Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN CHƯ SÊ - NĂM HỌC 2019 – 2020 Câu 1: (6,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức: M = + + 48 - 10 + 6× b) Giải phương trình: Câu 2: x2 - x + 1 - (x + 1) × =5 x +1 x +1 ( d) có phương trình (3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng (m - 4)x + (m - 3)y = ( m tham số) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng ( d) lớn Câu 3: (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD điểm P nằm tam giác ABC cho 2 · BPC = 135° Chứng minh rằng: 2PB + PC = PA Câu 4: (5,0 điểm) Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R M điểm di động đoạn thẳng AB , kẻ CM ^ AB M (C thuộc nửa đường tròn tâm O ) Gọi D E hình chiếu vng góc M CA CB Gọi P Q trung điểm AM MB Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác DEQP đạt giá trị lớn Câu 5: (3,0 điểm) a) Giả sử x, y, z số thực thỏa mãn điều kiện: x + y + z + xy + yz + zx = 2 Chứng minh rằng: x + y + z ³ b) Chứng minh số tự nhiên có chữ số chọn hai số mà viết liền ta số có chữ số chia hết cho - HẾT - Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN CHƯ SÊ - NĂM HỌC 2019 – 2020 Câu 1: (6,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức: M = + + 48 - 10 + 6× b) Giải phương trình: x2 - x + 1 - (x + 1) × =5 x +1 x +1 Lời giải ( ) M = + + 48 - 10 + = + + 48 - 10 + a) ( = + + 28 - 10 = + + 5 - ) = + 25 = = b) Điều kiện: x > - x2 - x + 1 x2 - x + 6× - (x + 1) × = Û 6× x +1 x +1 x +1 x +1 =5 x - x +1 x2 - x + 1 t= t > 0) ( 6t - = x +1 t Đặt Phương trình trở thành: ét = ( n) ê Þ 6t - 5t - = Û ê - êt = (l) ê ë t = 1Þ Với x2 - x + x2 - x + = 1Û = Þ x2 - 2x = Û x +1 x +1 éx = ( n) ê êx = n ( ) ê ë Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0;x = Câu 2: ( d) có phương trình (3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng (m - 4)x + (m - 3)y = ( m tham số) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng ( d) lớn Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ( d) không qua gốc tọa độ Với giá trị m đường thẳng Với m = , ta có đường thẳng đường thẳng ( d) ( d) : y = Do khoảng cách từ gốc tọa độ đến (1) Với m = , ta có đường thẳng x = - Do khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng ( d) (2) æ Aỗ ỗ0; d) ỗ m( m 4; m Oy ; Ox Với đường thẳng cắt trc ln lt ti ố ổ ữ ỗ ữ ;0 ỗ ữ ỗ ữ ốm - ứ , OA = suy OH ^ AB ( H Î AB ) 1 ;OB = m- m- Kẻ ÷ ÷ ÷ 3÷ ø đường cao 2 1 = + = ( m - 3) + ( m - 4) = 2m2 - 14m + 25 2 OA OB Ta có OH ỉ2 1 49÷ ữ = 2ỗ m m + + ỗ ỗ ữ 4ữ ố ứ 2 ị OH £ Û OH £ (3) Từ (1), (2) (3) suy khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng Câu 3: m= ( d) lớn (3,0 điểm) Cho hình vng ABCD điểm P nằm tam giác ABC cho 2 · BPC = 135° Chứng minh rằng: 2PB + PC = PA Lời giải Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AB không chứa điểm P , vẽ điểm P ' cho D PBP ' vuông cân B Khi P' A B Xét D AP 'B D CPB có Liên hệ tài 039.373.2038 AB = BC (giả thiết); liệu word mơn P tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC D C Website:tailieumontoan.com · · · ABP ' = CBP (cùng phụ với ABP ; BP ' = BP (theo cách vẽ) Suy D AP 'B = D CPB (cạnh – góc – cạnh) · 'B = CPB · Þ AP · · · · Mà CPB + BPP ' = 180° Þ AP 'B + BPP ' = 180° · 'P + BP · 'P + BPP · · 'P = 90° Û AP ' = 180° Û AP Do D AP 'P vuông P ' Theo định lý Py-ta-go, ta có ( ) AP = AP '2+ P 'P = PC + BP '2+ BP = PC + 2BP ¢ (do VAP B =VCPB ) 2 Vậy AP = PC + 2BP Câu 4: (5,0 điểm) Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R M điểm di động đoạn thẳng AB , kẻ CM ^ AB M (C thuộc nửa đường trịn tâm O ) Gọi D E hình chiếu vng góc M CA CB Gọi P Q trung điểm AM MB Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác DEQP đạt giá trị lớn Lời giải C Tam giác ABC nội tiếp đường trịn đường kính AB nên vng C Từ tứ giác MDCE hình chữ nhật DE = CM Do SD DME = SMDCE E (1) D A P M O Q B SDDPM = SDADM Tam giác ADM có DP trung tuyến nên (2) SD MEQ = SD MEB Tương tự, EQ trung tuyến D MEB nên (3) Từ (1), (2) (3) ta có SPDEQ = SD DPM + SD DME + SD MEQ = 1 SMDCE + SDADM + SDMEB ) = SDABC ( 2 1 SD ABC = CM ×AB £ CO ×AB = ×R ×2R = R 2 2 Mà (khổng đổi) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Suy SPDEQ £ R Dấu “ = ” xảy M º O Vậy Câu 5: SPDEQ R lớn M º O (3,0 điểm) a) Giả sử x, y, z số thực thỏa mãn điều kiện: x + y + z + xy + yz + zx = 2 Chứng minh rằng: x + y + z ³ b) Chứng minh số tự nhiên có chữ số chọn hai số mà viết liền ta số có chữ số chia hết cho Lời giải a) Ta có x2 + ³ 2x; y2 + ³ 2y; z2 + ³ 2z ( ) x2 + y2 + z2 ³ 2( xy + yz + zx) Cộng vế theo vế bất đẳng thức trên, ta ( ) x2 + y2 + z2 + ³ 2( x + y + z + xy + yz + zx) Theo đề bài, ta có x + y + z + xy + yz + zx = nên ( ) x2 + y2 + z2 + ³ 2.6 Û x2 + y2 + z2 ³ (điều phải chứng minh) b) Lấy số chia cho 7, ta nhận số dư nhận số sau: 0; 1; 2; 3; 4; 5; Theo ngun lý Di-rich-le có số có số dư Giả sử hai số abc def hai số chia cho có số dư r Suy abc = 7k + r def = 7m + r Khi abcdef = 1000abc + def = 1000( 7k + r ) + 7m + r = 7( 1000k + m) + 1001r M7 Vậy ta có điều phải chứng minh Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC