Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN HUYỆN NAM ĐÀN - NĂM 2020 Bài (4,0 điểm) Tính giá trị biểu thức: a) A 13 13 x y x2 x2 y2 xy x x y x y y2 y x y B b) Bài (5,0 điểm) (Điều kiện: x y ) a) Tìm số tự nhiên n cho số 2n 2017 n 2019 số phương 2 b) Giải phương trình: x 3x x 3x 33 c) Chứng minh rằng: A n 3n n chia hết cho 48 với n số tự nhiên lẻ Bài (3,0 điểm) 1 a) Cho a , b số dương thoả mãn: a b 2019 Chứng minh: a b a 2019 b 2019 b) Cho a , b , c số dương thoả mãn: a b c 2 2 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M a ab b b bc c c ca a Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc nhọn Các đường cao AD , BE , CF cắt H a) Chứng minh AEF # DBF AH k · · HD b) Tính: tan ABC.tan ACB theo k Biết S AEF S DBF S DEC BH CH c) Chứng minh: AH Bài (2,0 điểm) o Tính tan 36 (khơng sử dụng bảng số máy tính) -HẾT - LỜI GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN HUYỆN NAM ĐÀN - NĂM 2020 Bài (4,0 điểm) Tính giá trị biểu thức: a) A 13 13 x y x2 x2 y2 xy x x y B b) x y y2 y x y (Điều kiện: x y ) Lời giải a) A 13 13 A 14 13 14 13 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 2A 13 13 A 13 13 A b) Vì x y nên xy x y Khi đó: x y x2 x2 y2 xy x x y B x y y2 y x y xy y x x y x y xy x x y y x y 1 1 Bài (5,0 điểm) a) Tìm số tự nhiên n cho số 2n 2017 n 2019 số phương 2 b) Giải phương trình: x 3x x 3x 33 c) Chứng minh rằng: A n 3n n chia hết cho 48 với n số tự nhiên lẻ Lời giải a) Cách 1: Với 2n 2017 n 2019 số phương 2 2n 2017 a 2n 2017 a n 2019 b2 2n 4038 2b 2b2 a 2021 Đặt 2b a 2b a 2021 Ta xét trường hợp: 45 2b a 43 b 2013 n b a 47 a (loại) + TH1: 45 2b a 47 b 2013 n 2b a 43 a 2 (loại) + TH2: 1011 2b a 2021 b 1018083 n 2b a a 1010 + TH3: (loại) 1011 b 2b a 1018083 n b a 2021 a 1011 + TH4: (loại) Vậy không tồn số tự nhiên n thoả mãn yêu cầu toán 2n 2017 a n 2019 b2 2b a 2021 Cách 2: Đặt (với a, b ¥ ) Ta có a 2n 2017 a số lẻ Đặt a 2k ( k ¥ ) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 2b2 2k 1 2021 b2 2k k 1 1011 Suy Ta thấy vế trái 1 1 số phương nên chia cho dư dư 1, vế phải 1 chia cho dư Do khơng tồn số tự nhiên n thoả mãn yêu cầu toán b) Ta thấy: x 3x 0, x 2 2 Phương trình x 3x x 3x 33 x 3x x 3x 42 t t 0 Phương trình trở thành: t t 42 t 7 , chọn t Đặt t x x 2 x 9 x Với t x 3x 36 9 S 3; Vậy phương trình cho có tập nghiệm là: n n 3 n 3 n 1 n 1 n 3 A n n n c) Ta có n 1 n 1 n 3 tích số chẵn liên tiếp nên AM8 , AM3 ; AM2 Với n số tự nhiên lẻ Suy AM48 Bài (3,0 điểm) 1 a) Cho a , b số dương thoả mãn: a b 2019 Chứng minh: a b a 2019 b 2019 b) Cho a , b , c số dương thoả mãn: a b c 2 2 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M a ab b b bc c c ca a Lời giải a) Điều kiện: a 2019 , b 2019 1 ab 2019 ab Ta có: a b 2019 Khi đó: a 2019 b 2019 a ab ab b ab ab a b ab ab ab a b ab b) Ta có: Liên hệ tài 039.373.2038 a ab b2 a b liệu mơn word tốn: 1 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com b2 bc c b c 2 c ca a c a 3 Cộng vế theo vế 1 , , 3 ta được: M a b c 3 Dấu “ ” xảy a b c Vậy GTNN M 3 đạt a b c Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc nhọn Các đường cao AD , BE , CF cắt H a) Chứng minh AEF # DBF · · b) Tính: tan ABC.tan ACB theo k Biết k AH HD S AEF S DBF S DEC BH CH c) Chứng minh: AH Lời giải AE a) Xét AEF ABC có: µA chung; AB AF AC ( cosA ) Suy AEF # ABC (c.g.c) Tương tự có: DBF # ABC (c.g.c) Do đó: AEF # DBF (đpcm) · · · b) Ta có: ACB BHD (cùng phụ với HBD ) BD · · tan ACB tanBHD HD (vì BHD vng D ); Suy ra: AD BD (vì ABD vng D ) AD BD AD · · Khi đó: tan ABC.tan ACB BD HD HD · tan ABC Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: 1 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Mặt khác: Từ 1 k AH AH HD AD k 1 k 1 HD HD hay HD 2 · · suy ra: tan ABC.tan ACB k c) Ta có: AEH # BDH (g.g) 2 AH AE AH AE BH BD BH BD BH FB CE Tương tự: CH AEF # DBF Theo câu a) ta có: S AEF AE AH SDBF BD BH DBF # DCE Chứng minh tương tự câu a) ta được: S DBF BF BH S DCE CE CH S AEF AH S DBF BH S AEF S DBF SDEC 2 S BH S CH AH BH CH (đpcm) Do đó: DBF ; DCE Bài (2,0 điểm) o Tính tan 36 (khơng sử dụng bảng số máy tính) Lời giải o µ o µ µ Vẽ ABC cân A , có BC ; A 36 ; B C 72 Vẽ phân giác CD góc C ADC cân D DCB cân C DA DC BC Kẻ DE AC E Đặt AE x EC x; AC AB x; BD x Mặt khác CD phân giác góc C DA AC 2x DB CB hay x 1 4x 2x 2x 2 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn * tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Nghiệm dương phương trình Mà sin 36 cos 36 o tan36o Suy Liên hệ tài 039.373.2038 liệu o * là: sin 36o x 1 x 1 cos 36o x Ta có: AD 10 10 sin 36o 16 10 10 : 4 1 word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ... 2n 201 7 n 201 9 số phương 2 b) Giải phương trình: x 3x x 3x 33 c) Chứng minh rằng: A n 3n n chia h? ??t cho 48 với n số tự nhiên lẻ Lời giải a) Cách 1: Với 2n 201 7 n 201 9... TỐN H? ??C Website:tailieumontoan.com Mặt khác: Từ 1 k AH AH HD AD k 1 k 1 HD HD hay HD 2 · · suy ra: tan ABC.tan ACB k c) Ta có: AEH # BDH (g.g) 2 AH AE AH AE BH... BHD (cùng phụ với HBD ) BD · · tan ACB tanBHD HD (vì BHD vng D ); Suy ra: AD BD (vì ABD vuông D ) AD BD AD · · Khi đó: tan ABC.tan ACB BD HD HD · tan ABC Liên h? ?? tài 039. 373 .203 8