Website:tailieumontoan.com PHÒNG GD&ĐT HUYỆN MỸ ĐỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2019 - 2020 MƠN: TỐN Ngày thi: 03/10/2019 Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC x+2 x x −1 P = + + ÷ ÷: x x −1 x + x +1 − x Bài I (5,0 điểm) Cho biểu thức x ≥ 0; x ≠ a) Rút gọn P b) Tìm giá trị 2P c) So sánh Bài II (4,0 điểm) P P= x để ( x − 2019 ) Tìm x + 20 x + 25 + x + x + = 1) Giải phương trình: 2) với cặp số ( x; y ) nguyên thỏa mãn: = y − y + 11 y − y Bài III (4,0 điểm) Cho số 1) x, y , z thỏa mãn A= Tính giá trị biểu thức: 2) Cho ba số dương Tìm giá trị A= 2 x y z + + =0 y−z z−x x− y x ( y − z) + y ( z − x) + z ( x − y) x+ y+ z =6 x, y , z thỏa mãn nhỏ với x ≠ y; y ≠ z ; z ≠ x biểu thức: x y z + + x + y + 3z y + z + 3x z + x + y Bài IV (6,0 điểm) Cho H ∆ABC Gọi có ba góc nhọn, K trung điểm a) Chứng minh: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu µA = 60o word AE AB = AF AC môn EF = toán: Các đường cao AD, BE , CF cắt AH BC TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com · EKF = 120o b) Chứng minh: tính HD HE HF + + =1 AD BE CF c) Chứng minh: AH , biết d) Chứng minh: Bài V (1,0 điểm) Tìm tất số nguyên dương số hữu tỉ, đồng thời x +y +z cm AD.DH + BE.EH + CF FH ≤ BC = 12 AB + AC + BC ( x; y; z ) thỏa mãn x + y 2019 y + z 2019 là số nguyên tố -Hết - Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên học sinh:…………………………… Trường THCS:……………………………… HƯỚNG DẪN GIẢI Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Bài I (5,0 điểm) Cho biểu thức x+2 x x −1 P = + + ÷ ÷: x x − x + x + 1 − x x ≥ 0; x ≠ P a) Rút gọn b) Tìm giá trị 2P c) So sánh HD: P x P= để x+2 x x −1 P= + + = ÷: x x − x + x + 1 − x = = = x + + x ( x − 1) − ( x + x + 1) ( )( ) x −1 x + x +1 x − x +1 ( với )( ) x −1 x + x +1 : x+2 x + − x + x + x −1 ( ) ÷ x −1 : x −1÷ ÷ x −1 2 x −1 x + x +1 b) Với x P= ≥ 0, x ≠ Ta có: 2 ⇔ = ⇔ x + x +1= 7 x + x +1 ⇔ x + x − = ⇔ ( x − 2)( x + 3) = Vì x +3>0 Vậy P = c) Vì nên x −2=0 ⇔ x=4 (t/m) x = x ≥ ⇒ x + x +1≥1 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ≤2 x + x +1 ⇔0< P≤2 ⇔0< ⇔ P( P − 2) ≤ ⇔ P2 − 2P ≤ ⇔ P2 ≤ P Dấu “=” xảy P = Vậy P2 ≤ ⇔ x=0 2P Bài II (4,0 điểm) 1) Giải phương trình: x + 20 x + 25 + x + x + = ⇔ x + + x + = (*) 2) Tìm cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn: ( x − 2019 ) = y − y + 11y − y ( x − 2019 ) = y − y + y + y − y 2 ( x − 2019 ) = y ( y − 3) − y ( y − 3) + − 2 ( x − 2019 ) = y ( y − 3) − 1 − ( x − 2019 ) − y ( y − 3) − 1 = −1 ( x − 2019 − a + 1) ( x − 2019 + a − 1) = −1 2 (Voi y ( y − 3) = a ) x − 2019 − a + = −1 x = 2019 x − 2019 + a − = a = −2 ⇒ ⇒ x − 2019 − a + = x = 2019 x − 2019 + a − = −1 a = ⇒ ( x; y ) = { ( 2019;0 ) , ( 2019;1) , ( 2019; ) , ( 2019;3) } Bài III (4,0 điểm) 1) Cho số x, y , z x y z + + =0 y−z z−x x−y thỏa mãn A= Tính giá trị biểu thức: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn x ( y − z) tốn: + y ( z − x) + với x ≠ y; y ≠ z; z ≠ x z ( x − y) TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com x, y , z 2) Cho ba số dương thỏa mãn x+ y+ z =6 A= Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x y2 z2 + + x + y + z y + z + 3x z + x + y a b2 c ( a + b + c ) + + ≥ x y z x+ y+z Áp dụng bất đẳng thức 2 (*) ( x + y + z) =1 x2 y2 z2 A= + + ≥ x + y + 3z y + z + 3x z + x + y ( x + y + z ) Ta có: Bài V (1,0 điểm) Tìm tất số nguyên dương (x; y; z) thỏa mãn x +y +z hữu tỉ x + y 2019 y + z 2019 số số nguyên tố HD: Ta có: x + y 2019 m = ∈ Q (m, n ∈ Z , n ≠ 0) ⇒ nx + ny 2019 = my + mz 2019 y + z 2019 n ⇒ nx − my = 2019 ( mz − ny ) Vì x, y, z, m, n số nguyên nên Khi đó: nx − my = Theo đề mz − ny = x2 + y2 + z Suy ra: nx − my ∈ Z mz − ny ∈ Z m y x = = ⇒ y = xz n z y số nguyên tố hay x + y + z − y = x + xz + z − y = ( x + z ) − y = ( x − y + z ) ( x + y + z ) 2 2 2 số nguyên tố Khi đó: ( x + z) x − y + z =1 hay x + z = 1+ y Suy ra: = ( + y ) ⇔ x + z + y = y + y + ⇔ ( y − 1) + x + z − = 2 2 Vì x, y, z số nguyên dương nên Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: x = y = z =1 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ... EKF = 120o b) Chứng minh: tính HD HE HF + + =1 AD BE CF c) Chứng minh: AH , biết d) Chứng minh: Bài V (1,0 điểm) Tìm tất số nguyên dương số h? ??u tỉ, đồng thời x +y +z cm AD.DH + BE.EH + CF FH ≤... y; z ) thỏa mãn x + y 201 9 y + z 201 9 là số nguyên tố -H? ??t - Cán coi thi khơng giải thích thêm H? ?? tên h? ??c sinh:…………………………… Trường THCS:……………………………… H? ?ỚNG DẪN GIẢI Liên h? ?? tài 039.373 .203 8 liệu... dương (x; y; z) thỏa mãn x +y +z h? ??u tỉ x + y 201 9 y + z 201 9 số số nguyên tố HD: Ta có: x + y 201 9 m = ∈ Q (m, n ∈ Z , n ≠ 0) ⇒ nx + ny 201 9 = my + mz 201 9 y + z 201 9 n ⇒ nx − my = 201 9 ( mz − ny