Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN HUYỆN ĐỨC CƠ - NĂM 2019 Câu 1: (4,0 điểm) A Rút gọn biểu thức: x y x 2 y x y x 2 y x y yx với x, y 0, x y 2x x x3 x x A ; B x x 2 Cho Tìm x cho A B Câu 2: (4,0 điểm) Tìm x, y biết x y xy * Tìm n để n chia hết cho n với n Câu 3: Câu 4: (4,0 điểm) Giải phương trình x2 x x 1 x3 x x 1 x 1 (2,0 điểm) bc ac ab a b c a , b , c c Cho độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh a b Đẳng thức xảy nào? Câu 5: (6,0 điểm) · Cho góc vng xOy Trên cạnh Ox lấy điểm A cho OA cm , tia đối tia Ox lấy điểm B cho OB cm Đường trung trực AB cắt AB H , M điểm nằm đường trung trực Các tia AM , MB cắt Oy C D Gọi E trung điểm AC , F trung điểm BD Chứng minh OE OF = AE.BF Gọi I trung điểm EF Chứng minh điểm O, I , M thẳng hàng S Xác định vị trí điểm M OM EF Khi diện tích tứ giác OBME , S1 S2 S2 diện tích tứ giác ABFE Tính tỉ số S1.S2 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN ĐỨC CƠ - NĂM 2019 A Câu 1: Rút gọn biểu thức: x y x 2 y x y x 2 y x y yx với x, y 0, x y 2x x x3 x x A ; B x x 2 Cho Tìm x cho A B Lời giải x y x y x y x y A x y yx x y x y x y x y x y x y x xy x y x y + Ta có: x y A x y 2 x y x y x y x y x y 2x x x 2 xác định x 0; x 2x x x 2 B x y Vậy + Ta có: x y A A x y 2 x y x y x y y x y x y x y 2 x y 2 x y x y x y x y B 2 x 2 x 1 x 2 x 1 x3 x x x 2 xác định x x3 x x x 2 x x 1 x 2 x 1 x Ta có A B nên x x x x x 2 0 x 0 x x x Kết hợp với điều kiện suy x Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Vậy x A B Câu 2: Tìm x, y biết x y xy * Tìm n để n chia hết cho n với n Lời giải Ta có x y xy x y xy 12 x xy y 11 x 1 y 11 1.11 1 11 Ta có bảng sau: x 1 11 -1 -11 1 y 11 -11 -1 x -5 y -6 -1 Vậy cặp nghiệm Ta có x, y nguyên là: 1,5 ; 6, ; 0, ; 5, 1 n5 n5 n2 n2 n5 n n2 1 n2 n3 1 n2 1 3 Vì n chia hết cho n nên cần chứng minh n chia hết cho n Ta có: n n 1 n 1 n3 n 1 n n 1 Khi n chia hết cho n n * Vì n ¥ nên ta xét trường hợp sau: Nếu n n 1 chia hết cho n n suy n chia hết cho n n n n 1 Nếu n nên n khơng chia hết cho n n Vậy n n 1Mn Câu 3: Giải phương trình: x2 x x 1 x3 x x 1 x 1 Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Điều kiện x Ta có: x2 x x 3 x 3 2 x 3 0 x 3 x 3 2 0 x 3 0 x TMDK x x KTMDK Vậy x nghiệm phương trình ĐKXĐ: x x 1 x3 x x 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 1 x 1 1 x 1 x 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1 0 x 1 x 1 x x 1 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 1 1 2 1 x 1 1 x TMDK x 1 x 1 1 x3 x x (vô nghiệm x ) Vậy phương trình có nghiệm x Câu 4: bc ac ab a bc a , b , c c Cho độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh a b Đẳng thức xảy nào? Lời giải bc ac ab 0; 0; 0 b c Vì a, b, c nên a Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số không âm, ta có: bc ac bc ac 2 2c 1 a b + a b Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ac ab ac ab 2 2a c b c + b ab bc ab bc 2 2b 3 c a + c a bc ac ab a bc c Lấy (1) cộng (2) cộng (3) vế theo vế ta a b (ĐPCM) Câu 5: · Cho góc vng xOy Trên cạnh Ox lấy điểm A cho OA cm , tia đối tia Ox lấy điểm B cho OB cm Đường trung trực AB cắt AB H , M điểm nằm đường trung trực Các tia AM , MB cắt Oy C D Gọi E trung điểm AC , F trung điểm BD Chứng minh OE OF = AE.BF Gọi I trung điểm EF Chứng minh điểm O, I , M thẳng hàng S Xác định vị trí điểm M OM EF Khi diện tích tứ giác OBME , S1 S2 S2 diện tích tứ giác ABFE Tính tỉ số S1.S2 Lời giải + BOD có OF đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BD nên FO FB µ FOB · BFO cân F B (1) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com + EAO vng ? có OE đường trung tuyến ứng với cạnh huyền MA nên OE EA A ·AOE (2) EAO cân E µ µ µ + MAB có MA MB MAB cân M A B (3) Từ (1), (2) (3) suy BFO ∽ OEA (góc – góc) FO BF OE FO EA.BF EA OE · · Ta có: MAB FOB nên OF / / MA · · MBA EOA nên OE / / MB Suy tứ giác MEOF hình bình hành Suy đường chéo OM qua trung điểm I EF Vậy điểm O, I , M thẳng hàng OEMF hình bình hành có hai đường chéo OM EF nên OEMF hình chữ nhật · 450 BFO ∽ BMA mà MA MB AMB vuông cân M MAB Khi AHM vng cân H Mặt khác H trung điểm AB HM HA 3cm Vậy M nằm đường trung trực đoạn thẳng AB cách AB đoạn MH cm 2 MAH vng H , ta có: MA MH HA 18 MA 18 (cm) ả à + BFO BMA có M F ; A B; suy BFO ∽ BMA (g - g) nên FO BO MA FO MA AB 3 (cm) OE OA OE 2.FO 2 FO OB (cm) SOEMF OE.FO 2 4(cm ) SFEO : cm 1 S ABM MH AB 3.6 9(cm ) 2 Ta có: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Ta có BFO ∽ OEA theo tỉ số đồng dạng S BFO 1 cm ; S OEA cm k S BFO 1 k2 nên SOEA S1 SOBME S BFO SOEMF cm S S ABFE S BFO S FEO SOEA cm S1 S 12 S S 5.7 35 Vậy Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ... / MB Suy tứ giác MEOF h? ?nh bình h? ?nh Suy đường chéo OM qua trung điểm I EF Vậy điểm O, I , M thẳng h? ?ng OEMF h? ?nh bình h? ?nh có hai đường chéo OM EF nên OEMF h? ?nh chữ nhật · 450 BFO ∽ BMA... vuông cân M MAB Khi AHM vng cân H Mặt khác H trung điểm AB HM HA 3cm Vậy M nằm đường trung trực đoạn thẳng AB cách AB đoạn MH cm 2 MAH vng H , ta có: MA MH HA 18 MA ... chia h? ??t cho n Ta có: n n 1 n 1 n3 n 1 n n 1 Khi n chia h? ??t cho n n * Vì n ¥ nên ta xét trường h? ??p sau: Nếu n n 1 chia h? ??t cho n n suy n chia h? ??t