29 HSG h 20 KIM DONG

Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN KIM ĐỘNG - NĂM 2019 Câu 1: (2,0 điểm) 1 1    a) x  x  20 x  11x  30 x  13x  42 18 b) Câu 2: x 1   x  1 x  x 1  (2,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức: A 43 22  1 2 b) So sánh B  2020   2019  Câu 3: C 2.2019 2020   2019  (2,0 điểm) a) Chứng minh hàm số y   m2  m   x đồng biến với tham số m b) Cho số a , b thỏa mãn: a  b  a  1 ; b  ; b   Tính giá trị biểu thức: Câu 4: E a  4a  b  b  3a  (3,0 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, có ba đường cao AD , BI , CK cắt H Gọi E F chân đường vng góc kẻ từ D xuống AB AC a) Chứng minh rằng: AE AB  A F AC b) Giả sử HD  AD · · ABC   ; ACB   Chứng minh tan  tan   c) Gọi M ; N chân đường vng góc kẻ từ D đến BI CK Chứng minh bốn điểm E , M , N , F thẳng hàng Câu 5: (1,0 điểm): Cho số dương a , b , c thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu a5  b5  c  word môn 1   6 a b c tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN KIM ĐỘNG- NĂM 2019 Câu 1: (2,0 điểm) 1 1    a) x  x  20 x  11x  30 x  13x  42 18 b) x 1   x  1 x  x 1  Lời giải  x  4  x  5    x  6  a) Điều kiện xác định:  x  7 1 1    x  x  20 x  11x  30 x  13 x  42 18  1    x    x    x  5  x    x    x    1 1 1       x  x  x  x  x  x  18  1   x  x  18  x7 x4   x    x   18   x  4  x  7   18 18  x  11x  28  54  x  11x  26   x  13x  x  26   x( x  13)  2( x  13)    x    x  13   x  (tm)   x  13 (tm) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com S   13; 2 Vậy tập nghiệm phương trình  x  1 x  x 1  b) x 1  Điều kiện xác định: x   x  1 x  x 1   x 1    x 1 1 x  x 1      x 1 1  x   x 1 1   x 1   x  (tm)    1  x   x   x  (tm) S   0; 1 Vậy tập nghiệm phương trình Câu 2: (2,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức: A 43 22  1 b) So sánh B  2020   2019  2 C 2.2019 2020   2019  Lời giải a) A A 3 4 22  1 43238  1  2(   1)  1 32 b) Ta có B  20202   2019    2020   2020  2019   2020  2019  2020   2019  2  1   20192  1 20202   20192    2020  2019 2020   2019  2 20202  20192 20202   20192   2.2019 2020   20192  C Vậy ta có B  C Câu 3: (2,0 điểm) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com a) Chứng minh hàm số y   m2  m   x đồng biến với tham số m b) Cho số a , b thỏa mãn: a  b  a  1 ; b  ; b   Tính giá trị biểu thức: E a  4a  b  b  3a  Lời giải m  2m    m  1    m  ¡ a) Ta có: Vậy hàm số E y   m2  2m   x đồng biến với tham số m a  4a  b  b  3a  b) Có a  b   a  b  E a  4a  b b   4(b 3)  b b  3b  12       11  b  3a  b5 3(b 3)  b  3b  12 Vậy E  Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, có ba đường cao AD , BI , CK cắt H Gọi E F chân đường vuông góc kẻ từ D xuống AB AC a) Chứng minh rằng: AE AB  A F AC b) Giả sử HD  AD · · ABC   ; ACB   Chứng minh tan  tan   c) Gọi M ; N chân đường vng góc kẻ từ D đến BI CK Chứng minh bốn điểm E , M , N , F thẳng hàng Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a) Xét ADB vng D ta có DE  AB  AE AB  AD (hệ thức lượng tam giác vuông) (1) Xét ADC vng D ta có DF  AC  AF AC  AD (hệ thức lượng tam giác vuông) (2) Từ (1) (2)  AE AB  AF AC (đpcm) HD  AD AD  3 HD b) Ta có Xét ADB vng D ta có: AD tan   tan ·ABD  BD Xét ADC vuông D ta có: AD tan   tan ·ACD  DC  tan  tan   AD BD.DC (3) Xét ADB CDH ta có : ·ADB  CDH · ( 90) · · · DAB  DCH (cùng phụ với ABD ) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com  ADB ∽ CDH (g.g)  AD DC  BD HD (cặp cặp tương ứng)  AD.HD  BD.DC  AD  BD.DC HD  AD AD  BD.DC HD AD AD 3 3 BD.DC Mà HD (4) Từ (3) (4)  tan  tan   (đpcm) c) Xét tứ giác DEKN ta có : · DEK  90 (do DE  AB ) · EKN  90 (do CK  AB ) · DNK  90 (do DN  KC )  tứ giác DEKN hình chữ nhật ·  EDN  90 · · · Ta có: HDN  BDE (cùng phụ với EDH ) (5) Xét tứ giác BEMD ta có: · · BED  BMD   90  · · Mà BED  BMD góc kề nhìn cạnh BD góc vng  tứ giác BEMD nội tiếp (dấu hiệu nhận biết) (6) · · ¼  BME  BDE (2 góc nội tiếp chắn MD ) Chứng minh tứ giác MDNH nội tiếp · · ¼  HMN  HDN (hai góc nội tiếp chắn cung HN ) (7) · · Từ (5); (6); (7)  HMN  BME Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com  E , M , H thẳng hàng Chứng minh tương tự ta có M , N , F thẳng hàng  bốn điểm E , M , N , F thẳng hàng Câu 5: (1,0 điểm) Cho số dương a , b , c thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: a  b5  c5  1   6 a b c Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cô si hai số dương a a ta có: a5  1  a  2a a a (1) Áp dụng bất đẳng thức Cô si hai số dương b b ta có: b5  1  b5  2b b b (2) Áp dụng bất đẳng thức Cô si hai số dương c c ta có: c5  1  c  2c c c (3) Cộng vế (1); (2); (3) ta có: a5  b5  c5  1    2(a  b  c ) (4) a b c Ta lại có: a   2a b   2b c   2c  a  b  c   2(a  b  c) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 2 2 2 a  b  c  nên suy a  b  c    a  b  c  (5) Mà 1   6 a b c 1 a  b5  c     a b c Vậy:  a  b5  c5  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ...  202 02   201 9    202 0   202 0  201 9   202 0  201 9  202 0   201 9  2  1   201 92  1 202 02   201 92    202 0  201 9 202 0   201 9  2 202 02  201 92 202 02   201 92   2 .201 9... hiệu nhận biết) (6) · · ¼  BME  BDE (2 góc nội tiếp chắn MD ) Chứng minh tứ giác MDNH nội tiếp · · ¼  HMN  HDN (hai góc nội tiếp chắn cung HN ) (7) · · Từ (5); (6); (7)  HMN  BME Liên h? ??... x  (tm) S   0; 1 Vậy tập nghiệm phương trình Câu 2: (2,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức: A 43 22  1 b) So sánh B  202 0   201 9  2 C 2 .201 9 202 0   201 9  Lời giải a) A A 3 4 22