Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN CHƯ SÊ - NĂM HỌC 2019 – 2020 Câu 1: (6,0 điểm) M = + + 48 - 10 + a) Rút gọn biểu thức: 6× b) Giải phương trình: x - x +1 - (x + 1) × =5 x +1 x +1 Câu 2: (3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng ( d) có phương trình (m - 4)x + (m - 3)y = m m ( tham số) Tìm để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng ( d) lớn Câu 3: (3,0 điểm) Cho hình vuông · BPC = 135° ABCD Chứng minh rằng: P nằm tam giác ABC cho 2PB + PC = PA AB = 2R M đường kính điểm di động AB CM ^ AB M C O D E đoạn thẳng , kẻ ( thuộc nửa đường tròn tâm ) Gọi Q M CA CB P hình chiếu vng góc Gọi trung điểm DEQP AM MB M Xác định vị trí điểm để diện tích tứ giác đạt giá trị lớn (3,0 điểm) x, y, z x + y + z + xy + yz + zx = a) Giả sử số thực thỏa mãn điều kiện: Câu 4: (5,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm Câu 5: điểm O x2 + y2 + z2 ³ Chứng minh rằng: b) Chứng minh số tự nhiên có chữ số chọn hai số mà viết liền ta số có chữ số chia hết cho - HẾT - Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN CHƯ SÊ - NĂM HỌC 2019 – 2020 Câu 1: (6,0 điểm) M = + + 48 - 10 + a) Rút gọn biểu thức: 6× b) Giải phương trình: x - x +1 - (x + 1) × =5 x +1 x +1 Lời giải ( ) M = + + 48 - 10 + = + + 48 - 10 + a) ( = + + 28 - 10 = + + 5 - ) = + 25 = = x >- b) Điều kiện: x2 - x + 1 x2 - x + 6× - (x + 1) × = Û 6× x +1 x +1 x +1 t= Đặt x2 - x + ( t > 0) x +1 6t - Phương trình trở thành: ét = ( n) ê Þ 6t2 - 5t - = Û ê - êt = (l) ê ë t = 1Þ x +1 =5 x - x +1 =5 t éx = ( n) ê êx = n ( ) ê ë x2 - x + x2 - x + = 1Û = Þ x2 - 2x = Û x +1 x +1 Với Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0;x = Câu 2: (3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng ( d) có phương trình (m - 4)x + (m - 3)y = m m ( tham số) Tìm để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng ( d) lớn Lời giải ( d) m Với giá trị đường thẳng khơng qua gốc tọa độ Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Với m=4 ( d) : y = , ta có đường thẳng Do khoảng cách từ gốc tọa độ đến ( d) đường thẳng m=3 x =- Với , ta có đường thẳng Do khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng Với ( d) m ¹ 4;m ¹ ổ ữ ỗ ữ ;0 ỗ ữ ỗ èm - ÷ ø , đường thẳng OA = suy cắt trục m- Oy;Ox ;OB = m- Kẻ đường cao 2 1 = + = ( m - 3) + ( m - 4) = 2m2 - 14m + 25 2 OH OA OB æ2 49ử 1 ữ = 2ỗ + ỗm - 2.m + ữ ữ ữ 2 ỗ 4ø è Þ OH £ Û OH £ Từ (1), (2) (3) suy khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng ö ÷ ÷ ÷ 3÷ ø OH ^ AB ( H Ỵ AB ) Ta có ( d) ổ Aỗ 0; ỗ ỗ ố m- m= lớn Câu 3: (3,0 điểm) Cho hình vng · BPC = 135° ( d) ABCD Chứng minh rằng: điểm P nằm tam giác 2PB + PC = PA ABC cho Lời giải AB Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng khơng P P' D PBP ' chứa điểm , vẽ điểm cho vuông cân B Khi D AP 'B D CPB Xét có AB = BC (giả thiết); Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com · · ABP ' = CBP BP ' = BP Suy ; (theo cách vẽ) D AP 'B = D CPB · 'B = CPB · Þ AP Mà (cùng phụ với · ABP (cạnh – góc – cạnh) · · · · CPB + BPP ' = 180° Þ AP 'B + BPP ' = 180° · · · · Û AP 'P + BP 'P + BPP ' = 180° Û AP 'P = 90° Do D AP 'P vng P' Theo định lý Py-ta-go, ta có ( ) AP = AP '2+ P ' P = PC + BP '2+ BP = PC + 2BP Vậy AP = PC + 2BP (do VAP ¢B =VCPB ) AB = 2R M đường kính điểm di động AB CM ^ AB M C O D E đoạn thẳng , kẻ ( thuộc nửa đường tròn tâm ) Gọi Q M CA CB P hình chiếu vng góc Gọi trung điểm DEQP AM MB M Xác định vị trí điểm để diện tích tứ giác đạt giá trị lớn Lời giải ABC Tam giác nội tiếp đường tròn đường kính AB C MDCE nên vng Từ tứ giác DE = CM hình chữ nhật Do Câu 4: (5,0 điểm) Cho nửa đường trịn tâm SD DME = SMDCE Tam giác ADM O có (1) DP trung tuyến nên SDDPM = SDADM EQ D MEB Tương tự, trung tuyến nên Từ (1), (2) (3) ta có Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: (2) SD MEQ = SD MEB TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com SPDEQ = SD DPM + SD DME + SDMEQ = Mà 1 SD ABC = CM ×AB £ CO ×AB = ×R ×2R = R 2 2 SPDEQ £ Suy (khổng đổi) R Dấu “ = ” xảy M º O R SPDEQ Câu 5: 1 SMDCE + SD ADM + SDMEB ) = SDABC ( 2 M º O Vậy lớn (3,0 điểm) x, y, z x + y + z + xy + yz + zx = a) Giả sử số thực thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 + z2 ³ Chứng minh rằng: b) Chứng minh số tự nhiên có chữ số chọn hai số mà viết liền ta số có chữ số chia hết cho Lời giải 2 x + ³ 2x; y + ³ 2y; z + ³ 2z x2 + y2 + z2 ³ 2( xy + yz + zx) a) Ta có Cộng vế theo vế bất đẳng thức trên, ta x2 + y2 + z2 + ³ 2( x + y + z + xy + yz + zx) x + y + z + xy + yz + zx = Theo đề bài, ta có nên x2 + y2 + z2 + ³ 2.6 Û x2 + y2 + z2 ³ (điều phải chứng minh) b) Lấy số chia cho 7, ta nhận số dư nhận số sau: 0; 1; 2; 3; 4; 5; Theo ngun lý Di-rich-le có số có số dư ( ( ( Giả sử hai số ) ) ) abc def hai số chia cho có số dư abc = 7k + r def = 7m + r r Suy Khi abcdef = 1000abc + def = 1000( 7k + r ) + 7m + r = 7( 1000k + m) + 1001r M7 Vậy ta có điều phải chứng minh Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC ...Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN H? ??C SINH GIỎI HUYỆN CHƯ SÊ - NĂM H? ??C 201 9 – 202 0 Câu 1: (6,0 điểm) M = + + 48 - 10 + a) Rút gọn biểu thức: 6× b) Giải phương trình: x - x +1 - (x + 1) × =5... số thực thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 + z2 ³ Chứng minh rằng: b) Chứng minh số tự nhiên có chữ số chọn hai số mà viết liền ta số có chữ số chia h? ??t cho Lời giải 2 x + ³ 2x; y + ³ 2y; z + ³ 2z x2... Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0;x = Câu 2: (3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng ( d) có phương trình (m - 4)x + (m - 3)y = m m ( tham số) Tìm để khoảng cách từ gốc tọa