Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN KIM ĐỘNG - NĂM 2019 Câu 1: (2,0 điểm) 1 1 a) x x 20 x 11x 30 x 13x 42 18 b) Câu 2: x 1 x 1 x x 1 (2,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức: A 43 22 1 2 b) So sánh B 2020 2019 Câu 3: C 2.2019 2020 2019 (2,0 điểm) a) Chứng minh hàm số y m2 m x đồng biến với tham số m b) Cho số a , b thỏa mãn: a b a 1 ; b ; b Tính giá trị biểu thức: Câu 4: E a 4a b b 3a (3,0 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, có ba đường cao AD , BI , CK cắt H Gọi E F chân đường vng góc kẻ từ D xuống AB AC a) Chứng minh rằng: AE AB A F AC b) Giả sử HD AD · · ABC ; ACB Chứng minh tan tan c) Gọi M ; N chân đường vng góc kẻ từ D đến BI CK Chứng minh bốn điểm E , M , N , F thẳng hàng Câu 5: (1,0 điểm): Cho số dương a , b , c thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu a5 b5 c word môn 1 6 a b c tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN KIM ĐỘNG- NĂM 2019 Câu 1: (2,0 điểm) 1 1 a) x x 20 x 11x 30 x 13x 42 18 b) x 1 x 1 x x 1 Lời giải x 4 x 5 x 6 a) Điều kiện xác định: x 7 1 1 x x 20 x 11x 30 x 13 x 42 18 1 x x x 5 x x x 1 1 1 x x x x x x 18 1 x x 18 x7 x4 x x 18 x 4 x 7 18 18 x 11x 28 54 x 11x 26 x 13x x 26 x( x 13) 2( x 13) x x 13 x (tm) x 13 (tm) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com S 13; 2 Vậy tập nghiệm phương trình x 1 x x 1 b) x 1 Điều kiện xác định: x x 1 x x 1 x 1 x 1 1 x x 1 x 1 1 x x 1 1 x 1 x (tm) 1 x x x (tm) S 0; 1 Vậy tập nghiệm phương trình Câu 2: (2,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức: A 43 22 1 b) So sánh B 2020 2019 2 C 2.2019 2020 2019 Lời giải a) A A 3 4 22 1 43238 1 2( 1) 1 32 b) Ta có B 20202 2019 2020 2020 2019 2020 2019 2020 2019 2 1 20192 1 20202 20192 2020 2019 2020 2019 2 20202 20192 20202 20192 2.2019 2020 20192 C Vậy ta có B C Câu 3: (2,0 điểm) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com a) Chứng minh hàm số y m2 m x đồng biến với tham số m b) Cho số a , b thỏa mãn: a b a 1 ; b ; b Tính giá trị biểu thức: E a 4a b b 3a Lời giải m 2m m 1 m ¡ a) Ta có: Vậy hàm số E y m2 2m x đồng biến với tham số m a 4a b b 3a b) Có a b a b E a 4a b b 4(b 3) b b 3b 12 11 b 3a b5 3(b 3) b 3b 12 Vậy E Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, có ba đường cao AD , BI , CK cắt H Gọi E F chân đường vuông góc kẻ từ D xuống AB AC a) Chứng minh rằng: AE AB A F AC b) Giả sử HD AD · · ABC ; ACB Chứng minh tan tan c) Gọi M ; N chân đường vng góc kẻ từ D đến BI CK Chứng minh bốn điểm E , M , N , F thẳng hàng Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a) Xét ADB vng D ta có DE AB AE AB AD (hệ thức lượng tam giác vuông) (1) Xét ADC vng D ta có DF AC AF AC AD (hệ thức lượng tam giác vuông) (2) Từ (1) (2) AE AB AF AC (đpcm) HD AD AD 3 HD b) Ta có Xét ADB vng D ta có: AD tan tan ·ABD BD Xét ADC vuông D ta có: AD tan tan ·ACD DC tan tan AD BD.DC (3) Xét ADB CDH ta có : ·ADB CDH · ( 90) · · · DAB DCH (cùng phụ với ABD ) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ADB ∽ CDH (g.g) AD DC BD HD (cặp cặp tương ứng) AD.HD BD.DC AD BD.DC HD AD AD BD.DC HD AD AD 3 3 BD.DC Mà HD (4) Từ (3) (4) tan tan (đpcm) c) Xét tứ giác DEKN ta có : · DEK 90 (do DE AB ) · EKN 90 (do CK AB ) · DNK 90 (do DN KC ) tứ giác DEKN hình chữ nhật · EDN 90 · · · Ta có: HDN BDE (cùng phụ với EDH ) (5) Xét tứ giác BEMD ta có: · · BED BMD 90 · · Mà BED BMD góc kề nhìn cạnh BD góc vng tứ giác BEMD nội tiếp (dấu hiệu nhận biết) (6) · · ¼ BME BDE (2 góc nội tiếp chắn MD ) Chứng minh tứ giác MDNH nội tiếp · · ¼ HMN HDN (hai góc nội tiếp chắn cung HN ) (7) · · Từ (5); (6); (7) HMN BME Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com E , M , H thẳng hàng Chứng minh tương tự ta có M , N , F thẳng hàng bốn điểm E , M , N , F thẳng hàng Câu 5: (1,0 điểm) Cho số dương a , b , c thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: a b5 c5 1 6 a b c Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cô si hai số dương a a ta có: a5 1 a 2a a a (1) Áp dụng bất đẳng thức Cô si hai số dương b b ta có: b5 1 b5 2b b b (2) Áp dụng bất đẳng thức Cô si hai số dương c c ta có: c5 1 c 2c c c (3) Cộng vế (1); (2); (3) ta có: a5 b5 c5 1 2(a b c ) (4) a b c Ta lại có: a 2a b 2b c 2c a b c 2(a b c) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 2 2 2 a b c nên suy a b c a b c (5) Mà 1 6 a b c 1 a b5 c a b c Vậy: a b5 c5 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ... 202 02 201 9 202 0 202 0 201 9 202 0 201 9 202 0 201 9 2 1 201 92 1 202 02 201 92 202 0 201 9 202 0 201 9 2 202 02 201 92 202 02 201 92 2 .201 9... hiệu nhận biết) (6) · · ¼ BME BDE (2 góc nội tiếp chắn MD ) Chứng minh tứ giác MDNH nội tiếp · · ¼ HMN HDN (hai góc nội tiếp chắn cung HN ) (7) · · Từ (5); (6); (7) HMN BME Liên h? ??... x (tm) S 0; 1 Vậy tập nghiệm phương trình Câu 2: (2,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức: A 43 22 1 b) So sánh B 202 0 201 9 2 C 2 .201 9 202 0 201 9 Lời giải a) A A 3 4 22