Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN THẠCH HÀ - NĂM 2019 -2020 Bài 1: T= − − 29 − 12 a) Tính giá trị biểu thức 5+2 + A= +1 b) Chứng minh rằng: 5+2+ 5−2 +1 x= d) Cho −1 = N = x 2019 + x 2020 − x 2021 c) Tính giá trị biểu thức x= −2 với − 3+ 2 y= +1 Tính M = x5 + y M = ( a + 2bc − 1) ( b + 2ac − 1) ( − c − 2ab ) e) Cho a , b, c số hữu tỉ thỏa mãn số hữu tỉ Trong ab + bc + ca = Chứng minh rằng: M Bài 2: a) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: a, b, c b) Tìm số x −1 dư cho đa thức f ( x ) = x3 + ax + bx + c chia cho x + x +1 ; ; x, y c) Tìm số tự nhiên Bài 3: xyz = ( x + y + z ) biết: (2 x + 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) − y = 11879 Giải phương trình sau: x2 + a) Liên hệ tài 039.373.2038 x2 ( x − 3) liệu = 16 x ( x − 1) + x ( x − ) = x b) word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Bài 4: ABC Cho tam giác AH , BH a) Tính b) Gọi biết D E Bài 5: Cho BC = 50 cm A BC = 2a AH , đường cao AB = AC hình chiếu AH = BC.BD.CE c) Giả sử vuông H AB AC Chứng minh rằng: độ dài cố định Tính giá trị nhỏ của: ≤ a , b, c ≤ Tìm giá trị lớn của: BD + CE P = a + b 2019 + c 2020 − ab − bc − ac LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN THẠCH HÀ - NĂM 2019 -2020 Bài 1: T= − − 29 − 12 a) Tính giá trị biểu thức 5+2+ A= +1 b) Chứng minh rằng: 5+2+ +1 x= d) Cho e) Cho 5−2 −1 với +1 Tính M = x5 + y M = ( a + 2bc − 1) ( b + 2ac − 1) ( − c − 2ab ) a, b, c số hữu tỉ thỏa mãn số hữu tỉ Liên hệ tài 039.373.2038 − 3+ 2 y= = N = x 2019 + x 2020 − x 2021 c) Tính giá trị biểu thức x= 5−2 liệu word môn Trong ab + bc + ca = tốn: Chứng minh rằng: M TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Lời giải T= − − 29 − 12 a) (2 = − 3− −3 = − 3− −3 = − 6−2 = 5− ( ( ) −1 ) ) = 5− ( ) −1 = 5+2+ A= ⇒ A2 = +1 b) 5+2+ x= 5−2 +1 c) Với 5−2 x = −1 , ta có: xy = d) Ta có: 2 5+2 + ⇒ A = ( dpcm ) − 3+2 = − N = −1 + + = x+ y = x + y = ( x + y ) − xy = ( 3) x3 + y = ( x + y ) − 3xy ( x + y ) = ( word môn = 2− ( ) + = −1 − = 2 ( 3) Vậy liệu 3 − = 2 x5 + y = ( x + y ) ( x + y ) − x y ( x + y ) = Liên hệ tài 039.373.2038 ) +1 toán: 3 11 − 3= 4 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com e) M = ( a + 2bc − 1) ( b + 2ac − 1) ( − c − 2ab ) = ( a + bc − ac − ab ) ( b + ac − ab − bc ) ( ac + bc − c − ab ) = ( a − b) ( a − c ) ( b − a ) ( b − c ) ( c − a ) ( b − c) = ( a − b) ( a − c) ( b − c) 2 ⇒ M = ( a − b) ( a − c) ( b − c) a , b, c Vì M số hữu tỉ nên số hữu tỉ Bài 2: xyz = ( x + y + z ) a) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: b) Tìm số x −1 a, b, c dư cho đa thức f ( x ) = x3 + ax + bx + c chia cho x + x +1 ; ; (2 x, y c) Tìm số tự nhiên biết: x + 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) − y = 11879 Lời giải x, y , z a) Vì số nguyên dương vai trị nên khơng tính tổng qt gải sử: 1≤ x ≤ y ≤ z ⇒ xy ≤ ⇒ x = x =1 Xét x=2 Xét Vậy , ta có: x=2 y = 1, 2,3, 4, 5, cho cho y = 2,3 xyz = ( x + y + z ) ≤ z ta được: ta ( x, y, z ) = ( 2; 2; ) ( x, y, z ) = ( 1;3;8) , ( 1; 4;5) , ( 2; 2; ) b) Từ giả thiết ta có: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word f ( x) −8 môn ( x, y, z ) = ( 1,3,8 ) , ( 1, 4,5 ) hoán vị ln chia hết cho tốn: x + x + x −1 ; ; TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com ⇒ f ( x ) = ( x + ) ( x + 1) ( x − 1) + x = −2 Với Với x =1 Với Từ , ta có: x suy ra: b = −1 ⇒ a = 2; b = 2x mà không chia hết cho + 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) 11879 Mà + a + b + c = ⇒ a + b + c = ( 3) x ( x + 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) hết cho (2 −1 + a − b + c = ⇒ a − b + c = ( ) , ta có: ( 1) , ( ) , ( 3) c) Ta có: −8 + 4a − 2b + c = ⇒ 4a − 2b + c = 16 ( 1) , ta có: x = −1 tích 5 nên số tự nhiên liên tiếp nên chia nên chia hết cho không chia hết cho y=0 ⇒ ( x + 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) = 11880 = 9.10.11.12 ⇒ x = Vậy Bài 3: x = 3, y = Giải phương trình sau: x2 + a) x2 ( x − 3) = 16 x ( x − 1) + x ( x − ) = x b) Lời giải x≠3 a) Điều kiện: x + Ta có: Liên hệ tài 039.373.2038 x2 ( x − 3) liệu 2 2 = 16 ⇔ x + x − x = 16 ⇔ x ÷ − x + = 25 ÷ x −3 x −3 x−3 x−3 word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com x2 ⇔ − ÷ = 25 x −3 x2 ( x − ) + = ( VN ) x −3 −3 = x = −1 ⇔ ⇔ ⇔ ( thoa dk ) ( x + 1) = x x = − − x − − = −5 { } S = − − 1; − Vậy b) x ( x − 1) + x ( x − ) = x x≥5 Điều kiện: x≥5 Nếu x≤0 x ( x − 1) + x ( x − ) = x x ≥ −3 x ≥ −3 ⇔ ⇔ −12 x = x = − ( loai ) ⇔ x − + x − = x ⇔ ( x − 5) ( x − 1) = x + x