373 .203 8 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN H? ??C Website:tailieumontoan.com AFH ∽ ADB (g.g) AEH ∽ ADC (g.g) AF AH AF AB AH AD AD AB AE AH AE AC AH AD AD... AB hay tam giác ABC Câu 5: (2 điểm) Liên h? ?? tài 039.373 .203 8 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN H? ??C Website:tailieumontoan.com Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a b Tìm giá trị nhỏ biểu thức