42 hsg h 20 trieu phong

Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN TRIỆU PHONG NĂM HỌC 2019-2020 Câu 1: (4,0 điểm) 1) Cho A n  10n  Với số nguyên n lẻ , chứng minh A chia hết cho 384 2) Tìm số nguyên a , b thỏa mãn: a  b Câu 2:  a b  18 3 (4,0 điểm)  B x y   x y x x y y     x y x x  y y  x  y  Cho biểu thức a) Rút gọn B b) So sánh B Câu 3: B (6,0 điểm) 2 1) Biết x  y x  y Tìm giá trị lớn nhỏ C x  y 2) D  4 10   Cho biểu thức  10      14     Chứng minh D nghiệm phương trình D  14 D  44 0 3) Cho x , y , z ba số dương Chứng minh rằng: 1 1 1         x  yz y  zx z  xy  xy yz zx  Câu 4: (4,0 điểm) Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh a Gọi I trung điểm cạnh AB Điểm H thuộc cạnh DI cho AH vng góc với DI 1) Chứng minh CHD cân 2) Tính diện tích CHD Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Câu 5: (2,0 điểm) Xác định M nằm tam giác ABC cho tích khoảng cách từ M đến cạnh tam giác đạt giá trị lớn ……………….HẾT…………… LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN TRIỆU PHONG - NĂM HỌC 2019 - 2020 Câu 1: (4,0 điểm) 1) Cho A n  10n  Với số nguyên n lẻ , chứng minh A chia hết cho 384 2) Tìm số nguyên a , b thỏa mãn: a  b  a b  18 3 Lời giải 4 2 2 1) Ta có A n  10n  n  n  9n  n (n  1)  9(n  9)     n2  n2   n  1  n  1  n    n   Theo giả thiết n số nguyên lẻ , nên đặt: n 2 k  1( k  N ) , ta viết lại: A  k   k  k    k   16( k  1).k( k  2).( k  1) Ta nhận thấy rằng: ( k  1) , k ,( k  2) ,( k  1) số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2.3.4 24  A(16.24) 384 Với số nguyên n lẻ 2 2) ĐK: a  Z , b  Z , a  b 0 , a b Ta có: a  b   a b  18 3   a b  ab  a  2b    18  3  a  9b   18 a  2b Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: , với  TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com     a  9b  3a2  6b  18 a  2b   18 a  36b2  9b   3 a2  6b2  a 2 Nếu 18a  36b  9b 0  2 3a  6b  a 18a  36b2  9b 3a  b  a 2 Vì a , b nguyên nên 18a  36b  9b  Vơ lý Q  Q số vơ tỉ Vì ta có: 18 a  36b2  9b 0 18 a  36b  9b 0    a  b  a   2 thay a   a  6b  b   2 3a  6b a   a  b  3a  6b a  3b vào 3a  6b2  a 0 , ta có: 3 b2  6b2  b 0  27 b  24b  6b 0  3b  b   0 b 0 (loai)  b 2 (thoa man) Khi b 2  a 3 (thoa man) Vậy a 3 , b 2 thỏa mãn điều kiện toán Câu 2: (4,0 điểm) B  Cho biểu thức x y   x y x x y y     x y x x  y y  x  y  a) Rút gọn B b) So sánh B B Lời giải a) x , y  , x y Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Ta có : B   x y x y  x  B B B    xy  y    x y   x y x y  x  x y  x  xy  y   y  x  y     x  xy  y    x  y  xy  y  x  y  x y x x y x xy  y x y x xy  y B x  xy  y  x  xy  y x y xy x y xy x xy  y b) Vì x ,y  0 x xy   y  3y   xy  y  x   , x , y      Nên B  với x , y thỏa mãn điều kiện cho  Lại có:   x y xy xy xy  xy xy   0  x  y  xy  xy xy xy xy 1 Dấu “ = “ không xảy x  y Vậy  B  , nên B B Câu 3: (6,0 điểm) 2 1) Biết x  y x  y Tìm giá trị lớn nhỏ C x  y Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 2) D  4 10   Cho biểu thức  10      14     Chứng minh D nghiệm phương trình D  14 D  44 0 3) Cho x , y , z ba số dương Chứng minh rằng: 1 1 1         x  yz y  zx z  xy  xy yz zx  Lời giải 1) Ta có: C x  y x  y  y x  y  y x   y  1   Dấu “ = “ xảy x 0 , y 1 Vậy giá trị nhỏ C   x 0 ; y  Lại có: C x  y 2 x  ( x  y)     x  x  1  y 2 x  x  y 2 1   x  1  y  1 Dấu “ = “ xảy x 1, y 0 Vậy giá trị lớn C 1  x 1; y 0 2) Ta có: D  4 10    10      14     D   10    10     28  10 D  4  10      10   D    10   Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn  10  , với  D    tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com   D   8  16  10    D   8  2    D  6   D  1   5   6   hay D 7  Ta có: D  14 D  44 0   7    14    44 0  54  14  98  14  44 0 Vậy toán chứng minh x  yz 2 x yz  3) Ta có: x  yz  x yz   Tương tự, ta có: y  zx y zx Mà: yz xyz  zx xyz ; z  xy  z xy  xy xyz yz yz yz yz yz     2 xyz xyz xyz zx z  x  Tương tự, ta có: xyz xyz xy ; xyz  xy xyz Từ suy ra: yz zx xy 1 1        2x  y  2z  x  yz y  zx z  xy xyz xyz xyz xyz 1 1       ( dpcm)  xy yz zx  Dấu “ = “ xảy  x y z Câu :(4,0 điểm) Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh a Gọi I trung điểm cạnh AB Điểm H thuộc cạnh DI cho AH vng góc với DI Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 1) Chứng minh CHD cân 2) Tính diện tích CHD Lời giải 1) Gọi K trung điểm AD ; E giao điểm CK DI Xét ADI DCK có:  AB CD  AI DK     CDK DAI  90 ( gt ) ; CD AD ( gt ) ;   Suy ra: ADI DCK (c g.c)    ADI DCK ; mà   DCK  DKC 900   Suy ra: ADI  DKC 90  KC  DI (1) - Lại có: HK đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AD  HK KD (2) Từ (1) va (2) suy : KC đường trung trực DH  CH CD  CHD cân C 2) Áp dụng định lý Pytago tam giác vng ADI , ta tính : DI  a Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ADI , đường cao AH ta có: AD a2 2a DH DI  AD  DH    DI a 5 2 AH.DI  AI AD  AH  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word AI AD a a a  :  DI 2 mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a  EK  AH  2 Mà EK đường trung bình AHD Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông DKC , đường cao DE ta có: KE.CK KD  CK  Suy ra: KD a a a  :  KE CE CK  KE  a a 2a   2 5 1 2a 2a 2a2 SCHD  CE.DH   2 (đvdt) 5  CHD Diện tích là: Câu 5: (2,0 điểm) Xác định M nằm tam giác ABC cho tích khoảng cách từ M đến cạnh tam giác đạt giá trị lớn Lời giải Đặt AB c , BC a , AC b Gọi D , E , F hình chiếu M cạnh BC , AC , AB đặt MD , ME , MF x , y , z SABC SMAB  SMBC  SMAC  Ta có:  SABC  abc xyz  xa  yb  zc 3 xa.yb.zc  2 8S3 ABC xyz   xyz  27 abc 3 abc 2SABC (luôn số không đổi) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Vậy tích khoảng cách từ M đến cạnh ABC đạt GTLN 8S ABC 27 abc Dấu “ = “ xảy  xa by cz  SMAB SMBC SMAC Hay : M trọng tâm ABC Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC