075 đề hsg toán 8 mỹ đức 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO MỸ ĐỨC ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN 8 NĂM HỌC 2022 2023 Bài 1 (5,0 điểm) Cho biểu thức a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị n[.]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO MỸ ĐỨC ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN 8_NĂM HỌC 2022-2023  x2  x   2x2 A   1    x  8  4x  2x   x x2   Bài (5,0 điểm) Cho biểu thức a) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên c) Tìm x để A Bài (4,0 điểm) a) Giải phương trình : x  x    x  x    0  x 15 y 1  x; y  b) Tìm cặp số tự nhiên  thỏa mãn x   x  x  y 305 Bài (4,0 điểm) B a b 2019c   ab  a  2019 bc  b  ac  2019c  2019 (các mẫu số khác 0) a) Cho Tính giá trị B biết abc 2019 2 2 b) Cho a, b, c, d số thực dương thỏa mãn a  b  c  d 4 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : S 1 1    a b c b c d c d a d a b Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, AB < AC, đường cao AH Gọi M , N hình chiếu H cạnh AB AC a) Chứng minh AM AB  AN AC  AH b) Gọi K giao điểm MN BC Chứng minh KB.KC KH c) Gọi O trung điểm BC, I giao điểm MN AH Chứng minh OI vng góc với AK AH 40 AB  d) Giả sử OA 41 Tính tỉ số AC Bài (1,0 điểm) Cho hết cho 24  n  1  2n  1 số chia phương Chứng minh n chia ĐÁP ÁN  x2  x   x2 A   1    x  8  x  x   x x2   Bài (5,0 điểm) Cho biểu thức d) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức A  x2  x   2x2 A       x 0;    2x  8  4x  2x   x x  x   x   x  2  x2 x2  x  x    x  x  1  x     x2 x  x2  4  x  2  x2  4  x  2 2 ( x  x   x ).( x  1)  x   ( x  1) x     x( x  4) 2x x  x2  4 e) Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên A  Z   x  1 2 x   x  1 2 x  22 x  1x  x   1 x 1  A 1  Z (tm); x   A 0  Z (tm) Vậy để A nguyên 1 A f) Tìm x để x 1 x 3 A      x 3& x 2x 6x Để trái dấu x    x 3  x    3 x 0 x  Mà Vậy   x  Bài (4,0 điểm) x  x    x  x    0 c) Giải phương trình : Ta có : x  x    x  x    0   x  x   x  x    0   x  x    x  x   0   x  x 1 0   x  1 0  x  0  x   x 15 y 1  x; y  d) Tìm cặp số tự nhiên  thỏa mãn x   x  x  y 305 x Vì 305 số lẻ nên x  15 y  &  x  x  y số lẻ Lại có 4x+1 không chia hết cho với số tự nhiên x nên 15 y 2  y 2  x  x  x  x  1 2 x   x2  x  y  x Vì  y 2 khơng chia hết cho khơng chia hết cho x 0(tm) Khi pt đề trở thành :  15 y 1  y 1 305  1  15 y 1 U (305)  1; 305; 5; 61  15 y    1; 61  y   0; 4 (tm) y 0   1  1.1 305(ktm) y 4   1  61.5 305  y 4(tm) x; y   0;  Vậy  Bài (4,0 điểm) a b 2019c   ab  a  2019 bc  b  ac  2019c  2019 (các mẫu số khác 0) c) Cho Tính giá trị B biết abc 2019 Với abc 2019 , ta có : B a b 2019c   ab  a  2019 bc  b  ac  2019c  2019 a b abc.c    ab  a  abc bc  b  ac  abc.c  abc b bc    1 b   bc bc  b  1  bc  b 2 2 d) Cho a, b, c, d số thực dương thỏa mãn a  b  c  d 4 Tìm giá trị 1 1 S    a b c b c d c d a d a b nhỏ biểu thức : B  a  1 0 a  2a    b  1 0 b  2b   a  b2  c  d 4  a  b  c  d    c  1 0 c  2c  d  2d   d  1 0 Ta có : a  b  c  d 4   a  b  c  d  8  a  b  c  d 4 Mà Áp dụng bđt Svacso, ta : 1 1 16      a  b  c b  c  d c  d  a d  a  b 3 a  b  c  d  Dấu xảy a b c d 1  a b c d 1 Vậy Min S= S Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, AB < AC, đường cao AH Gọi M , N hình chiếu H cạnh AB AC K B 1 H M O I F A C N e) Chứng minh AM AB  AN AC  AH Xét AMH AHB có : BAH chung , HMA AHB 90  AMH ∽ AHB( g g )  AM AH   AM AB  AH  1 AH AB HNA ∽ CHA( g g )  AH AN   AN AC  AH   AC AH Tương tự Từ (1) (2) suy AM AB  AN AC  AH f) Gọi K giao điểm MN BC Chứng minh KB.KC KH Vì MB / / HN  M N1 mà N1 H1 (do I tâm hình chữ nhật MHNA nên IN=IH) Suy M H1 ma` H1 C (cùng phụ với H  M C Xét KMB KCN có : NKC chung ; KMB C  KMB ∽ KCN ( g g ) KM KB   KM KN KB.KC  3 KC KN Xét KMH & KHN : MKB chung , BHM N1 KM KH  KMH ∽ KHN ( g g )    KB.KC KH   KH KN (cùng phụ với H2)  Từ (3) (4) suy KB.KC KH g) Gọi O trung điểm BC, I giao điểm MN AH Chứng minh OI vng góc với AK Gọi F giao điểm KN AO C N1   Vì C H1 (cùng phụ với H ) , mà H1 N1 nên  AOC cân O nên C A2   Từ (5) (6) suy N1 A2 Mà N1  N 90  A2  N 90  AFN 90  KF  AO Xét KAO : KF  AO, AH  KO, I KF  AH  I trực tâm KAO  OI  AK AH 40 AB  h) Giả sử OA 41 Tính tỉ số AC AH 40  AH 40a, OA 41a  a   Vì OA 41 nên đặt Theo định lý Pytago ta có : 2 2 2 OH OA  AH  41a    40a  81a  OH 9a  BH 41a  9a 32a OA OB OC  OB OC 4a   CH 41a  9a 50a Mà Áp dụng Pyatgo vào tam giác AHB, AHC vuông H,ta :  AB  AH  BH  40a    32a  2624a  AB 8 41a    2 2  AC 10 41a  AC  AH  CH  40a    50a  4100a AB 41a   AC 10 41a AB AH 40   OA 41 Vậy AC  Bài (1,0 điểm) Cho chia hết cho 24  n 1  2n  1 số chia phương Chứng minh n Vì 2n  số lẻ mà phương nên 2n  chia du1 2n 4  n 2  n  số lẻ mà n  số phương nên n  :8 du  n8  1  n  1  2n  1 3n  chia cho dư n  1 ,  2n  1 Mà  số phương nên chúng chia dư Mặt khác Vì n+1 chia cho dư nên n chia hêt cho (2) Vì  3,8 1&3.8 24   1 ,    n 24 ... phương nên n  :8 du  n? ?8  1  n  1  2n  1 3n  chia cho dư n  1 ,  2n  1 Mà  số phương nên chúng chia dư Mặt khác Vì n+1 chia cho dư nên n chia hêt cho (2) Vì  3 ,8? ?? 1&3 .8 24  ... 40a  ? ?81 a  OH 9a  BH 41a  9a 32a OA OB OC  OB OC 4a   CH 41a  9a 50a Mà Áp dụng Pyatgo vào tam giác AHB, AHC vuông H,ta :  AB  AH  BH  40a    32a  2624a  AB ? ?8 41a... A   1    x  8  x  x   x x2   Bài (5,0 điểm) Cho biểu thức d) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức A  x2  x   2x2 A       x 0;    2x  8  4x  2x   x x 