Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN TAM DƯƠNG NĂM HỌC 2019-2020 Câu 1: (2,0 điểm) Tính giá trị biểu thức sau: Câu 2: Câu 3: Câu 4: Câu 5: (2,0 điểm) Tìm số thực x2 – 3x + cho đa thức (2,0 điểm) Giải phương trình: x + = x − x + 14 f ( x ) = x + ax3 + bx –1 x − y = xy (2,0 điểm) Cho a, b, c a +b +c = vô nghiệm Chứng minh (2,0 điểm) Chứng minh với số nguyên n cho 120 (2,0 điểm) Giải phương trình nghiệm nguyên Câu 9: Tính giá trị 2m − = m−3 x−2 số dương thỏa mãn ≥ abc + abc chia hết (2,0 điểm) Tìm tất giá trị m để phương trình ab + bc + ca + Câu 8: để đa thức (2,0 điểm) Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x− y P= x+ y biểu thức Câu 6: Câu 7: a, b A = + 10 + + − 10 + n5 − 5n3 + 4n chia hết x3 + = x + O AB trung điểm đoạn thẳng Trên nửa Ax, By AB mặt phẳng có bờ đường thẳng vẽ hai tia vng góc Ax C O AB A Trên tia lấy điểm (khác ), qua kẻ đường thẳng vng góc By OC D với cắt tia AB = AC.BD a) Chứng minh (2,0 điểm) Cho b) Gọi M hình chiếu vng góc thuộc đường trịn đường kính c) Kẻ đường cao đồng quy Liên hệ tài 039.373.2038 liệu MH word AB toán: CD Chứng minh M tam giác môn O MAB Chứng minh MH , AD, BC TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Câu 10: (2,0 điểm) Cho sáu đường trịn có bán kính có điểm chung Chứng minh tồn đường trịn chứa tâm đường trịn khác ……………….HẾT…………… Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………………………….….Số báo danh: ………………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN TAM DƯƠNG NĂM HỌC 20192020 Câu 1: (2,0 điểm) Tính giá trị biểu thức sau: A = + 10 + + − 10 + Lời giải A = + 10 + + − 10 + > ( A2 = + 10 + + − 10 + − 16 − 10 + ) A2 = + - A2 = + ( ) 5- A2 = + A2 = ( ) +1 A = +1 Câu 2: (Do A > 0) (2,0 điểm) Tìm số thực x2 – 3x + cho đa thức a, b để đa thức f ( x ) = x + ax3 + bx –1 chia hết Lời giải x – 3x + = ( x –1) ( x – 2) Ta có: f ( x) chia hết cho Theo ra: x - Þ f ( 1) = Þ a + b = Þ b =- a f ( x) chia hết cho f ( x) M ( x –1) ( x – 2) (1) x - Þ f ( 2) = Þ 8a + 2b = –15 (2) Þ 8a + ( – a ) = –15 Từ (1) (2) Þ a =- Liên hệ tài 039.373.2038 liệu b= ; word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a =Vậy Câu 3: ; (2,0 điểm) Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x− y P= x+ y biểu thức x − y = xy ⇔ ( Vì ⇔ )( x −2 y x − y = xy Tính giá trị Lời giải x − xy − y = ⇔ x − xy + xy − y = ) x + y =0 x+ y >0 Khi P= Câu 4: b= x −2 y =0 nên 4y − y = 4y + y (2,0 điểm) Giải phương trình: ⇔ x = 4y x + = x − x + 14 Lời giải ĐKXĐ: x³ - x + = x − x + 14 Û x - x - x +1 +14 = Û x - x + + x +1- x +1 + = Û ( x - 3) + ( ) x +1 - = ìï x - = Û ïí ïï x +1 - = Û x =3 ỵ (TM) Vậy phương trình có nghiệm Câu 5: x =3 (2,0 điểm) Tìm tất giá trị m để phương trình 2m − = m−3 x−2 vô nghiệm Lời giải ĐKXĐ: Liên hệ tài 039.373.2038 x¹ liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 2m − = m − Þ 2m - = ( x - 2) ( m - 3) x−2 Û ( m - 3) x = 4m - (*) m =3 + Xét Þ m =3 + m¹ Phương trình (*) trở thành 0x = (Vơ lý) phương trình cho vơ nghiệm x= , phương trình cho có nghiệm Để phương trình cho vơ nghiệm Vậy với Câu 6: m =3 m= , (2,0 điểm) Cho 4m - m- 4m - =2 Þ m= m- phương trình cho vơ nghiệm a, b, c số dương thỏa mãn ab + bc + ca + ≥ abc + abc a +b +c = Chứng minh Lời giải Áp dụng BĐT cauchy ta có Þ abc £ ab + bc + ca ( a + b + c) ( ab + bc + ca) ³ 3 abc 3 a 2b 2c = 9abc ab + bc + ca + Ta chứng minh Û ab + bc + ca ³ +3 abc ab + bc + ca ab + bc + ca + + ³ 3 abc VT ³ 3 ( ab + bc + ca) 9abc ³ Dấu xảy Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word Thật vậy: ( ab + bc + ca ) 9abc a = b = c =1 môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Câu 7: (2,0 điểm) Chứng minh với số nguyên n cho 120 Ta có: n5 − 5n3 + 4n n5 − 5n3 + 4n chia hết Lời giải n n −1 n − = ( )( ) = ( n − ) ( n − 1) n ( n + 1) ( n + ) 120 = 23.3.5 Và Trong số nguyên liên tiếp tồn số chia hết cho 5, số chia hết cho hai số chẵn liên tiếp nên tích số chia hết cho Mà 3, 5, đôi nguyên tố nên tích số chia hết cho 120 Câu 8: (2,0 điểm) Giải phương trình nghiệm nguyên: x + = x + Lời giải x + = 8x + ĐK xác định: 8x + ≥ ⇔ x ≥ − ⇔ x ≥ (vì x∈¢ ) PT tương đương với: x3 + 40 = 25 ( x + 1) ≤ 25 + ( x + 1) = 7.( x + 13) = 28 x + 91 ⇔ x − 28 x − 51 ≤ ⇔ ( x − 3) ( x + 15 x + 17 ) ≤ Vì với x≥0 x + 15 x + 17 > Vậy PT có nghiệm nên suy x−3= ⇔ x = x=3 Lưu ý: HS giải theo cách thử trực tiếp x = 1,2, ,5 Với x > chứng minh vế trái lớn vế phải Câu 9: O AB (2,0 điểm) Cho trung điểm đoạn thẳng Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng Ax, By AB AB vẽ hai tia vng góc Trên tia Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Ax D lấy điểm C (khác A ), qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt tia By a) Chứng minh AB = AC.BD b) Gọi M hình chiếu vng góc thuộc đường trịn đường kính MH c) Kẻ đường cao đồng quy AB O CD Chứng minh M MAB tam giác Chứng minh MH , AD, BC Lời giải a) Chứng minh ∆OAC : ∆ DBO (g.g) ⇒ OA AC = ⇒ OAOB = AC.BD DB OB ⇒ AB AB = AC.BD ⇒ AB = AC.B D 2 b) Theo câu a ta có: ⇒ OC AC = OD OB mà +) Chứng minh: c) Gọi Ta có K (c.g.c) ∆OAC = ∆OMC giao MH với (g.g) OC AC = OD OA nằm đường tròn · ⇒ ·ACO = OCM (ch.gn) ( O, OA) BC , I ⇒ AO = MO hay đường trịn đường kính giao ΔOAC = ΔOMC ⇒ OA = OM ; CA = CM ⇒ OC ⇒ OC ⊥ AM Mặc khác Liên hệ tài 039.373.2038 OA = OB ⇒ ∆OAC ∽∆ DOC +) Chứng minh: ⇒ M ∆OAC : ∆ DBO (đpcm) liệu BM với AB Ax trung trực AM OA = OM = OB ⇒ ∆AMB word mơn tốn: vng M TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com OC // BM +) Xét (vì vng góc ∆ABI có qua trung điểm +) Mà MH // AI ) hay qua trung điểm theo định lý Ta-lét ta có: AD OC // BI AB , song song BI suy OM AI ⇒ IC = AC IC = AC ⇒ MK = HK ⇒ BC Tương tự quy Câu 10: OM AM MK BK KH = = IC BC AC qua trung điểm qua trung điểm MH MH Suy AD, BC , MH đồng (2,0 điểm) Cho sáu đường trịn có bán kính có điểm chung Chứng minh tồn đường trịn chứa tâm đường tròn khác Lời giải Giả sử có sáu đường trịn tâm Oi (i = 1, 2, , 6) có bán kính r M điểm chung đường tròn Để chứng minh tốn ta cần chứng minh có hai tâm có khoảng cách khơng lớn r Nối M với tâm Nếu hai đoạn thẳng vừa nối nằm tia có điểm đầu mút M tốn chứng minh Trong trường hợp ngược lại, xét góc nhỏ góc nhận đỉnh M, giả sử góc O1MO2 Do tổng góc 3600 nên góc O1MO2 ≤ 600 Khi tam giác O1MO2 có góc khơng nhỏ góc O1MO2 (nếu ngược lại tổng góc tam giác nhỏ 1800) Từ suy cạnh MO1 MO2 tam giác O1MO2 tồn cạnh không nhỏ O1O2 tức ta có O1O2 ≤ r MO1 ≤ r, MO2 ≤ r Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ... Cho sáu đường trịn có bán kính có điểm chung Chứng minh tồn đường tròn chứa tâm đường tròn khác ……………… .H? ??T…………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm H? ?? tên thí sinh:…………………………………………….….Số... ( n + ) 120 = 23.3.5 Và Trong số nguyên liên tiếp tồn số chia h? ??t cho 5, số chia h? ??t cho hai số chẵn liên tiếp nên tích số chia h? ??t cho Mà 3, 5, đôi ngun tố nên tích số chia h? ??t cho 120 Câu 8:... Xột ị m =3 + mạ Phng trỡnh (*) trở thành 0x = (Vơ lý) phương trình cho vơ nghiệm x= , phương trình cho có nghiệm Để phương trình cho vơ nghiệm Vậy với Câu 6: m =3 m= , (2,0 điểm) Cho 4m - m- 4m