Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN TRIỆU PHONG NĂM HỌC 2019-2020 Câu 1: (4,0 điểm) 1) Cho A = n4 − 10n2 + Với số nguyên n lẻ , chứng minh 2) Tìm số nguyên Câu 2: a,b thỏa mãn: A chia hết cho − a+ b a− b 384 + 18 = (4,0 điểm) B= ( Cho biểu thức x+ y ) x− y x x−y y ÷ − x− y ÷ x x + y y x − y a) Rút gọn B b) So sánh Câu 3: B B (6,0 điểm) 1) Biết x2 + y2 = x + y Tìm giá trị lớn nhỏ 2) C = x− y Cho biểu thức D = − 10 − − + 10 − + + + 14 − ÷ Chứng minh 3) Cho x, y , z D nghiệm phương trình D − 14D + 44 = ba số dương Chứng minh rằng: 1 1 1 + + ≤ + + ÷ x2 + yz y2 + zx z2 + xy xy yz zx Câu 4: (4,0 điểm) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Cho hình vng điểm cạnh góc với ABCD AB Điểm H DI thuộc cạnh cho trung AH vuông DI 1) Chứng minh 2) Tính diện tích Câu 5: I có độ dài cạnh a Gọi ∆CHD ∆CHD cân (2,0 điểm) Xác định cách từ M M nằm tam giác ABC cho tích khoảng đến cạnh tam giác đạt giá trị lớn ……………….HẾT…………… LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN TRIỆU PHONG - NĂM HỌC 2019 - 2020 (4,0 điểm) 1) Cho A = n4 − 10n2 + Với số nguyên n lẻ , chứng minh A 2) Tìm số nguyên a,b thỏa mãn: chia hết cho − a+ b a− b 384 + 18 = Lời giải 1) Ta có A = n4 − 10n2 + = n4 − n2 − 9n2 + = n2(n2 − 1) − 9(n2 − 9) ( )( ) = n2 − n2 − = ( n − 1) ( n + 1) ( n − 3) ( n + 3) Theo giả thiết n số nguyên lẻ , nên đặt: n = 2k + 1(k∈ N ) , ta viết lại: A = ( 2k + 2) 2k.( 2k + 4) ( 2k − 2) = 16(k + 1).k(k + 2).(k − 1) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com (k + 1), k ,(k + 2),(k − 1) Ta nhận thấy rằng: 2.3.4 = 24 nên chia hết cho ⇒ A M(16.24) = 384 Với số nguyên n lẻ a∈ Z , b∈ Z , a2 + b2 ≠ 2) ĐK: − a+ b a− b Ta có: ( , a≠ b + 18 = , với ) ( a− b − a+ b ⇔ a2 − 2b2 ( )( ( ) ) + 18 = ⇔ a− 9b = 3− 18 a2 − 2b2 ) ( ⇔ a− 9b = 3a2 − 6b2 − 18 a2 − 2b2 ( ) ⇔ 18a2 − 36b2 − 9b Nếu ) = 3a2 − 6b2 − a 18a2 − 36b2 − 9b ≠ ⇒ 2= 3a2 − 6b2 − a 18a2 − 36b2 − 9b 3a2 − 6b2 − a Vì ⇒ a,b nguyên nên Vơ lý số ngun liên tiếp 18a2 − 36b2 − 9b ∈ Q ⇒ 2∈ Q số vơ tỉ Vì ta có: 18a2 − 36b2 − 9b = 3a2 − 6b2 = b a = b 18a − 36b − 9b = ⇒ ⇔ ⇔ 2 2 3a − 6b − a = 3a − 6b = a 3a − 6b2 = a 2 a= thay Liên hệ tài 039.373.2038 3b liệu vào word 3a2 −6b2 − a = mơn tốn: , ta có: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 3 b2 − 6b2 − b = ⇔ 27b2 − 24b2 − 6b = ⇔ 3b( b− 2) = b = (loai) ⇔ b = (thoa man) b = ⇒ a = (thoa man) Khi a= , b= Vậy Câu 2: thỏa mãn điều kiện toán (4,0 điểm) ( B= x+ y ) x− y x x−y y ÷ − x− y ÷ x x + y y x − y Cho biểu thức a) Rút gọn B B b) So sánh B Lời giải x , y > 0, x ≠ y a) Ta có : B= ( ( ) x + y x − xy + y x+ y B= B= B= )( ) ( x− y )( x+ y x− y ) −( ( )( )( ) x − y x + xy + y ÷ x− y x+ y ÷ ÷ ) x + xy + y ÷ x + y − x − xy + y x+ y ÷ x+ y x+ y x − xy + y x+ y x − xy + y Liên hệ tài 039.373.2038 liệu x + xy + y − x − xy − y x+ y xy x+ y word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com xy B= x − xy + y x , y > 0⇒ xy > b) Vì B> Nên Lại có: ⇒ ⇒ ( với x− y x + y − xy xy x + y − xy ) x, y thỏa mãn điều kiện cho ≥ ⇔ x + y − xy ≥ xy ≤ xy xy ≤ y 3y ÷ + x − xy + y = x − > ,∀x, y > ÷ xy =1 Dấu “ = “ khơng xảy Vậy < B< , nên x≠ y B>B Câu 3: (6,0 điểm) 1) Biết x2 + y2 = x + y Tìm giá trị lớn nhỏ 2) C = x− y Cho biểu thức D = − 10 − − + 10 − + + + 14 − ÷ Chứng minh 3) Cho x, y , z D nghiệm phương trình D − 14D + 44 = ba số dương Chứng minh rằng: 1 1 1 + + ≤ + + ÷ x + yz y + zx z + xy xy yz zx Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Lời giải 1) Ta có: C = x − y = x + y − 2y = x2 + y2 − 2y = x2 + ( y − 1) − 1≥ −1 x= , y=1 Dấu “ = “ xảy C = −1⇔ x = 0; y = −1 Vậy giá trị nhỏ Lại có: C = x − y = 2x − (x + y) ( ) = − ( x − 2x + 1) − y = 2x − x2 + y2 2 +1 = − ( x − 1) − y2 + 1≤ x = 1, y = Dấu “ = “ xảy Vậy giá trị lớn 2) Ta có: C = ⇔ x = 1; y = D = − 10 − − 4+ 10 − + + + 14− ÷ D = − 10 − − + 10 − + + + 28 − 10 D = − 10 − − 4+ 10 − + + 1+ 5− D − = − 10 − − + 10− , với ( D − 6< 0) ⇔ ( D − 6) = 8− 16 − 10 + ( ⇔ ( D − 6) = − 2 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word ) + = 6− môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ⇔ ( D − 6) = ( ) 5− ⇒ D − = 1− hay D = − Ta có: ( D − 14D + 44 = ) ( ) ⇔ − − 14 − + 44 = ⇔ 54− 14 − 98 + 14 + 44 = Vậy toán chứng minh x2 + yz ≥ 2x yz ⇒ 3) Ta có: x + yz ≤ 2x yz Tương tự, ta có: y2 + zx ≤ = yz 2xyz 2y zx = zx 2xyz ; z2 + xy ≤ 2z xy = xy 2xyz y+ z y+ z y+ z yz ≤ ⇒ ≤ = 2xyz 2xyz 4xyz yz Mà: Tương tự, ta có: zx z + x ≤ 2xyz 4xyz xy ; 2xyz ≤ x+ y 4xyz Từ suy ra: y+ z z + x x+ y 1 1 + + ≤ + + = ( 2x + 2y + 2z) x + yz y + zx z + xy 4xyz 4xyz 4xyz 4xyz = Dấu “ = “ xảy 1 1 + ÷ (dpcm) + xy yz zx ⇔ x= y= z Câu :(4,0 điểm) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ABCD Cho hình vng điểm cạnh góc với AB có độ dài cạnh a Gọi Điểm H thuộc cạnh DI I cho trung AH vng DI ∆CHD 1) Chứng minh 2) Tính diện tích ∆CHD cân Lời giải 1) Gọi Xét K trung điểm AD ; E giao điểm ∆ADI ∆DCK · · CDK = DAI = 900 ( gt ) Suy ra: DI có: ; CD = AD (gt) ; AB CD AI = DK = = ÷ ∆ADI = ∆DCK (c.g.c) · · ⇒ ADI = DCK Suy ra: CK ; mà · · DCK + DKC = 900 · · ADI + DKC = 900 ⇒ KC ⊥ DI (1) - Lại có: HK cạnh huyền đường trung tuyến ứng với AD ⇒ HK = KD (2) Từ (1) va (2) suy : KC đường trung trực DH ⇒ CH = CD ⇒ ∆CHD Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word cân mơn C tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 2) Áp dụng định lý Pytago tam giác vuông DI = : ADI , ta tính a Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông AH ta có: DH DI = AD ⇒ DH = ADI , đường cao AD a2 2a = = DI a 5 AI AD a2 a a AH DI = AI AD ⇒ AH = = : = DI 2 Mà EK đường trung bình ∆AHD a AH = 2 ⇒ EK = Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng DE DKC , đường cao ta có: KE.CK = KD ⇒ CK = KD a2 a a = : = KE CE = CK − KE = Suy ra: Diện tích ∆CHD là: a a 2a − = 2 5 1 2a 2a 2a2 SCHD = CE.DH = = 2 5 (đvdt) Câu 5: (2,0 điểm) Xác định cách từ M M nằm tam giác ABC cho tích khoảng đến cạnh tam giác đạt giá trị lớn Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com AB = c , BC = a , AC = b Đặt Gọi D ,E ,F đặt hình chiếu M cạnh MD , ME , MF x,y,z SABC = SMAB + SMBC + SMAC = Ta có: ⇒ SABC ≥ BC , AC , AB xa+ yb+ zc 33 xaybzc ≥ 2 2S 8S3ABC 33 abc.3 xyz ⇒ xyz ≤ ABC ⇔ xyz ≤ 27abc 33 abc (ln số khơng đổi) Vậy tích khoảng cách từ M đến cạnh ∆ABC đạt GTLN 8S3ABC 27abc Dấu “ = “ xảy Hay : Liên hệ tài 039.373.2038 M ⇔ xa = by = cz ⇔ SMAB = SMBC = SMAC trọng tâm liệu word mơn ∆ABC tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ...Website:tailieumontoan.com Cho h? ?nh vng điểm cạnh góc với ABCD AB Điểm H DI thuộc cạnh cho trung AH vng DI 1) Chứng minh 2) Tính diện tích Câu 5: I có độ dài cạnh a Gọi ∆CHD ∆CHD cân (2,0 điểm) Xác định cách từ M... nằm tam giác ABC cho tích khoảng đến cạnh tam giác đạt giá trị lớn ……………… .H? ??T…………… LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN H? ??C SINH GIỎI HUYỆN TRIỆU PHONG - NĂM H? ??C 201 9 - 202 0 (4,0 điểm) 1) Cho A = n4 − 10n2 +... điểm) Liên h? ?? tài 039.373 .203 8 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN H? ??C Website:tailieumontoan.com ABCD Cho h? ?nh vng điểm cạnh góc với AB có độ dài cạnh a Gọi Điểm H thuộc cạnh DI I cho trung AH vuông